Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 1Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA CHỌN
HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Tổ Toán Tin MÔN TOÁN (
Năm học 2009-2010 )
 ( Thời gian
làm bài 180 phút )

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1: ( 3 điểm )
a) Một trường học có 20 học sinh xuất sắc, trong đó có 5
cặp sinh đôi. Nhà trường cần chọn 5 học sinh xuất sắc đi dự
trại hè sao cho trong đó không có cặp sinh đôi nào. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn?
b) Cho n là một số nguyên dương với
2
n

. Chứng minh
rằng:



1 2 2 2 3 2 4 2 2
2 . 3 . 4 . . 1 .2

 

 

¥

Hãy xác định số hạng tổng quát
n
u
và tính tổng
1 2

n
u u u
  
.
Câu 3: ( 3 điểm )
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1
a b c
  
.
Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
  

BC tại điểm M, đường thẳng AM cắt EF tại điểm P.
a) Chứng minh rằng DP là phân giác của góc
·
EDF
.
b) Chứng minh bất đẳng thức
2
1
4. .
2
DP DE DF EF
  .
Câu 6: ( 4 điểm )
Kiểm tra HSG lớp 12 môn toán - Tổ Toán Tin – Trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế 3

Cho tứ diện SABC với
, ,
SA a SB b SC c
  
. Một mặt phẳng
thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA,
SB, SC lần lượt tại các điểm D, E, F.
a) Chứng minh đẳng thức
4
a b c
SD SE SF
  