PHẠM HỒNG PHONG - ĐẶNG VĂN HIẾU ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11

TỔ HỢP
KHỞI THẢO THÁNG 5 – 2014


A
. Nếu
thực hiện công việc
i
A
có
i
n
cách (
1, ,
i n


), thì thực hiện công việc
A
có
1 2
1
k
i k
i
n n n n n

   

(cách).
n
k
cách
.

công việc:
1
A
,
2
A
, ,
k
A
. Nếu
thực hiện công việc
i
A
có
i
n
cách (
1, ,
i n


), thì thực hiện công việc
A
, ta có
1 2
1
.
.
.
k

B. CÁC VÍ DỤ

2

Ví dụ 1. Bạn Kiên có
5
cuốn sách Văn học khác nhau và
6
cuốn sách Lịch sử khác nhau. Hỏi
Kiên có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách để tặng sinh nhật một người bạn.
Giải. Để chọn một cuốn sách, Kiên có hai phương án:
 Phương án 1: Chọn sách Văn học. Vì Kiên có
5
cuốn sách Văn học khác nhau nên số
cách thực hiện phương án này là
5
(cách)
 Phương án 2: Chọn sách Lịch Sử. Vì Kiên có
6
cuốn sách Lịch sử khác nhau nên số
cách thực hiện phương án này là
6
(cách)
Theo quy tắc cộng, số cách chọn sách của Kiên là:
5 6 11
 
(cách).
Ví dụ 2. Từ tỉnh
A
đến tỉnh

B
. Vì có
3
đường đi từ
A
đến
B
nên số cách thực hiện
bước này là
3
(cách).
 Bước 1: Đi từ tỉnh
B
đến tỉnh
C
. Vì có
4
đường đi từ
B
đến
C
nên số cách thực hiện
bước này là
4
(cách).
Theo quy tắc nhân, số cách đi từ
A
đến
C
là

1
a
,
2
a
, ,
5
a
đôi một khác nhau.
 Vì
1
0
a

nên có
9
cách chọn
1
a
.
 Vì
2
a
có thể bằng
0
, tuy nhiên
2 1
a a

nên có

chữ số từ
0
đến
9
.
Giải. Giả sử số cần lập là 
1 2 5
A a a a

. Để lập số
A
ta có hai phương án như sau với chú ý
rằng
5
a
phải bằng
0
hoặc
5
:
 Phương án 1: Nếu chọn
1
5
a

thì
5
0
a


,
2
cách chọn
5
a
(
5
a
có thể bằng
0
hoặc
5
). Số cách chọn
2
a
,
3
a
,
4
a
lần lượt là:
8
,
7
,
6
cách. Theo quy tắc nhân thì
phương án này có số cách thực hiện là:
8.2.8.7.6 5376

1
và các chữ số còn lại đôi một khác nhau.
Giải. Giả sử số cần lập là
1 2 5

A a a a
 . Để lập số
A
ta có hai phương án như sau (về cách chọn
1
a
):
 Phương án 1:
1
1
a

.
 Chọn thêm một vị trí nữa cho cho chữ số
1
có
4
cách.
 Lần lượt chọn chữ số cho ba vị còn lại có số cách lần lượt là
9
,
8
,
7
cách.

a
và
4
a
,
2
a
và
5
a
,
3
a
và
4
a
,
3
a
và
5
a
,
4
a
và
5
a
.
 Lần lượt chọn chữ số cho hai vị còn lại có số cách lần lượt là


chữ số đôi một khác nhau và chữ số
2
đứng cạnh chữ số
3
.
Giải. Giả sử số cần lập là
1 2 5

A a a a
 . Để lập số
A
ta có hai phương án như sau:
 Phương án 1: xếp
2
và
3
vào hai vị trí đầu tiên có
1
2
n

cách (
1
2
a

,
2
3

. Có thể xếp
2
và
3
vào các vị trí:
2
a
và
3
a
,
3
a
và
4
a
,
4
a
và
5
a
, suy ra số cách xếp
2
và
3
theo phương án này là

2.3 6


5
quả cầu đỏ được đánh số từ
1
đến
5

và
4
quả cầu vàng được đánh số từ
1
đến
4
. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
3
quả cầu vừa khác
mầu vừa khác số.
Giải. Để chọn được
3
quả cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta lần lượt làm như sau:
 Bước 1: Chọn quả cầu vàng có
1
4
n

cách.

4

 Bước 2: Chọn quả cầu đỏ: vì không được chọn quả cầu đỏ có số trùng với số của quả cầu
vàng đã chọn ở bước 1 nên số cách chọn quả cầu đỏ là

; b)
20
.
Bài 2. Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có
4
màu là trắng, đỏ, xanh,
vàng; áo cỡ 40 có
3
màu là trắng, đỏ, tím. Hỏi
a) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo?
b) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ?
c) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cả cỡ và màu?
ĐS: a)
7
; b)
12
; c) 10.
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho
3
chữ số đầu tiên khác nhau và các chữ
số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau.
ĐS: 648.
Bài 4. Từ cách chữ số
1
,
5
,
6
,
7

3
,
4
,
5
,
6
nếu
a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau.
b) Các chữ số của nó đôi một khác nhau.
c) Các chữ số của nó hoàn toàn giống nhau.
ĐS: a)
125
; b)
60
; c)
5
.
Bài 7. Từ cách chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5

nếu
a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau.
b) Các chữ số của nó đôi một khác nhau.
ĐS: a)
125
; b)
60
.
Bài 9. Khi gieo đồng thời ba con xúc xắc khác nhau có bao nhiêu khả năng mà tổng số chấm
xuất hiện trên ba mặt của ba con súc sắc lớn hơn
9
.
ĐS:
6
.
Bài 10. Có
4
hành khách bước lên một đoàn tàu có
4
toa. Hỏi
a) Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của
4
hành khách.
b) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có
1
người lên.
c) Có bao nhiêu trường hợp mà một toa có
3
người lên, một toa có
1

.
 Số các hoán vị của tập hợp có
n
phần tử là
! 1.2.3
n
P n n
  .
Với quy ước
0! 1

, ta có thể định nghĩa
0
1
P

.
2. Chỉnh hợp
 Cho tập hợp
A
có
n
phần tử (
1
n

) và số nguyên
k
với
1

     

. (1)
Ta thấy công thức (1) cũng có nghĩa khi
0
k

nên, để cho tiện, ta định nghĩa số
k
n
A
với
k
,
n

nguyên và
0
k n
 
.
3. Tổ hợp
 Cho tập hợp
A
có
n
phần tử (
1
n


1 2 1
!
! ! ! !
k
k
n
n
n n n n k
A
n
C
k k n k k
   
  

. (2)
Ta thấy công thức (2) cũng có nghĩa khi
0
k

nên, để cho tiện, ta định nghĩa số
k
n
C
với
k
,
n

nguyên và

P n n
    

có nghĩa khi và chỉ khi
n


.

 
!
!
k
n
n
A
n k


và
 
!
! !
k
n
n
C
k n k



2
n

.
b)
   
3
2 3
3 !
n n n
n n n n
P C C C
n


với
n


.
c)
2
2
1 1
n
k
k
n
A n


 
   
   
   
 
 (ĐPCM).
b) Ta có
   
 


 


 
33
2 3
2 ! 3 !
!
! . .
! ! ! 2 ! ! 3 !
n n n
n n n n
n n
n
n
n n n n n n n
P C C
n
C

2
k n
 
ta có
 
 
 
2
2
! 1 1 1 1
1
2 ! 1 1
k
k
k
A k k
k A k k k k
      
  
.
Do đó
2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 1
n n
k k
k
A k k n n
 

n n
n n n
C C A

 
  .
c) [TN2003]
1
1
1
1
6
(1)
5
5
(2)
2
y
x
y
x
y
x
y
x
C
C
C
C


 


 
5 6
1 1
1 ! 1 !
1 1
3 3 6
5! 4 ! 6! 5 ! 4 2
n n
n n
C C n
n n n
 
 
      
  
(thỏa mãn).
b) Điều kiện:
n
là số nguyên và
2
n

. Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan ta có
1
2 2 3
n n n
n n n

 









3 2
1 2 3 15 1 9 26 6 0
n n n n n n n n
          
. (1)
Với mọi
2
n

, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho
2
số dương
3
n
và
2
26
n
, ta có
3 3 2 2 2

.
Ta có


 








  
1 ! 1 ! 1 ! 1 1
6 6
(1) .
! 1 ! ! 5 1 5
x y x y x y
y x y x x y x y
     
   
    
. (3)

   






 


 
2
2 2 1 2 2 1
5 5
3 9 0 3
1 2 1 2
y y y y
y y y
y y y y
 
       
 

Thay
3
y

vào (5) ta được
8
x

. Ta thấy cặp giá trị






biết rằng
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
   
    . (1)
Giải. Điều kiện:
n
nguyên,
3
n

.
Ta có


 




 


 
1 ! 2 ! 3 ! 4 !
(1) 2. 2.


2
3 12 14
n n
  
.
Do đó


 
2 2
5
(1) 3 12 14 149 3 12 135 0
9
thoûa maõn
loaïi
x
n n n n
x
 
        

 


.
Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
1 2 3
3


.
Giải.
a) Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có
1
2 2
k k
n n
VP C C

 
 





1 1 2
1 1 1 1
k k k k
n n n n
C C C C
  
   
   

1 2
1 1 1
2
k k k


(điều phải chứng minh).
a) Áp dụng hằng đẳng thức Pa-xcan, ta có
1
1 1
k k k
n n n
C C C

 
 
1
1 2 2
k k k
n n n
C C C

  
 

11



1
1
k k k
k k k
C C C


     (chú ý:
1
1
1
k k
k k
C C


  ).
Ví dụ 5. Chứng minh
1 1 1 1
2
1! 2! 3! !
n
   
, (1)
với
*
n

.
Giải. Ta có
1 1 1
(1) 1
2! 3! !
n
   
.


   
  
.
Cộng từng vế
1
n

đẳng thức, bất đẳng thức nói trên, ta thu được

1 1 1 1 1 1 1 1
(2)
1 2 2 3 3 4 1
VT
n n
       
        
       

       


1
1 1
n
  
(ĐPCM).
Ví dụ 6. Cho
*
n


k
n
k
n
n k n k
C
n k
T
C k n k n k



  
   
.
Ta có
2 1
1 1 0; 1
1 2
n k
T k n k n
k

        

.
Chú ý rằng dấu “

” không xảy ra. Thay từng giá trị của
k

n
phn t (
4
n

). Bit rng s tp con gm
4
phn t
ca
A
bng
20
ln s tp con gm
2
phn t ca
A
. Tỡm


1;2; ;
k n
sao cho s tp con
gm
k
phn t ca
A
ln nht.
Gii. Mi mt cỏch chn
k
phn t t tp

! !
20 20
4! 4 ! 2! 2 !
n n
n n
C C
n n




2
18
1 20
5 234 0
12 3 2
13
thoỷa maừn
loaùi
n
n n
n n
n








.
Ta cú
18 17
1 1 1;8
1 2
k
T k k
k



.
Chỳ ý rng du

khụng xy ra.
Thay tng giỏ tr ca
k
vo
T
ta c
1 2 8 9 10 17 18
18 18 18 18 18 18 18

C C C C C C C
.
Do ú


vi
*
n

.
b)
1
1
k
k
n
n
nC
C
k


vi
k
,
*
n

,
k n

.
c)

2



vi ,k n


,
0
k n

.
e)
2 1 2
n n n
n k n k n k
A A k A


vi
n
,
*
k

,
2
k

.
f)
2 2 2 5

h)


2 3
1
2 2 1
1
2 3
2
n
n n n
n
n
n n n
n n
C C C
C n
C C C


   
với
*
n

.
i)
2 3
1 2
1

1
1
1
n
k
k
k
P




với
*
n

.
Bài 1. Chứng minh
a)
4 1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
    

     , với
k
,

1 ! 6
n n
n
 


. ĐS:
2
,
3
.
b)


 
1 !
72
1 !
n
n



. ĐS:
8
.
c)


 

5 4
2
18
n n
A A

 . ĐS:
10
.
f)
5
3 5
72
n n n
P A P
 
 . ĐS:
7
.
g)
   
4
4
15
2 ! 1 !
n
A
n n



y y
A C
A C

 


 


. ĐS:




; 2;5
x y  .
Bài 3. Cho
*
n

. Tìm


2 1
0;2 1
max
k
n
k n

4
cuốn sách Văn
và
6
cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu
các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?
Giải.
 Bước 1. Trước hết ta tính số cách xếp thứ tự từng loại sách. Vì có
3
loại sách nên số các
sắp thứ tự loại sách là
3
3! 6
P
 
(cách).
 Bước 2. Xếp sách vào kệ: ứng với mỗi phương án sắp xếp
3
loại sách, ta lại có

2 2
2!
n P
 
cách xếp
2
cuốn sách Toán,

3 4
4!

học sinh trường A và
6
học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách
xếp trong mỗi trường hợp sau.
a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.
b) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
Giải.
a)
 Bước 1. Trước tiên ta xác định trong
12
vị trí, vị trí nào của học sinh trường A, vị trí nào
của học sinh trường B. Rõ ràng để đảm bảo bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc
đối diện nhau thì khác trường với nhau ta có các xếp như sau.
Cách 1
A

B A

B A

B
B A

B

A

B A
6
chỗ còn lại: có
6!
cách.
Theo quy tắc nhân thì số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là
2 6!6! 1036800
 
(cách).

15

Vớ d 3. Cú bao nhiờu cỏch xp
5
bn nam v
4
bn n thnh mt hng ngang sao cho khụng
cú hai bn n no ng cnh nhau?
Gii.
Bc 1. Xp
5
bn nam thnh hng ngang. Ta thy cú
5!
cỏch lm nh vy.
Bc 2. Xp
4
bn n. Ta thy vic xp tha món yờu cu bi toỏn thỡ phi xp
4
bn
vo
6

4
bn n.
Túm li, s cỏch xp l
4
6
5! 43200
A (cỏch).
Vớ d 4. [HB02] Cho a giỏc u
1 2

n
A A A
(
2
n

,
n
nguyờn). Bit s tam giỏc cú cỏc nh l
3
trong
2
n
im
1
A
,
2
A
, ,

trong s
2
n
im l
3
2
n
C
.
Gi s a giỏc u
1 2

n
A A A
ni tip ng trũn


O
,
ABCD
l hỡnh ch nht cú cỏc
nh l
4
trong s
2
n
nh ca a giỏc. Ta thy


90

ng chộo va chn ra, bao gi ta cng cú ỳng mt cỏch ni
cỏc u mỳt c mt hỡnh ch nht. Vy s hỡnh ch nht cú nh l
4
trong s
2
n

im l
2
n
C
.
Theo gi thit thỡ








3 2
2
2 ! 2 2 2 1 2
!
20 20 20 1
3! 2 3 ! 2! 2 ! 3
n n
n n n n
n

.
Vy
8
n

.
Vớ d 5. [HB04] Trong mt mụn hc, thy giỏo cú
30
cõu hi khỏc nhau gm
5
cõu hi khú,
10
cõu hi trung bỡnh v
15
cõu hi d. T
30
cõu hi ú, cú th lp c bao nhiờu kim

16

tra, mỗi đề gồm
5
câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ
3
loại câu hỏi
(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn
2
?
Giải. Thầy giáo có
3

1
câu khó. Theo quy tắc nhân, số
cách thực hiện phương án này là
3 1 1
15 10 5
C C C
.
Vậy, theo quy tắc cộng, số đề kiểm tra lập được theo yêu cầu là
2 1 2 2 2 1 3 1 1
1 2 3 15 10 5 15 10 5 15 10 5
56875
n n n C C C C C C C C C      .
Ví dụ 6. [ĐHB05] Một đội thanh niên tình nguyện có
15
người gồm
12
nam và
3
nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội thanh niên đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có
4

nam và
1
nữ.
Giải.
Ta phân công như sau.
Bước 1. Chọn thanh niên tình nguyện cho tỉnh thứ nhất. Theo quy tắc nhân thì bước này có số
cách thực hiện là
4 1

học sinh đi làm nhiệm vụ
sao cho
4
học sinh đó thuộc không quá
2
trong
3
lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như
vậy?
Giải. Nếu bỏ qua điều kiện
4
học sinh thuộc không quá
2
trong
3
lớp thì số cách chọn là
4
12
C
.
Bây giờ ta đếm số cách chọn mà
4
học sinh đó bao gồm học sinh của cả
3
lớp. Để làm như vậy
ta có sau phương án sau.
 Phương án 1. Chọn
2
học sinh lớp T,
1

nhân, số cách thực hiện phương án này là
1 1 2
3 5 4 4
n C C C
 .
Vậy, số cách chọn
4
học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là
4 2 1 1 1 2 1 1 1 2
12 5 4 4 5 4 4 5 4 4
225
C C C C C C C C C C    (cách).
Ví dụ 8. Một thầy giáo có
12
cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có
5
cuốn sách văn học,
4

cuốn sách âm nhạc và
3
cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra
6
cuốn và đem tặng cho
6
em học
sinh
A
,
B

 Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc là
4 2
6 8
. 20160
A A  .
 Số cách chọn sao cho không còn sách hoạ là
3 3
6 9
. 60408
A A  .
Vậy, số cách chọn cần tìm là


665280 – 5040 20160 60480 579600
   .
Ví dụ 9. Hỏi từ
10
chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,


cách.
 Bước 2. Chọn vị trí cho chữ số
1
. Ta có hai phương án thực hiện bước này.
 Phương án 1.
1
1
a

. Số cách chọn
4
vị trí còn lại là
4
8
A
.
 Phương án 2.
1
1
a

. Vì
1
1
a

và chữ số
0
đã chiếm một vị trí nên để chọn vị trí

. Theo quy tắc nhân thì số cách thực
hiện phương án 2 là
3
6 3 4 5 7
32
n n n n A
  .
Theo quy tắc cộng, số cách thực hiện bước 2 là
4 3
8 7
32
A A
 .
Theo quy tắc nhân, số cách lập số
A
là


4 3
8 7
5 32 42000
A A  (cách).

18

Ví dụ 10. Tính tổng các số chẵn có
5
chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
1
,



5
a
chia hết cho
2





2;4;6;8
a . Như vậy, bước này
có
4
cách thực hiện.
 Bước 2: Chọn các chữ số còn lại. Mỗi một cách chọn các chữ số
1
a
,
2
a
,
3
a
,
4
a
là một
chỉnh hợp chập

6
,
8
là giống nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số
này ở hàng đơn vị là
1680
4
n
 . Từ đây suy ra tổng các chữ số ở hàng đơn vị là


1680 2 4 6 8 33600
    .
 Nếu cố định
4
1
a

thì có
4
cách chọn
5
a
,
3
7
A
cách chọn các vị trí còn lại. Như vậy số
lần chữ số
1

2
,
4
,
6
,
8
là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở
vị trí hàng chục là
2520
630
4
 .
Như vậy, tổng các chữ số hàng đơn vị là




840 1 3 5 7 9 630 2 4 6 8 33600
         .
 Tương tự, tổng các chữ số hàng trăm, hàng nghìn và hàng vạn bằng nhau và bằng
33600
.
Vậy tổng các số lập được là


33600 1 10 100 1000 10000 33600.11111 373329600
      .
B. BÀI TẬP
1. Từ các chữ số

5
được lập
từ các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
.

19

3. Tính tổng các số có
5
chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho
5
được lập
từ các chữ số
0,
1
,
2
,
3
,
4

0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
có thể lập được bao nhiêu số có
5
chữ số. Biết
chữ số
1
có thể không xuất hiện hoặc xuất hiện một số chẵn lần, còn các chữ số còn lại đôi một
khác nhau.
6. Từ các chữ số
0
,
1

,
9
có thể lập được bao nhiêu số có
6
chữ số đôi một khác
nhau và trong các chữ số có chữ số
2
và chữ số
4
.
8. Từ các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9

10. Một trường Phổ thông trung học có
280
nam sinh và
325
nữ sinh.
a) Có bao nhiêu cách chọn ra
11
học sinh.
b) Có bao nhiêu cách chọn ra
3
học sinh có cả nam và nữ.
c) Giả sử trong các học sinh nam có một bạn bạn tên là Long và trong các nữ sinh có một
bạn tên là Ngọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
3
học sinh có cả nam và nữ nhưng
không đồng thời có hai bạn Long và Ngọc.
11. Trong một lớp học có
7
nam sinh và
4
nữ sinh ưu tú (trong số đó có nam sinh Hưng và nữ
sinh Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp gồm
6
người từ những học sinh ưu tú với yêu cầu có ít
nhất hai nữ sinh, ngoài ra ban cán sự không đồng thời có cả Hưng và Hoa. Hỏi có bao nhiêu cách
lập ban cán sự này.
12. Có
5
nhà toán học nam,
3

3
người từ những thành viên nói trên sao cho
trong đó có ít nhất
1
nam.
15. Có bao nhiêu cách xếp
3
người bạn nam và
2
bạn nữ vào một cái ghế dài sao cho bất kỳ ai
đều ngồi bên cạnh ít nhất một người cùng giới.
16. Một nhóm gồm
10
học sinh, trong đó có
7
nam và
3
nữ. Có bao nhiêu cách xếp
10
học
sinh trên thành một hàng dọc sao cho
7
học sinh nam đừng liền nhau.
17. Có
10
câu hỏi trong đó có
4
câu lý thuyết và
6
câu bài tập. Thầy giáo có bao nhiêu cách để

3
nữ, tham gia một buổi biểu diễn mà mỗi người phải
biểu diễn đúng một tiết mục.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho trong chương trình ấy xen kẽ hết nam lại
đến nữ nghệ sĩ biểu diễn.
b) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho
2
tiết mục đầu và tiết mục sau cùng là
do nam biểu diễn.
21. Có bao nhiêu cách xếp
10
vật phân biệt vào
4
hộp phân biệt sao cho hộp thứ nhất chứa
3

vật, hộp thứ hai chứa
2
vật, hộp thứ ba chứa
2
vật, hộp thứ tư chứa
3
vật.
22. Đội dự tuyển bóng bàn có
10
nữ,
7
nam, trong đó có danh thủ nam là Đường Ngọc Hưng và
danh thủ nữ là Lý Thu Thủy. Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia gồm
3

26
nam. Có bao nhiêu cách chia lớp thành
ba tổ sao cho: tổ
1
gồm
10
người, tổ
2
gồm
11
người, tổ
3
gồm
12
người và mỗi tổ có ít nhất
hai nữ.

21

26. Một trường tiểu học có
50
học sinh đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có
4
cặp
anh em sinh đôi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm
3
học sinh trong số
50
học sinh trên đi
dự đại hội Cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào.