CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
I. Qui tắc đếm:
1. Qui tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi n phương án độc lập (n ≥ 2) lần lượt có số cách thực
hiện m
1
, m
2
, , m
n
. Vậy công việc đó sẽ có m
1
+ m
2
+ + m
n
cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi n bước độc lập mới hoàn thành (n ≥ 2) lần lượt có số
cách thực hiện m
1
, m
2
, , m
n
. Vậy công việc đó sẽ có m
1
.m
2
m
n
cách thực hiện.
II. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp

−
=
Tính chất 2:
k 1 k k
n 1 n 1 n
C C C
−
− −
+ =
(1 ≤ k ≤ n)
III. Công thức nhị thức Niu tơn: (a + b)
n
=
0 n 1 n 1 n n
n n n
C a C a b C b
−
+ + +
B. Bài tập
Bài 1. Trong một đội văn nghệ có 12 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn
a. Một người hát đơn ca.
b. Một đôi song ca nam nữ.
Bài 2. Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A mà
không đi lại đường cũ khi trở lại?
Bài 3. Từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
a. có 4 chữ số
b. có 4 chữ số mà các chữ số khác nhau.
Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên
a. là số chẵn có hai chữ số
b. là số lẻ và có 2 chữ số

d. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng chữ số lẻ?
Bài 16. Có bao nhiêu xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa.
b. Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế
Bài 17. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh
Văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ sao cho các cuốn cùng môn nằm kề nhau
Bài 18. Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu
a. Các học sinh ngồi tùy ý
b. Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn
Bài 19. Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số
nếu
a. Năm chữ số 1 kề nhau
b. Năm chữ số 1 sắp tùy ý
Bài 20. Có bao nhiêu tam giác được lập từ 6 điểm khác nhau mà không có 3 điểm nào thẳng hàng?
Bài 21. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt sao cho
a. Số tạo thành là số chẵn
b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1
c. Nhất thiết phải có mặt chữ số 5
d. Phải có mặt hai chữ số 0 và 1
Bài 22. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 276
Bài 23. Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn sao cho có cả nam và nữ?
Bài 24. Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song với
nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng
đã cho?
Bài 25. Có bao nhiêu cách xếp chổ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào
ngồi cạnh nhau, nếu
a. Ghế sắp thành hàng dài
b. Ghế sắp quanh một bàn tròn

a. P
2
x² – P
3
x = 8 b.
2 2
x 2x
2A 50 A+ =
c.
1 2 3
x x x
7
C C C x
2
+ + =
d.
3 2
n n
A C+
= 14n
e.
3 4 2
n n n
A 2C 3A− =
f.
2 2
n 1 n
C 3A
+
+

y y 1
x x
5C 3C
C C
− −
−

=


=


Bài 37. Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó chữ số 1 và 6 có mặt hai lần,
các chữ số còn lại có mặt 1 lần
Bài 38. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ
số lẻ
Bài 39. Cho hai đường thẳng song song d
1
và d
2
. Trên d
1
có 10 điểm phân biệt, trên d
2
có n điểm phân biệt (n
>1). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.
Bài 40. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số chẵn, sao cho mỗi số có 5 chữ số khác
nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau
Bài 41. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đều khác nhau? Tính tổng tất cả

thành đa thức. Tính tổng các hệ số của đa thức đó
Bài 49. Biết rằng hệ số của x
n–2
trong khai triển (x – 1/4)
n
là 31. Tìm n.
Bài 50. Chứng minh rằng:
m 1 m
n 1 n
m
C C
n
−
−
=
(1 ≤ m ≤ n)
Bài 51. Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển
a. (3/x + x/3)
12
. b.
7
3
4
1
( x )
x
+
c. (1 + 2x – 1/x²)
9
.

+ + + = + + + =
Bài 54. Tìm hệ số của hạng tử chứa x
4
trong khai triển của (1 + 2x + 3x²)
10
.
Bài 55. Tìm hệ số của hạng tử chứa x
5
trong khai triển của x(1 – 2x)
5
+ x²(1 + 3x)
10
.
BÀI TẬP XÁC SUẤT
Bài 56. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 30 sản phẩm xấu.
a. Lấy ngẩu nhiên một sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt
b. Lấy ra ngẫu nhiên một lần 10 sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy ra có đúng 8 sản
phẩm tốt.
Bài 57. Một hộp chứa 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi
xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu
Bài 58. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất sao cho
a. Tổng số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng 8.
b. Hiệu số chấm trên mặt hai con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2.
c. Số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng nhau
Bài 59. Có 12 hành khách lên ngẩu nhiên 4 toa tàu. Biết các toa còn trống và mỗi toa có đủ chỗ cho cả 12
người. Tìm xác suất để
a. Mỗi toa có 3 hành khách
b. Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách các toa còn lại có 1 hành khách.
Bài 60. Một học sinh vào thi chỉ thuộc 18 câu trong 25 câu hỏi. Tìm xác suất để học sinh đó trả lời được cả 3
câu hỏi mà học sinh đó rút được

Bài 70. Tỷ số xe tải và ô tô con đi qua đường phố có trạm bơm dầu là 3/5. Xác suất để cho một xe tải bơm
dầu là 0,1. Còn xác suất để một xe ô tô con bơm dầu là 0,2. Có một xe đến trạm để bơm dầu. Tìm xác suất
để xe đó là xe tải.
Bài 71. Một nhà máy sản xuất bút máy có 90% sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Trong quá trình kiểm tra,
xác suất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật được chấp nhận là 0,95 và xác suất một sản phẩm không đạt
tiêu chuẩn kỹ thuật lại được chấp nhận là 0,08. Tìm xác suất để một sản phẩm qua kiểm tra được chấp nhận
đúng là sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật.
Bài 72. Có 2 quả tên lửa bắn và o một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu của quả tên lửa
thứ nhất và quả tên lửa thứ 2 tương ứng là 70% và 80%. Nếu có 1 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bị diệt với
xác suất là 80%. Nếu cả 2 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bị diệt với xác suất là 96%.
a. Tìm xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt
b. Biết mục tiêu đã bị tiêu diệt. Tìm xác suất để quả tên lửa thứ nhất trúng mục tiêu.
Bài 73. Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có hai cách: đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu.
Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 1/3 các trường hợp còn lại đi qua cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75%
trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ; còn nếu đi qua cầu thì chỉ có 70% trường hợp. Tìm xác suất để
công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ.
Bài 74. Tỷ lệ mắc bệnh A trong một cộng đồng là 10%. Ðể chẩn đoán người ta làm phản ứng miễn dịch, nếu
không bị bệnh thì phản ứng dương tính chỉ có 8%. Nếu có bệnh thì phản ứng dương tính là 96%. Mặt khác
biết rằng khi phản ứng là dương tính thì xác suất bị bệnh là 0,8.
a. Tìm xác suất để một người không có bệnh bị cho là có bệnh sau chẩn đoán
b. Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên một người và chẩn đoán đúng là người đó mắc bệnh.
Bài 75. Một thùng rượu có 20 chai, trong đó có 3 chai rượu giả. Trong quá trình vận chuyển bị mất một chai
không rõ chất lượng. Lấy ngẫu nhiên một trong 19 chai còn lại.
a. Tìm xác suất để chai lấy ra là chai rượu thật
b. Biết chai lấy ra là chai rượu thật. Tìm xác suất để lấy tiếp ra 2 chai nữa có một chai thật và một chai giả.
Bài 76. Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích của người thứ 1, 2, 3 lần lượt là 0,5;
0,6; 0,7. Tính xác suất của biến cố
a. chỉ có một người bắn trúng đích.
b. có nhiều nhất một người bắn trúng đích.
c. mục tiêu bị bắn trúng.