14.3. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
n t´ınh cˆa
´
p1v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng 297
Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (14.70)c´o da
.
ng
y = C
1
e

(14.69) l`a
x = −C
1
e
2t
+4C
2
e
−3t
,
y = C
1
e
2t
+ C
2
e
−3t
.
Ta s˜e t`ım nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho du
.

ng tr`ınh d
˜a cho ta thu du
.
o
.
.
c
−C

1
(t)e
2t
+4C

2
(t)e
−3t
=1+4t,
C

1
(t)e
2t
+ C

2
(t)e
−3t
=
3

ng ph´ep t´ıch phˆan ta thu d
u
.
o
.
.
c
C
1
(t)=−
1
5
(t +3t
2
)e
−2t
+ C
1
,
(14.72)
C
2
(t)=
1
10
(2t + t
2
)e
3t
+ C

c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a c h o
x = −C
1
e
2t
+4C
2
e
−3t
+ t
2
+ t,
y = C
1
e
2t
+ C
2
e

t´ıch
1)





dx
dt
= −
y
t
,
dy
dt
= −
x
t
,t>0.
2)





dx
dt
= x
2
y,

.
.
c
d(x + y)
dt
= −
1
t
(x + y).
T`u
.
d
´o x + y =
C
1
t
.Tr`u
.
vˆe
´
v´o
.
ivˆe
´
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’

t,
ta thu d
u
.
o
.
.
c
x =
1
2

C
1
t
+ C
2
t

,
y =
1
2

C
1
t
− C
2
t

.
ng c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh thu d
u
.
o
.
.
c, ta c´o
y
dx
dt
+ x
dy
dt
=
xy
t
⇒
d
dt
(xy)=
xy
t
·
14.3. Hˆe
.

c xy = C
1
t v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh th ´u
.
nhˆa
´
t, ta d
u
.
o
.
.
c
dx
dt
= C
1
tx.
T`u
.
d
´o x = C
2
e
C
1

u x =0th`ıt`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh th ´u
.
hai ta d
u
.
o
.
.
c y = Ct
v`a nˆe
´
u y =0th`ıt`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh th ´u
.
nhˆa
´
t ta c´o x = C. 
B
`



dx
dt
= −9y,
dy
dt
= x.
(D
S.

x =3C
1
cos t −3C
2
sin 3t,
y = C
2
cos 3t + C
1
sin 3t.
)
2.





dx
dt



4
dx
dt
−
dy
dt
+3x = sin t,
dy
dt
+ y = cos t.
(D
S.

x = C
1
e
−t
+ C
2
e
−3t
,
y = C
1
e
−t
+3C
2

dy
dt
−z,
dz
dt
= −x + z.
(D
S.





x =(C
1
−C
2
) cos t +(C
1
+ C
2
) sin t,
y = C
1
sin t − C
2
cos t + C
3
e
t

(D
S.

x = −2e
−t
+3e
−7t
,
y = e
−t
+3e
−7t
.
)
6.





dx
dt
= x sin t,
dy
dt
= xe
cost
.
(D
S.

1
cos t + C
2
sin t),
y = e
at
(−C
1
sin t + C
2
cos t).
)
8.





t
dx
dt
= −x + yt,
t
2
dy
dt
= −2x + yt.
(D
S.


p kha
’
t´ıch
9.





dx
dt
= x
2
+ y
2
,
dy
dt
=2xy.
(D
S.







1
x + y

S.





x = C
2
e
−
t
C
1
,
y =
C
1
C
2
e
t
C
1
.
)
11.





x = C
2
e
C
1
t
.
)
14.3. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
n t´ınh cˆa
´
p1v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng 301
12.



)
13.







e
t
dx
dt
=
1
y
,
e
t
dy
dt
=
1
x
·
(D
S.

y = C
1

tg
x + y
2
= C
1
e
t
,
tg
x −y
2
= C
2
e
t
.
)
15.













1
+(2C
1
C
2
t + C
3
)e
t
+ C
2
2
e
2t
,
z = −C
2
e
t
+(2C
1
C
2
t + C
3
)e
t
+ C
2
2

=8y − x,
dy
dt
= x + y.
(D
S.

x =2C
1
e
3t
−4C
2
e
−3t
,
y = C
1
e
3t
+ C
2
e
−3t
.
)
17.








dx
dt
=2x + y,
dy
dt
= x −3y,
x(0) = y(0) = 0.
(D
S.

x ≡ 0,
y ≡ 0.
)
302 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
19.















dx
dt
= −x −2y,
dy
dt
=3x +4y,
x(0) = −1,y(0) = 2.
(D
S.

x = e
t
− 2e
2t
,
y = −e
t
+3e
2t



dx
dt
+2x −y = −e
2t
,
dy
dt
+3x −2y =6e
2t
.
(D
S.





x =
8
3
e
2t
+2C
1
e
t
+ C
2

dx
dt
= x + y − cos t,
dy
dt
= −y − 2x + cos t + sin t,
x(0) = 1,y(0) = 2.
(D
S.

x =(1− t)cos t − sin t,
y =(t −2) cos t + t sin t.
)
23.





dx
dt
= y +tg
2
t − 1,
dy
dt
= −x +tgt.
(D
S.


x = C
1
e
t
+2C
2
e
4t
− e
2t
,
y = −C
1
e
t
+ C
2
e
4t
− e
2t
.
)
25.







t
+ C
2
e
−t
.
)
14.3. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
n t´ınh cˆa
´
p1v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng 303
26.




y =2C
1
e
−t
−2C
2
e
3t
+
7
9
+
t
3
·
)
27.





dx
dt
= x − y + e
t
,
dy
dt
= x − 4y + e

3t
+ e
t
+
1
8
(1 + 4t)e
3t
.
)
Chu
.
o
.
ng 15
Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh
vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
15.1 Phu
.

’
n nhˆa
´
t 310
15.3 C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
t l´y to´an co
.
ba
’
n 313
15.3.1 Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
ns´ong 314
15.3.2 Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
n nhiˆe
.

p), ch´u
.
a c´ac biˆe
´
n
d
ˆo
.
clˆa
.
p v`a c´ac da
.
o h`am riˆeng cu
’
aˆa
’
n h`am theo c´ac biˆe
´
ndˆo
.
clˆa
.
pd´o
d
u
.
o
.
.
cgo

o
.
.
cgo
.
il`acˆa
´
pcu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh.Mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o
h`am riˆeng bao gi`o
.
c˜ung pha
’
ich´u
.
a ´ıt nhˆa

tu
.
c) m`a khi thˆe
´
v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.
o h`am riˆeng th`ı phu
.
o
.
ng tr`ınh d
´o
tro
.
’
th`anh d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
cd
u
.

.
cgo
.
il`a
ph´ep t´ıch phˆan phu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.
o h`am riˆeng. Thˆong thu
.
`o
.
ng viˆe
.
ct´ıch
phˆan mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.
o h`am riˆeng s˜e cho ph´ep thu du
.
o

pphu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan thu
.
`o
.
ng.
Nˆe
´
uphu
.
o
.
ng tr`ınh ch´u
.
aˆa
’
n h`am z chı
’
phu
.
thuˆo
.
c hai biˆe
´
nd
ˆo
.

il`am˘a
.
tt´ıch phˆan cu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho.
D
ˆo
´
iv´o
.
i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p khi ˆa
’
n h`am phu
.
thuˆo
.
c hai biˆe

Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
n s´ong
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
,
(d
ˆay l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
ng hypecbolic).
2
+

o
.
ng tr`ınh Laplace
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
=0
(phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
ng eliptic).
306 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`

.
ng ph´ap Fourier.
D
ˆa
`
u tiˆen, t`ım c´ac nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho du
.
´o
.
ida
.
ng
t´ıch c´ac h`am m`a mˆo
˜
i h`am chı
’
phu
.
thuˆo
.
cmˆo

.
cu
’
a
c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y ch´u
.
a trong c´ac nghiˆe
.
m riˆeng d
´o. Sau c`ung nghiˆe
.
m
cˆa
`
n t`ım (tho
’
a m˜an phu
.
o
.
ng tr`ınh v`a c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen) thu du

t´ınh d
ˆo
´
iv´o
.
ic´ac d
a
.
oh`am riˆeng
Gia
’
su
.
’
x´et phu
.
o
.
ng tr`ınh
X
1
∂z
∂x
+ X
2
∂z
∂y
= R, (15.1)
trong d
´o X

t. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
cla
.
i (15.1) go
.
i l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong
thuˆa
`
n nhˆa
´
t.
Trong tru
.
`o
.

.
o
.
.
cgo
.
il`anghiˆe
.
mhiˆe
’
n nhiˆen.
D
ˆe
’
gia
’
i (15.1) dˆa
`
u tiˆen ta gia
’
iso
.
bˆo
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan thu
.

.
c x´ac d
i
.
nh bo
.
’
i c´ac d
˘a
’
ng th´u
.
c
ω
1
(x, y, z)=C
1
,ω
2
(x, y, z)=C
2
.
15.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p 1 tuyˆe
´

vi liˆen tu
.
ct`uy ´y.
Nˆe
´
u trong phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i hai biˆe
´
nd
ˆo
.
clˆa
.
p
P (x,y)
∂z
∂x
+ Q(x, y)
∂y
∂y
= 0 (15.4)
th`ı hˆe
.
(15.3) c´o da
.

.
pphu
.
o
.
ng
tr`ınh (15.4) v´o
.
i hai biˆe
´
nd
ˆo
.
clˆa
.
p b`ai to´an Cauchy c´o nˆo
.
i dung nhu
.
sau: T`ım nghiˆe
.
m z = f(x, y) sao cho z(x
0
)=ϕ(y).
308 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.

2
+ y
2
)
∂z
∂x
+2xy
∂z
∂y
=0.
Gia
’
i. Ta lˆa
.
phˆe
.
dx
x
2
+ y
2
=
dy
2xy
·
Su
.
’
du
.

(x − y)
2
⇒−
1
(x + y)
= −
1
x − y
+ C ⇒
1
x − y
−
1
x + y
= C
⇒
2y
x
2
− y
2
= C ⇒
y
x
2
− y
2
= C
1
.

2
−y
2

. 
V´ı d u
.
2. T`ım m˘a
.
t tho
’
a m˜an phu
.
o
.
ng tr`ınh
x
∂z
∂x
+(y + x
2
)
∂z
∂y
= z; z = y − 4 khi x =2.
Gia
’
i. Lˆa
.
phˆe

n t´ınh d
ˆo
´
iv´o
.
ic´acd
a
.
o h`am riˆeng 309
T`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
dx
x
=
dy
y + x
2
suy ra
y = x(C
1
+ x) ⇒
y −x
2
x
= C

·
Do d
´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a
F

y − x
2
x
,
z
x

=0
hay l`a
z = xf

y −x
2
x




x=2
=
y − 4
2
⇒ y =2
˜
ψ
1
+4;
˜
ψ
2
=
z
x



x=2
=
z
2
⇒ z =2
˜
ψ
2
.

ψ
1
+4− 4 ⇒ ψ
2
= ψ
1
⇒
z
x
=
y −x
2
x
hay l`a z = y − x
2
. Nghiˆe
.
mn`aythudu
.
o
.
.
ct`u
.
(15.5) khi f(t) ≡ t. 
B
`
AI T
ˆ
A

.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
1. x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.(D
S. z = xψ

y
x

)
2. yz
∂z
∂x
+ xz
∂z
∂y

i qua parabon y
2
= z, x =0.
(D
S. Paraboloid tr`on xoay z = x
2
+ y
2
)
4. (1 + x
2
)
∂z
∂x
+ xy
∂z
∂y
=0,z(0) = y
2
.
(D
S. z = ψ

y
2
1+x
2

; z =
y

z
)=0)
Chı
’
dˆa
˜
n. D
ˆay khˆong l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
tv`ıhˆe
.
sˆo
´
cu
’
a z

y
c´o ch´u
.
a z.D
ˆa
`
u tiˆen cˆa

oh`am riˆeng
cˆa
´
p2d
o
.
n gia
’
nnhˆa
´
t
15.2. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.
o h`am riˆeng cˆa
´
p2do
.
n gia
’
n nhˆa
´
t 311
V´ı du

ndˆo
.
clˆa
.
p.
Gia
’
i. Ta c´o
∂
2
z
∂x
2
=
∂
∂x

∂z
∂x

=0.
T`u
.
d
´o suy ra
∂z
∂x
khˆong phu
.
thuˆo

(y)dx = xC
1
(y)+C
2
(y)
trong d
´o C
1
(y), C
2
(y) l`a nh˜u
.
ng h`am t`uy ´y cu
’
a y.Nˆe
´
uh`amthud
u
.
o
.
.
c
hai lˆa
`
n kha
’
vi theo x th`ı
∂
2

tphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho du
.
´o
.
ida
.
ng
∂
∂y

∂z
∂x

= x
2
− y ⇒
∂z
∂x
=

(x
2
−y)dy = x
2
y −

2
+ C
1
(x)

dx =
x
3
y
3
−
y
2
x
2
+ C
∗
1
(x)+C
2
(y),
312 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu

˜achol`a
z(x, y)=
x
3
y
3
−
y
2
x
2
+ C
∗
1
(x)+C
2
(y)
trong d
´o C
∗
1
(x)v`aC
2
(y) l`a nh˜u
.
ng h`am t `uy ´y v`a C
∗
1
(x) l`a h`am kha
’

.
ida
.
ng
∂
∂x

∂z
∂y
− 2z

=0.
T´ıch phˆan d
˘a
’
ng th´u
.
c n`ay ta c´o
∂z
∂y
− 2z = C
1
(y).
Trong phu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay d
a
.


C
2
(x)+

C
1
(y)e
−

2dy
dy

= C
2
(x)e
2y
+ C
∗
1
(y).
Nhu
.
vˆa
.
y
z(x, y)=C
2
(x)e
2y

n 313
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh sau.
1.
∂z
∂x
= 1. (D
S. z = x + ϕ(y))
2.
∂
2
z
∂y
2
=6y.(DS. z = y
3
+ yϕ(x)+ψ(x))
3.
∂
2
z
∂x∂y
= 0. (D
S. z = ϕ(x)+ψ(y))
4.

z
∂x∂y
= x + y.(D
S. z =
x
2
y
2
+
xy
2
2
+ C
1
(x)+C
2
(y))
7.
∂
2
z
∂y
2
= e
x+y
.(DS. z = e
x+y
+ yC
1
(x)+C

S. z = C
1
(x)e
y
2
+ C
2
(y))
10.
∂
2
z
∂x∂y
=2x.(D
S. z = x
2
y + C
1
(y)+C
2
(x))
11.
∂
2
z
∂x
2
= x + y.(DS. z =
xy
2

.
.
p khi ˆa
’
n h`am phu
.
thuˆo
.
c hai biˆe
´
nd
ˆo
.
clˆa
.
p c´ac phu
.
o
.
ng
tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an sau d
ˆay du
.
o
.
.
c xem l`a nh˜u
.

· (15.7)
314 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
2
+
Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
n nhiˆe
.
t
∂u
∂t

.
ng ngu
.
`o
.
i ta khˆong t`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at m`a l`a t`ım
nghiˆe
.
mriˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh tho
’
a m˜an nh˜u
.
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
n n`ao d´ogo
.
i

.
ng tr`ınh (15.7) tho
’
a
m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
nbiˆenv`adiˆe
`
ukiˆe
.
n ban dˆa
`
u sau:
i) D
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen: (1) u(0,t) = 0; (2) u(, t)=0.
ii) D
iˆe
`
ukiˆe
.
nbandˆa
`
u: (1) u(x, 0) = ϕ

˜achodu
.
´o
.
ida
.
ng t´ıch hai h`am m`a mˆo
.
t h`am chı
’
phu
.
thuˆo
.
c x, c`on h`am kia chı
’
phu
.
thuˆo
.
c t:
u(x, t)=X(t)T(t). (15.10)
Thay u(x, t) v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta thu du
.
o

pha
’
i khˆong phu
.
thuˆo
.
c x.
D
iˆe
`
ud´ochı
’
xˆa
’
y ra khi ca
’
hai vˆe
´
cu
’
a (15.11) khˆong phu
.
thuˆo
.
cca
’
x lˆa
˜
n
t t´u


+ λ
2
X =0⇒ X = A cos λx + B sin λx, (15.12)
T

a
2
T
= −λ
2
⇒ T

+ a
2
λ
2
T =0⇒ T = C cos aλt + D sin aλt,
(15.13)
15.3. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an co
.
ba
’
n 315

0=A cos λ + B sin λ ⇒ sin λ =0(v`ıB = 0 khi A =0).
T`u
.
d
´o ta x´ac di
.
nh du
.
o
.
.
c tham sˆo
´
λ =
nπ

, n =1, 2, l`a tham sˆo
´
t`uy
´y. Lu
.
u´yr˘a
`
ng nˆe
´
u trong (15.12) v`a (15.13) thay cho −λ
2
ta lˆa
´
y+λ

vˆa
.
ymˆo
˜
i gi´a tri
.
λ (hay n)d
ˆe
`
utu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i nghiˆe
.
m riˆeng
da
.
ng
u
n
= X
n
T
n
=

ng sˆo
´
t`uy ´y.
V`ıphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a tuyˆe
´
n t´ınh v`a thuˆa
`
n nhˆa
´
tnˆen tˆo
’
ng c´ac
nghiˆe
.
mc˜ung l`a nghiˆe
.
m. Do d
´otˆo
’
ng cu
’
a chuˆo
˜
i
u(x, t)=

.
ng tr`ınh d
˜a cho v`a n´o tho
’
a m˜an c´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n
biˆen.
316 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
Dˆe
’
x´ac di
.

(15.15) ta c`on c´o
∂u
∂t
=

n1
anπ


β
n
cos
anπt

− α
n
sin
anπt


sin
nπx

v`a do d
iˆe
`
ukiˆe
.
n u


2
(x) th`anh chuˆo
˜
i Fourier trong khoa
’
ng (0,). C´ac khai triˆe
’
n n`ay chı
’
ch´u
.
a h`am sin. C´ac hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a khai triˆe
’
nd
u
.
o
.
.
c t´ınh theo cˆong th ´u
.
c
α
n

y nghiˆe
.
m riˆeng tho
’
a m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
nd˜anˆeu l`a h`am
(15.15) v´o
.
i c´ac hˆe
.
sˆo
´
α
n
v`a β
n
du
.
o
.
.
c t´ınh theo cˆong th ´u
.
c (15.18). 
B
`

iˆe
`
ukiˆe
.
n ban dˆa
`
uv`adiˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen
15.3. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an co
.
ba
’
n 317
1. (i) C´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n ban dˆa
`
u
u(x, 0) = f(x)=

n biˆen u(0,t)=0,u(, t)=0.
(D
S. u(x, t)=
4
5π
2

n1
(−1)
n−1
1
(2n − 1)
2
cos
πant

sin
πnx

)
2. (i) u(x, 0) = 0,
∂u(x, 0)
∂t
=1;
(ii) u(0,t)=u(, t)=0.
(D
S. u(x, t)=
2
π
2

∂t
2
=4
∂
2
u
∂x
2
v`a c´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n:
(i) u(x, 0) = sin
4πx
3
, u

t
(x, 0) = 0;
(ii) u(0,t)=0, u(3,t)=0.
(D
S. u(x, t) = cos
8πt
3
sin
4πx
3
)
15.3.2 Phu

318 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
tho
’
a m˜an c´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n
1) u(x, 0) = ϕ(x)
2) u(0,t)=u(, t)=0.
Gia
’
i.
´
Ap du

v`a thu du
.
o
.
.
c hai phu
.
o
.
ng tr`ınh
X

+ λ
2
X =0⇒ X = A cos λx + B sin λx,
T

+ a
2
λ
2
T =0⇒ T = Ce
−a
2
λ
2
t
.
Do d
´o


,n=1, 2, 3,
C˜ung nhu
.
trong 1
+
,mˆo
˜
i gi´a tri
.
λ (hay n)tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i nghiˆe
.
m riˆeng
u
n
= β
n
e
−
a
2
n

2
n
2
π
2
t

2
sin
πnx

·
(15.20)
15.3. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an co
.
ba
’
n 319
Bˆay gi`o
.
´ap du
.
ng d
iˆe

ϕ(x) sin
nπx

dx. (15.21)
Nhu
.
vˆa
.
ytˆo
’
ng chuˆo
˜
i (15.20) v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
t´ınh theo vˆong th ´u
.
c (15.21) l`a
nghiˆe
.
m riˆeng tho
’
a m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.


x v´o
.
i0 x 

2
,
 − x v´o
.
i

2
 x  ;
u(0,t)=u(, t)=0.
(D
S. u =
4
π
2

n1
(−1)
n−1
1
(2n − 1)
2
e
−
π
2

˜
n. D
u
.
a v`ao ˆa
’
n h`am m´o
.
i
v(x, t)=u(x, t) −
B − A

x − A.
320 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
Khi d´o (15.22) tro

t c´ach gia
’
i.
3. T`ım nghiˆe
.
m u(x, y)cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
∂u
∂y
=
∂
2
u
∂x
2
tho
’
a m˜an c´ac diˆe
`
u
kiˆe
.
n biˆen u(0,y)=u(π,y)=0v`ad
iˆe
`

un´o
c´o c´ac d
a
.
o h`am riˆeng liˆen tu
.
ccˆa
´
p 2 trˆen D v`a trˆen D n´o tho
’
a m˜an
phu
.
o
.
ng tr`ınh
∆u ≡
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
=0. (15.23)
Tˆa

iphu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
thu
.
`o
.
ng, d
ˆe
’
t´ach mˆo
.
t nghiˆe
.
m x´ac di
.
nh cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace ngu
.
`o
.
i
ta pha

o
.
.
c ph´at biˆe
’
udu
.
´o
.
ida
.
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen,
t´u
.
c l`a cho nh˜u
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c m`a nghiˆe
.
mcˆa
`
n t`ım pha

˜
id
iˆe
’
m biˆen cu
’
amiˆe
`
n. Ngu
.
`o
.
i ta go
.
i b`ai to´an n`ay l`a b`ai
to´an biˆen th´u
.
nhˆa
´
t hay b`ai to´an Dirichlet.
B`ai to´an biˆen cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace d
u
.
o

’
a m˜an phu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace trong D.
b) Tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen
u(x, y)


(x,y)∈∂D
= f(x, y),
15.3. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an co
.
ba
’
n 321

1. Trong to
.
adˆo
.
cu
.
.
c (r, ϕ) phu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace (15.23) c´o
da
.
ng
∂
2
u
∂r
2
+
1
r
2
∂
2
u
∂ϕ
2
+

.
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen
cho tru
.
´o
.
cd
u
.
o
.
.
cmˆota
’
trong d
i
.
nh l´y sau dˆa y .
D
-
i
.
nh l´y. Gia
’
su

.
c f(θ), trong d
´o θ
l`a g´oc cu
.
.
ccu
’
ac´acd
iˆe
’
m biˆen cu
’
a ∂D.
Khi d
´o trong miˆe
`
n S = S + ∂S tˆo
`
nta
.
i h`am duy nhˆa
´
t u(x, y) liˆen
tu
.
ctrˆen
S v`a diˆe
`
u h`oa trˆen S sao cho u(x, y)

i
u(r, θ)=
a
0
2
+

n1
r
n
(a
n
cos nθ + b
n
sin nθ)
trong d
´o
a
n
b
n

=
1
π
π

−π
f(θ)


-
i
.
nh l´y. Nˆe
´
u h`am u(x, y) liˆen tu
.
c trong h`ınh tr`on d
´ong tˆam O(0, 0)
v`a b´an k´ınh R v`a d
iˆe
`
u h`oa trong h`ınh tr`on d´oth`ı gi´a tri
.
cu
’
a h`am