TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
TỔ TOÁN -TIN
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC
NĂM HỌC: 2010 -2011
Môn: TOÁN; Khối A, B, D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).
Câu I ( 2 điểm)
Cho hàm số
4 2
2 3 1
y x mx m
   
(C), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1.
2. Tìm tham số m để hàm số (C) đồng biến trên khoảng (1; 2).
Câu II (2 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
 
2
3
3 4 3
2 2 3
y y x y

60
DAB  . Chiều cao SO của chóp
bằng
3
2
a
, ( O là giao của hai đường chéo đáy). Gọi M là trung điểm cạnh AD,
( )

là mặt phẳng đi qua BM và
song song với SA, cắt SC, SD lần lượt tại K, P. Tính thể tích khối KPBCDM theo a.
Câu V(1 điểm)
Cho
, ,
a b c
là các số thực không âm thoả mãn điều kiện:
1
a b c
  
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu th
ức:
2 2 2
.
P a b b c c a
  
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B ).
A. Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm)
1. Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm
M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) và diện tích hình chữ nhật là 16.

C E

sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ): 5 0
x y

  
,
( ) : 3 0
y z

  
, điểm M(1; 1; 0).
Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với giao tuyến của
( )

và
( )

, đồng thời d cắt
( )

và
( )

lần
lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của AB.
Câu VII.b (1 điểm)
Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức:

.
-Tập xác định: D=R
-
lim ; lim
x x
y y
 
   

- Sự biến thiên:
 
' 3 2
0
4 4 0 4 1 0
1
x
y x x x x
x


      

 


- Bảng biến thiên:
x

-1 0 1

0.25
0.5

0.25
2 (1 điểm) Tìm m để hàm số đồng biến trên (1;2)
Ta có
3 2
' 4 4 4 ( )
y x mx x x m
   

m
 
.
Kết hợp ta có


;1
m
 
. 0.5 0.5
II
1 (1 điểm). Giải hệ.
Đk:
; 2.
x R y
  

Biến đổi (1) về pt ẩn y:


2
3 4 3
y y x y
    

   
     





2sin 1 2cos sin 3 0
x x x
    

0.5

x
y
-2
-1
O
1
-3

2sin 1 0
2cos sin 3 0 (VN)
x
x x
 


     

 
.
Đổi cận :
0 1; 1 1 3
x t x t      

 
1 3
1 3
1
1
2 3 2 3
ln 2 1 ln
2 1 3
dt
I t
t



   


0.25
0.25


0.25 0.25
V

(1 điểm). Tìm GTLN của
2 2 2
.
P a b b c c a
   với
, , 0; 1
a b c a b c
   

Giả sử


max ; ;
a a b c

Khi đó:
   
   
2 2
2
3
2 2
2
0.25
0.25 0.25

0.25
VIA.
1 (1 điểm) Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật.
Nhận thấy phương trình cạnh AB không thể là x = 4.
Gọi pt cạnh AB:
2 2
( 4) ( 5) 0. ( 0)
a x b y a b
     
.
Suy ra pt cạnh BC:
( 6) ( 5) 0.
b x a y
   

Diện tích hình chữ nhật là:
   
2 2 2 2
3 4 4

hoặc
3 11 0
x y
   

0.25 0.25 0.25

0.25
Kẻ NK, MP // SA; KP, BM, CD kéo dài cắt nhau tại I.
Suy ra M, D là trung điểm BI và CI.
Do N là trọng tâm
ABD

nên:
 
2 2
;( )
3 3
CK
d K ABC SO a
CS

IK


3
3 13 13 3
.
16 16 96
IMDP
KPBCDM IBCK
IBCK
V
IM ID IP a
V V
V IB IC IK
    

2 (1 điểm) Viết pt đt

qua A và cắt d, s/c khoảng cách từ gốc toạ độ O đến

nhỏ nhất.
Đường thẳng

thuộc mp (P) qua A và chứa d, nên (P):
3 2 4 0
x y z
   
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P). Toạ độ H t/m hệ:
3

d A AK AH
  

Để khoảng cách nhỏ nhất thì
K H H
   
. Suy ra

qua A,H nên có pt :
1 2 1
:
1 3 9
x y z
  
   , dễ thấy

cắt d nên

là đt cần tìm. 0.25

0.25 0.25

VI.B
1 (1 điểm) Tìm C thuộc (E) để tam giác có diện tích lớn nhất.
Phương trình cạnh AB:
2 4 0
x y
  
.
Gọi




2cos ;sin , 0;2
C t t t

 . Diện tích

ABC lớn nhất


;
d C AB
 lớn nhất.
 
4 2 2 cos
2cos 2sin 4
4 2 2
4
;
5 5 5

 0.25

0.25 0.25 0.25
2 (1 điểm) Viết pt đường thẳng d.
Đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với giao tuyến của
( )

và
( )

.
Phương trình (P):
0
x y z
  
.
Lấy đối xứng
( )

qua M được
( '): 1 0

 

  


Vậy đường thẳng qua B, M là đường thẳng d cần tìm:
1 1
2 7 5
x y z
 
 
. 0.25

0.25 0.25
0.25
VII.B

(1 điểm) Tìm hệ số có giá trị lớn nhất.
Ta có:
 
13

n n n n

     
  

Do đó
1
n n
a a


đúng với


1,2,3,4,
n  và dấu đẳng thức không xảy ra.
Suy ra:
0 1 2 3 4
a a a a a
   
và
4 5 6 13

a a a a
   
.
Vậy hệ số có GTLN là
4 9
4 13
2 366080.