,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ
1

NGDNGTCHPHNTNHTHTCHVTTHTRềNXOAY
1)DNG1:

Hỡnh phng
( )
( )
:
y f x
S x a
x b a b
= ỡ
ù
=
ớ
ù
=
ợ
p
quayquanhtrcOx,to thnhvtthtrũn xoaycúthtớch :
( )
2
b
a
V f x dx
p
=
ũ


x
dv x dx
v
ỡ
=
ù
ỡ
=
ù ù
ị
ớ ớ
=
ù
ù
ợ
=
ù
ợ
pdngcụngthc tớch phõntngphn tacú:
( )
3 3
2
2 2
1
1 1
2 2
ln ln ln
3 3 3 3
e e
e

ỡ
ù
ị
ớ ớ
=
ợ
ù
=
ù
ợ
Vy :
3 3
2
1
1
2 ln 1
3 3 3 3
e
e
e x x
V x dx

p p

ộ ự
= - -
ờ ỳ
ở ỷ
ũ
( )

ợ
quayquanhtrcOx
(Dng1,nhngkhuyt x=avx=b)
Honh giaoim cath vi trchonh :
2
1
3 2 0
2
x
x x
x
=
ộ
- + =
ờ
=
ở
Vy :
( ) ( )
2 2
2
2 4 2 3 2
1 1
3 1 9 1 6 2 6V x x dx x x x x x dx
p p
= - + = + + - + -
ũ ũ
( )
2
5

2
y x x y x x

p
p
= + + = = = d) , 0, 0, 1
x
y xe y x x = = = =
,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ
2

2)DNG2:

Hỡnh phng
( )
( )
( )
:
y f x
y g x
S
x a
x b a b
= ỡ
ù
=
ù
ớ
=
ù

V f x g x dx
p

ộ ự
= -
ở ỷ
ũ

Vớd1:

( )
2
2
4 6
2 6
y x x
S ox
y x x
ỡ
= - +
ù
ớ
= - - +
ù
ợ
(Dng2,khuyta,b)

Gii:
Honh giaoim cahai th
2 2

ộ ự
= - - + - - +
ờ ỳ
ở ỷ
ũ
Ddngtớnh c:
3V
p
=

Vớd2:

( )
2
2
1
1
2
y
x
S ox
x
y
ỡ
=
ù
ù
+
ớ
ù

2
1
11 : 0
1 2
x
f x g x
x
- = =
+
f

(munbithmsnolnhntath1giỏtrbtkỡcaxtrongkhong(11), õytathx=0thỡ

( ) ( )
0 1 0 0f g = = f
)

Vytacú:
( )
2
2
1 1 1
2 4
2
2
2
1 1 1
1
1 2 4
1

x x
A dx
-
= = =
-
ũ
*Tớnh :
( )
1
2
2
1
1
dx
B
x
-
=
+
ũ
t
tanx t =
vi
2 2
t

p p

ổ ử
ẻ -

2 2
4 4 4
1
cos 1 cos2
2
1 tan cos
dt
B tdt t dt
t t

p p p
p p p

- - -
= = = +
+
ũ ũ ũ
1 sin 2 1
4
2 2 4 2
4
t
t

p
p
p

ổ ử
= + = +

y f x
S
x a
x b
= ỡ
ù
= -
ù
ớ
=
ù
ù
=
ợ
quayquanhtrcOx.
Khiúcụngthcthtớchl:
( )
2
b
a
V f x dx
p
=
ũ

Nhnxột:Mtsngcong (ngtrũn,elip,hypebol,parabol)cúthcoinhlhpcahai
thhms

*ngtrũn :
( ) ( )

a
b
a b
y a x
a
ộ
= -
ờ
+ =
ờ
ờ
= - -
ờ
ở

Vớd1:
Tnh thtớchvtthtrũn xoaykhiquayhỡnh phnggiihn bi ngtrũn
( )
2
2
1 1x y + - = quay
quanhtrcOx
Gii :Tacúngtrũn trờnlhpcahai th hm s
2 2
1 1 , 1 1y x y x = - - = + -
Vy ngtrũnlhỡnhphnggii hnbihai th hm strờn
2
2
1 1
:

ũ
1
2
1
4 1 x dx
p

-
= -
ũ
,tatớnh tớch phõnnybngppi bin sin ,
2 2
x t t

p p

ộ ự
= ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ

4)DNG4: Hỡnhphnggiihnbinhiuthhms.Taphõnchiahỡnhphngthnhcỏchỡnh
thangcong,tamgiỏccong (theocỏcngiquagiaoim,vuụnggúcvitrcquay) ,vtỡnhthtớch
catnghỡnhthangcong,tamgiỏccong úquayquanhtrc
,hctoỏnvụnthiminphớ,VừTrngTrớ
4

Vớd1:

( )

( )
[ ]
( )
4 4
2
2 2
1 1
4
2 4 4 2 4 18
1
V x x dx x dx x x
p p p p

ộ ự
= - - = - = - =
ở ỷ
ũ ũ
b)QuayquanhtrcOy: (Vitcỏchm sdng
( )
x f y =
Hỡnh phnggiihnbi cỏcth hm s(theotrcOy):
2
2
x y
x y
x y
ỡ
=
ù
= -

ợ
2
2 2 0
2
x y
y y y
x y
ỡ
= -
ù
ị - = + =
ớ
= +
ù
ợ
Phõnchiahỡnhphngthnh 2hỡnh (xemhỡnhv):
1 2
2
2
: , :
2
x y
y y
S S
x y
x y
ỡ
= + ỡ
= +
ù ù

S y
x
ỡ
= - +
ù
=
ớ
ù
=
ợ
Tachuyn sanghm sdng
( )
x f y =
2 2
3 2 3 2 0y x x x x y = - + - + - = (coi õylpTbchai n x,ylthams)tacú:
( )
9 4 2 1 4y y D = - - = +
3 1 4 3 1 4
,
2 2
y y
x x
- + + +
= =
Davohỡnhvtacú:
2 2 2
0 2
1 2
1
0

vhaitrc taquanhtrcOy
1 1
1
1 1
x y
y yx y x x
x y
- +
= + = - =
+ -
,
2
0
1
1
1
y
V dy
y

p

-
ổ ử
+
=
ỗ ữ
-
ố ứ
ũ

6)
( )
2
4 , , 2 ,y x oy y Ox Oy = =
7)
[ ]
2
3 2, , ,y x x Ox Oy Ox Oy = - - -
8)
[ ]
ln
, ,
x
y ox x e Ox
x
= =
9)
[ ]
2
3 2
, ,
3
x x
y ox oy Oy
x
- +
=
-
10)
[ ]