Giải thuật quy hoạch động
CongHiep_87@yahoọcom
Đối với các bạn yêu thích môn lập trình thì có lẽ giải thuật qui hoạch động tương đối quen
thuộc trong việc giải quyết các vấn đề tin học. Tuy nhiên, sẽ thật là khó để có thể tìm được
cơ cở và công thức cho việc sử dụng qui hoạch động. Chính vì vấn đề này, qui hoach động
lại trở thành không phổ biến. Đối với những bài toán như vậy, chúng ta lại cố gắng đi tìm
cách giải khác ví dụ như vét cạn hay tham lam....điều đó thật là dở! Chính vì vậy, tôi muốn
đưa ra một số bài toán áp dụng qui hoạch động để mong rằng sau bài báo này, các bạn sẽ
yêu thích giải thuật này hơn.
Trước hết các bạn phải luôn nhớ rằng, giải thuật qui hoạch động được xuất phát từ nguyên
lí Bellman: nếu 1 cấu hình là tối ưu thì mọi cấu hình con của nó cũng là tối ưu. Chính vì
vậy để xây dựng 1 cấu hình tối ưu, ta hãy xây dựng dần các cấu hình con sao cho các cấu
hình con này cũng phải tối ưu Đây chính là đường lối chủ đạo cho mọi bài toán qui hoạch
động. Sau đây là một số bài toán được giải quyết bằng qui hoạch động.
I. Các bài toán
Bài 1: Trước tiên chúng ta hãy xét 1 bài toán thật đơn giản và quen thuộc đó là tìm giá trị
lớn nhất trong n số là a
1
, a
2
, ..., a
n
. Giải quyết bài toán này, ta sẽ xây dựng các cấu hình con
tối ưu bằng cách lần lượt tìm số lớn nhất trong k số đầu tiên với k chạy từ 1 đến n:
K=1: max1:=a1;
K=2: max2:=max(max1,a2);
K=3: max3:=max(max2,a3);
..............................................
K=n: maxn:=max(maxn-1,an);
Như vậy khi k đạt tới n thì max
n

If i >= a[i] then f[i,j]:=Max(f[i-a[j],j]+ c[j],f[i-1,j])
Else f[i,j]:=f[i-1,j].
Như vậy cho đến f[w,n] ta sẽ thu được giá trị lớn nhất có thể đạt được từ n loại đồ vật đã
cho sao cho trọng lượng không vượt quá w. Hệ thức toán trên được gọi là hệ thức Dantzig.
Có thể rất dễ hiểu được thuật toán như sau:
Phần khởi tạo: f[i,1] có nghĩa là giá trị lớn nhất nếu chỉ có 1 loại vật (ở đây là vật 1) mà
trọng lượng không quá ị Như vậy nếu i < a[1] thì rõ ràng không thể mang theo vật nào và
giá trị f=0. Ngược lại nếu i ≥ a[1] thì số vật được phép mang theo đi sẽ là i div a[1] và giá
trị đạt được là f= c[1]*(i div a[1]).
Phần xây dựng: chúng ta xét đến f[i,j] có nghĩa là xét đến giá trị lớn nhất có thể đạt được từ
j loại đồ vật (1,,j) mà trọng lượng không qúa i. Vậy thì rõ ràng là nếu i < a[j] thì có nghĩa là
đồ vật j không thể mang đi hay với trọng lượng là i thì ta vẫn không thể cải thiện được giá
trị f và f vẫn nhận giá trị f[i,j-1]. Ngược lại nếu i ≥a[j] thì chúng ta xét việc nếu mang thêm
vật j thì sẽ có lợi hơn việc không mang hay không, điều đó có nghĩa là xét Max(f[i-a[j],j]+
c[j],f[i-1,j]).
Chương trình cài đặt giải quyết bài toán cái túi rất đơn giản như sau:
Uses crt;
Var value,weight:array[1..30]of 0..500;{value: gia tri;weight: trong luong}
f:array[0..500,0..30] of 0..10000;
w,w1,sl:integer;
fi:text;
Procedure Init;
Var i:byte;
Begin
clrscr;
assign(fi,'tuịtxt');reset(fi);
readln(fi,w,sl);w1:=w;
for i:=1 to sl do readln(fi,weight[i],value[i]);
End;
{***********************************************}

trọng. Nếu chúng ta chỉ xây dựng được giá trị tối ưu thì đôi khi vẫn là chưa đủ. Vấn đề
được đặt ra là làm thế nào để xác định được cấu hình tối ưụ Để giải quyết vấn đề này ta lại
phải xác định được công thức truy hồị Thực tế là để xác định được công thức truy hồi này
thì cũng không phải quá khó bởi từ công thức qui hoạch động chúng ta cũng có thể suy
ngay ra được công thức truy hồị
Tôi xin trở lại với bài toán cái túi đã nêu ở trên để xây dựng cấu hình tối ưu cho bài toán
cái túi có nghĩa là phải mang những loại vật nào và mỗi loại vật là bao nhiêu để có được
giá trị sử dụng max: Xây dựng hàm phụ choose[i,k] với ý nghĩa để đạt được giá trị tốt nhất
tại f[i,k] thì cần phải sử dụng đến loại đồ vật nào (i=1..w,k=1..n) bằng cac công thức sau:
Choose[i,1]:=0 nếu i
Ta lần lượt cho k chạy tới n và i chạy tới w để xây dựng mảng choose như sau:
Nếu f[i,k]=f[i,k-1] thì choose[i,k]:=choose[i,k-1] (do không mang vật k)
Nếu không thì n choose[i,k]:=k (có nghĩa mang theo vật k)
Khi xây dựng đến choose[w,n] thì ta chỉ cần chú ý đến cột cuối cùng của mảng choose và
bắt đầu truy hồi. Giả sử mảng number[i] (i=1..n) sẽ cho ta số lượng loại vật i được mang
theo. Ta sẽ cải thiện chương trình giải bài toán cái túi ở trên như sau:
Program Bai_toan_cai_tui;
Uses crt;
Var value,weight,number:array[1..20]of 0..1000;{value:gia tri}
f,choose:array[0..1200,0..12]of 0..10000;
w,w1,sl:0..2000;
fi:text;
Procedure Init;
Var i:byte;
Begin
clrscr;
assign(fi,'tui.txt');reset(fi);
readln(fi,w,sl);w1:=w;
for i:=1 to sl do readln(fi,weight[i],value[i]);
End;

End;
{**************************************************}
Procedure Print;
Var i:byte;
Begin
write('* Gia tri cao nhat dat duoc la: ',f[w,sl]);writeln;
write('* Khoi luong da dung la: ',w-w1);writeln;writeln;
writeln('* Nha tham hiem can dem nhu sau: ');
for i:=1 to sl do
if number[i]<>0 then
begin write(' - ',number[i],' vat ',i, ' voi trong luong ',number[i]*weight[i],' va gia tri:
',number[i]*value[i]);
writeln;
end;
End;
{************* Main **********************}
Begin
Init;
Solve;
Print;
Readln;
End.
III. Bàn luận
Về bài toán cái túi còn rất nhiều lời giảị Ta cũng có thể giải quyết bài toán cái túi bằng
thuật toán nhánh cận. Ưu điểm lớn nhất của thuật toán nhánh cận là có thể chỉ ra được mọi
cấu hình tối ưu của bài tóan, tuy nhiên trong trường hợp xấu nhất, nhánh cận lại chính là
vét cạn. Chính vì vậy, thời gian để thực hiện chương trình bằng nhánh cận sẽ rất lâụ
Rất tiếc rằng, giải thuật qui hoạch động luôn luôn chỉ nêu ra được một cấu hình tối ưu. Nếu
chúng ta giải bằng qui hoạch động như trên, thời gian chạy chương trình rất nhanh chóng.
Chương trình trên hoàn toàn có thể cải thiện được bằng cách thay vì dùng mảng 2 chiều f