10
( )
( )
2
4
2
0
3 tan 1
1
4
3 12
9 tan 1
0
t dt
I t
t
π
π
π
+
= = =
+
∫VD 6.
Tính tích phân:
( )
5
2

6
cos 6
9 9sin 1 sin
0
tdt tdt tdt
I t
t
t t
π π π
π
π
= = = = =
− −
∫ ∫ ∫VD 7.
Tính tích phân:
3
2 2
1
3
dx
I
x x
=
+
∫

Giải:

3 3 sin
sin 1
3tan 3tan 3
cos cos
dt
t
tdt
t
I dx
t
t
t
t t
π π
π π
+
−
= = =
+
∫ ∫ ∫

( )
3
2
6
sin
1 1 6 2 3
3
3 sin 3sin 9
6

ln
P x xdx
∫
 ta đặt u=
ln
x
(Do lnx không có nguyên hàm)
 Dạng 2:
( )
. sin( )
cos( )
ax b
e
P x ax b dx
ax b
+
 
 
+
 
 
+
 
∫
 ta đặt u=P(x)
Với cách ấy khi lấy công thức 1 ta sẽ được bài toán dẫn tới nguyên hàm đồng dạng với bậc của P(x)
thấp hơn…

GIẢI CÁC VÍ DỤ:
VD 1.

= + ⇒ =

− +

⇒ = + = +

−
= ⇒ =


∫VD 2.
Tính tích phân:
2
1
I (x 2)lnx dx.
= −
∫
(đề dự bị khối D 2006)
Giải:
Đặt:
( )
2
1
ln
2
2
2

I x x dx
 
 
⇒ = − − − = − +
 
 
 
 
∫VD 3.
Tính tích phân:
2
4
0
sin
xdx
π
∫

Giải:
Đặt t=
2
2
x t x tdt dx
⇒ = ⇒ =

X
0

sin cos
u t du dt
dv tdt v t
= =
 
⇒
 
= = −
 

2
0
cos cos cos 0cos 0 sin 1
2 2
2 2
0 0
I t t tdt t
π
π π
π π
= − + = − + + =
∫

B=2I=2

VD 4.
Tính tích phân: A=
2
0
cos

π
π
= − + = − + + = +
∫ ∫ ∫
(1)
Tính
2
0
cos
x
K e xdx
π
=
∫

Đặt:
cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x
 
= =
⇒
 
= =
 

2
2
0

∫

Giải:
Đặt:
2
2
sin cos
sin cos
du dx
u x
v x xdx
dv x xdx
=

=


⇒
 
=
=



∫

Tính:
2
sin cos
v x xdx

cos 1 1
cos
0
3 3 3 3
x
A x xdx K
π
π
π
= − + = +
∫
(1)
Tính
( )
3 2
0 0
cos 1 sin cos
K xdx x xdx
π π
= = −
∫ ∫

Đặt t=sin(x) cos
dt xdx
⇒ =

X
0
π


+
=
+
∫

Giải:
2
2
3
sin
2cos
2
x x
D
x
π
π
+
=
∫
Đặt:
( )
2
sin
1 cos
1
tan
2cos
2
2

x x
D x x x dx K
π
π
π
π π
π
 
 
= + − + = + − + −
 
 
 
 
 
∫
(3)
Với:
( )
2 2 2
2
3 3 3
1 cos tan 2cos tan sin
2 2 2
x x x
K x dx dx xdx
π π π
π π π
= + = =
∫ ∫ ∫

I x tgxdx
π
=
∫

 Tính tích phân:
7
3
0
2
1
x
I dx
x
+
=
+
∫

 Tính tích phân:
2
0
ln
e
I x xdx
=
∫

 Tính tích phân:
4

2
2
2 1 cos 2
I x dx
π
π
−
= +
∫

 Tính tích phân:
3
6
sin 4 sin 3
tan cot 2
x x
I dx
x x
π
π
=
+
∫

 Tính tích phân:
10
5
dx
I
x 2 x 1

6
0
sin sin
cos 2
x x
I
x
π
+
=
∫

 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
(
)
2
P : y x x 3
= − +
và đường thẳng
d : y 2x 1.
= +

 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( ) ( ) ( )
2
2
27
1 ; 2 ; 3
27
x

0;
f x x I
≤ ∀ ∈
 Hàm số giảm

VD 1.
Cho hàm số:
( )
( )
3 2 2
1
2
3
y f x x mx m m x
= = − + + −
Tìm m để hàm số:
a. Tăng trên R
b. Giảm trên (0;2)
c. Tăng trên
(
)
4;
+∞

d. Giảm trên đoạn có độ dài bằng 2
e. Tăng trên 2 khoảng
(
)
;4
−∞ và

3 2 0
y
m m
m
y
m m

≤

+ − ≤
 
⇔ ⇔ ≤
 
≤
− + ≤





Vì c. Ycbt

<
∆ >



≥ ⇔ + + ≥
 
 
< −


<


Vậy ycbt 
(
)
; 7
2
m
m

∈ −∞ −

≥


d. Ycbt
1 2
2


( )
( )
2
2
' 0
2
' 0
2 0
2
' 4 0
9 14 0
2 1
' 2 0
3 2 0
4 2
4 2
2
m
m
m
y
m m
m
y
m m
S
m
∆ ≤



 


 

− < <
− < <





VD 2.
Cho hàm số
( )
2
2 2 2
1
3 3
m
y x mx m m x
−
= + + − + tìm m để hàm số:
a. Giảm trên miền xác định.
b. Tăng trên (0;2)
c. Giảm trên

⇔ ∆ ≤ ⇔ ≤b. Tăng trên (0;2)
(
)
( )
2
2
' 0 0
0
1
' 2 0
5 4 0
y
m m
m
y
m m

≥

− + ≥
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
≥
− + + ≥



m
y m m
m
S


>
∆ >



≤ ⇔ − + − ≤
 
 
<


<


Vậy YCBT
[ ]
0
4
0;4
m
m
m
≤


( )
( )
' 0
' 0 0
1 4
' 6 0
0 6
2
y
m
y
S
∆ ≥


≤


⇔ ≤ ≤

≤


< <



Tóm lại: ycbt 
0
1 4
Cực Tiểu Bài 1: Cho (Cm)
( )
3 2 2 3
1
2 1
3
y x mx m x m m
= − + − + −
. Tìm m để:
a. Tìm m để C có điểm cực đại nẳm trên Oy
b. Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ <1

18
c. Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ >-1
d. Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ nằm trong [-2;3]
e. Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ dương
f. Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ trái dấu nhau
g. Hàm số đạt CĐ và CT tại x
1
;x
2
sao cho
(
)
3 3


CT

a. Ycbt  Hàm số đạt cực đại tại x=0
(
)
2
' 0 0
2 1 0
2
2
0
0
2
y
m
m
S
m

=

− =

⇔ ⇔ ⇔ =
 
>
<



∆ >


<



⇔ > ⇔ − > ⇔
  

>

  
<

 
<
<



⇒

1 0
m
− < <

c. Ycbt  Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ >-1
( )
2



⇔ − > ⇔ + > ⇔ ⇔
  

< −

  
> −

 
> −
> −


0 1
m
< <

d. Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ nằm trong [-2;3]
Ycbt
( )
( )
( )
( )
2
2
' 0
1
' 2 0

 
 
− ≤ ≤
− ≤ ≤




e. Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ dương

19
Ycbt
( )
2
1 1
2
1 1
' 0
2
2
' 0 0 2 1 0 1
2
2
0
0
2
2
0
m
m

 
<



>


f. Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ trái dấu nhau
(
)
2
' 0 0
2 2
2 1 0
2 2
' 0 1
y
m m
m

<
−

⇔ ⇔ − < ⇔ < <

∆ > ⇒ <




x x m

= −


+ =


Vậy ta có (1)
( )
( )
2
3
2
1 0
2 3 2 1 .2 min
m
P m m m

− + >

⇔

= − − →



3
1 1
4 6 min

X
−∞
-1
2
2
−
2
2
1
+∞

Y’ - 0 + 0 -
Y

-2
2 2
-
2 2
2 min
2 2
P = − khi
2
2
m