Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 40

e) (C):
2
43
2
xx
y
x
++
=
+
và (C¢):
1
ymx
=+
.
Baøi 3. Cho (C) và (C¢).Tìm tập hợp các điểm.
1) Tìm m để (C) cắt (C¢) tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó x
C
không đổi).
2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.
a) (C):
32
3
yxx
=- và (C¢):
ymx
=
.

=+
b) (C):
2
1
1
xx
y
x
++
=
+

Baøi 5.
a) Cho (C):
2
1
x
y
x
-
=
-
. Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được tiếp
tuyến với (C).
b) Cho (C):
32
32
yxx
=-+-
. Tìm tập hợp các điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó có


Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 41

6. HM S Cể CHA DU GI TR TUYT I

Bi toỏn: V th ca hm s y = f(x) vi f(x) cú cha du giỏ tr tuyt i.
Cỏch 1: Kho sỏt s bin thiờn v v th.
ã Xột du biu thc cú cha du giỏ tr tuyt i.
ã Chia min xỏc nh thnh nhiu khong, trong mi khong ta b du giỏ tr tuyt i.
ã V th hm s tng ng trong cỏc khong ca min xỏc nh.
Cỏch 2: Thc hin cỏc phộp bin i th.
Dng 1: V th hm s
()
yfx
= .
th (CÂ) ca hm s
()
yfx
= cú th c suy t th (C) ca hm s y = f(x)
nh sau:
+ Gi nguyờn phn th (C) phớa trờn trc honh.
+ Ly i xng phn th ca (C) phớa di trc honh qua trc honh.
+ th (CÂ) l hp ca hai phn trờn.

Dng 2: V th ca hm s
(
)
yfx
= .

42
23
yxx
=
; (CÂ):
42
23
yxx
=
;
42
23
xxm
=
(1)
c) (C):
2
252
1
xx
y
x
+-
=
+
; (CÂ):
2
252
1
xx

xx
y
x

=
-
;
2
1
2
xx
m
x

=
-
(1)
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 42

e) (C):
22
2
x
y
x
-
=
-
; (C¢):

=-+-
;
3
2
2912
xxxm
-+=

b) (C):
2
1
x
y
x
=
-
; (C¢):
2
1
x
y
x
=
-
;
(2).0
mxm
=
(1)
c) (C):

Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C¢). Dùng đồ thị (C¢), tìm
m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt:
a) (C):
42
21
yxx
=
; (C¢):
42
21
yxx
=
;
42
2
21log
xxm
= ; k = 6.
b) (C):
32
69
yxxx
=-+
; (C¢):
3
2
69
yxxx
=-+;
3

m
x
+-
=
+
; k = 4.
d) (C):
4
2
5
3
22
x
yx
=-+
; (C¢):
4
2
5
3
22
x
yx
=-+
;
4
22
5
32
22Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 43

7. IM C BIT TRấN TH CA HM S

VN 1: Tỡm im trờn th (C): y = f(x) cú to nguyờn
Tỡm cỏc im trờn th hm s hu t
()
()
Px
y
Qx
= cú to l nhng s nguyờn:

ã
Phõn tớch
()
()
Px
y
Qx
= thnh dng ()
()
a
yAx
Qx

+
b)
10
2
x
y
x
-
=
+
c)
2
2
x
y
x
+
=
-

d)
2
1
2
xx
y
x
++
=
+


VN 2: Tỡm cp im trờn th (C): y = f(x)
i xng qua ng thng d: y = ax + b
C s ca phng phỏp: A, B i xng nhau qua d

d l trung trc ca on AB

ã
Phng trỡnh ng thng
D
vuụng gúc vi d: y = ax = b cú dng:

D
:
1
yxm
a
=-+ã
Phng trỡnh honh giao im ca
D
v (C):
f(x) =
1
xm
a
-+
(1)

, y
B

ị
A, B.
Chỳ ý:
ã
A, B i xng nhau qua trc honh


AB
AB
xx
yy
ỡ
=
ớ
=-
ợã
A, B i xng nhau qua trc tung


AB
AB
xx
yy
ỡ

yy
ỡ
+=
ớ
=
ợ

Baứi 1. Tỡm trờn th (C) ca hm s hai im i xng nhau qua ng thng d: (d)

(C)

(D)

B
A
I

Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 44

a)
3
():;:20
Cyxxdxy
=++=
b)
4

Baứi 2. Cho th (C) v ng thng d. Vit phng trỡnh th (CÂ) i xng vi (C) qua
ng thng d:
a)
32
():35102;:2
Cyxxxdx
=-+-=-
b)
2
237
():;:2
1
xx
Cydx
x
-+
==
-

c)
2
2
():;:2
2
xx
Cydy
x
+-
==
-

.

ã
Phng trỡnh honh giao im ca (C) v d:
f(x) =
()
kxab
-+
(1)

ã
Tỡm iu kin d ct (C) ti 2 im phõn bit
A, B. khi ú x
A
, x
B
l 2 nghim ca (1).

ã
T iu kin: A, B i xng qua I

I l trung im ca AB, ta tỡm c k
ị
x
A
, x
B
.
Chỳ ý: A, B i xng qua gc to O


c)
32
():321;(0;0)
CyxxxIO= + d)
4
():;(0;0)
1
x
CyIO
x
+
=
+

e)
34
():;(1;1)
21
x
CyI
x
+
=
-
e)
( )
2
251
():;2;5
1

x
-+
=
-
d)
32
251
():;(2;1)
23
xxx
CyI
x
+
=
-

Baứi 3. Tỡm m trờn th (C) cú mt cp im i xng nhau qua im:
a)
3222
():33(1)1;(0;0)
CyxmxmxmIO=-+-+-
b)
32
():73;(0;0)
CyxmxxIO=+++
c)
32
():94;(0;0)
CyxmxxIO=+++ d)
222

D
: ax + by + c = 0:
d(M,
D
) =
00
22
axbyc
ab
++
+

3) Diện tích tam giác ABC:
S =
( )
2
22
11
sin
22
ABACAABACABAC
=-
uuuruuurBaøi 1. Cho đồ thị (C) và điểm A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất. Chứng minh
rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M.
a)
2
():1;(0;0)

Cyxxdyx
=-=+
d)
1
():;:23
1
x
Cydyx
x
+
==-+
-

Baøi 3. Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước.
a)
2
():;1
2
x
Cyk
x
+
==
-
b)
2
1
():;1
1
xx

cận là nhỏ nhất.
a)
2
():
2
x
Hy
x
+
=
-
b)
21
():
1
x
Hy
x
-
=
+
c)
49
():
3
x
Hy
x
-
=

Hy
x
++
=
+

Baøi 5. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục
toạ độ là nhỏ nhất.
a)
1
():
1
x
Hy
x
-
=
+
b)
21
():
2
x
Hy
x
+
=
-
c)
49

-
f)
2
6
():
3
xx
Hy
x
+-
=
-

Baøi 6. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm của hai
tiệm cận là nhỏ nhất.
a)
2
22
():
1
xx
Hy
x
++
=
-
b)
2
1
():;1

+
=
-
c)
49
():
3
x
Hy
x
-
=
-

d)
1
():21Hyx
x
=++
e)
2
33
():
1
xx
Hy
x
-+
=
-

Hydxym
x
+
=-+=
-


b) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

32
40
xax
+-=

ĐS: b) a < 3.
Baøi 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
32
691
yxxx
=-+-
.
b) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị
của hàm số?
ĐS: b) một tiếp tuyến.
Baøi 3. Cho hàm số:
3
3(1)
yxx=-
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Chứng minh rằng m khi thay đổi, đường thẳng d cho bởi phương trình:
(1)2
ymx
=++
luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các giá
trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho
tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.
ĐS: b)

7
4
m
=

Baøi 6. Cho hàm số:
42
13
22
yxmx
=-+
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua
3
0;
2
A
æö
ç÷
èø
tiếp xúc với (C).
c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.
ĐS: b)
33
;22
22
yyx
==±+
c) m £ 0.

b) Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2).
ĐS: b) (2 ; 0), (0 ; 2).
Baøi 9. Cho hàm số:
1
2()
yxC
x
=-+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.
c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông
góc với nhau.
ĐS: b)
11
;
22
M
æö
ç÷
èø
c)
25.
k =-±
Baøi 10. Cho hàm số:
22
(1)442
(1)
xmxmm
y
xm

S =
Baøi 12. Cho hàm số:
2
221
1()
11
xx
yxC
xx
++
==++
++

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm
cận xiên của nó.
ĐS: b)
12
232232
1;;1;
2222
MM
æöæö
-+
ç÷ç÷
èøèø

Baøi 13. Cho hàm số:
2
(1)1

++
=
+

b) Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng ( ) : y + 3x + 6 = 0 là nhỏ
nhất.
ĐS: b)
12
3555
;;;
2222
MM
æöæö

ç÷ç÷
èøèø
.
Baøi 15. Cho hàm số:
2
22
1
xmx
y
x
+-
=
-
với m là tham số.
a) Xác định m để tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của đồ thị của
hàm số trên có diện tích bằng 4.

3232
330
xxkk
-++-=
có 3 nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS: b)
13;0;2;
kkk
-<<¹¹
c)
2
2
yxmm
=-+

Baøi 18. Cho hàm số:
422
(9)10
ymxmx
=+-+
(1) (m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
ĐS: b)
303.
mhaym
<-<<

Baøi 19. Cho hàm số:

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có
hoành độ dương.
ĐS: b)
1
0.
2
m
-<<

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 50

Baøi 21. Cho hàm số:
32
3
yxxm
=-+
(1) (m là tham số)
a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
ĐS: a) m > 0.
Baøi 22. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
24
(1)
2
xx
y
x
-+

23(1)
3
yxxx=-+ có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp
tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
ĐS: b)
8
:;1.
3
yxk
=-+=-
D

Baøi 25. Cho hàm số:
32
391(1)
yxmxx=-++ (với m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1.
ĐS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2. Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit


0
¹
a

1
0
== aa
a

)(
*
Nnn Î-=
a
0
¹
a

n
n
a
aa
1
==
-
a

),(
*
NnZm

r
aa lim=
a

2. Tính chất của luỹ thừa
· Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

a
a
a
aaabababa
b
a
baba
b
a
b
a
baabaaa
a
a
aaa =
÷
ø
ö
ç
è
æ
====
-+

=
.
· Với a, b
³
0, m, n
Î
N*, p, q
Î
Z ta có:

.
nnn
abab
= ;
(0)
n
n
n
aa
b
b
b
=>
;
( )
(0)
p
n
pn
aaa

a
.
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
(1)
N
CAr
=+

CH
ƯƠ
NG II

HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ
LOGARIT
I. LUỸ THỪA
Hm s lu tha m logarit Trn S Tựng
Trang 52

Baứi 1. Thc hin cỏc phộp tớnh sau:
a)
( ) ( )
32
3
727
1 7.
8714
A

32D
-
=

e)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
73
4
452
18.2.50
25.4.27
E

=

f)
( ) ( )
( )
33
6
4
2
3
125.16.2
255
F

=
ộự


i)
4
3
54
3
4.64.2
32
I
ổử
ỗữ
ốứ
= k)
555
2
3
5
81.3.9.12
3.1827.6
K =
ổử
ỗữ
ốứ

Baứi 2. Vit cỏc biu thc sau di dng lu tha vi s m hu t:
a)
( )
4
23
,0

bb
bb

Baứi 3. n gin cỏc biu thc sau:
a)
1,51,5
0,50,5
0,5
0,50,5
0,50,5
2
ab
ab
b
ab
ab
ab
+
-
+
+
-
+
b)
0,50,50,5
0,50,5
221
.
1
21

ốứ
d)
111111
222222
2
11
22
33
.
2
xyxyxy
xy
xy
ổử
ỗữ
+
+
ỗữ
-
ỗữ
ổử
ỗữ
ỗữ
-
ốứ
ốứ

e)
(
)

2
abc
bca
abc
bc
abc
-
-
-
-
-
ổử
++
+-
+++
ỗữ
ỗữ
-+
ốứ

Baứi 4. n gin cỏc biu thc sau:
a)
33
66
ab
ab
-
-
b)
4

d)
33
22
3333
22223
6
66
2
axaxax
axaaxx
x
ax
+-
+
+
-
-

Trn S Tựng Hm s lu tha m logarit
Trang 53

e)
3
44
33
44
11
11
xxx
xx

ộự
-+-
ờỳ
+
ờỳ
-
-
ởỷ

g)
( )
33
22
1
666
3333
2222
3
.
2
ababab
aba
aabbab
-
ộự
-+
ờỳ
+
ờỳ
-+-

0,001vaứ100
-
f)
( )
2
2
4vaứ0,125
-

g)
( ) ( )
35
22
vaứ

h)
45
45
54
vaứ
-
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
i)
1011
0,0250
vaứ
-


mn
> c)
11
99
mn
ổửổử
>
ỗữỗữ
ốứốứ

d)
33
22
mn
ổửổử
>
ỗữỗữ
ốứốứ
e)
( ) ( )
5151
mn
-<- f)
( ) ( )
2121
mn
-<-

Baứi 7. Cú th kt lun gỡ v s a nu:
a)


->- e)
( ) ( )
3
2
4
22
aa
->- f)
11
22
11
aa
-
ổửổử
>
ỗữỗữ
ốứốứ

g)
37
aa
< h)
11
178
aa

<
i)
0,253

33
9
x
x
-
ổử
=
ỗữ
ốứ
e)
2827
.
92764
xx-
ổửổử
=
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
f)
2
56
3
1
2
xx-+
ổử
=
ỗữ

ốứ

k)
5.20,001
xx
= l)
( ) ( )
1
12.3
6
xx
=
m)
11
1
7.4
28
xx
=
Baứi 9. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
a)
0,1100
x
> b)
3
1
0,04
5
x
ổử

x
<

g)
( )
1
3.3
27
x
> h)
1
1
27.3
3
xx-
<
i)
3
1
.21
64
x
æö
>
ç÷
èø

Baøi 10. Giải các phương trình sau:
a)
2

g)
3.92.950
xx-
-+=
h)
2
56
31
xx-+
=
i)
1
42240
xx+
+-=