Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
- §Ỉt
(
)
2
t log x
= , bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi

4 2 2
2
2
t 13t 36 0 4 t 9
1 1
3 log x 2
3 t 2
x

8 4
2 log x 3
2 t 3
4 x 8
− + < ⇔ < <



− < < −
− < < −
< <




Lời giải:
- §Ỉt
x 5 3 2
X 5 0, Y 5 0
x− −
= > = >
.Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
2
X
4X 5Y
Y
− <
(1)
- Do
Y 0
>
nªn

(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
x 5 1 3 x 2
1 X 4XY 5Y X 4XY 5Y 0 X Y X 5Y 0
X 5Y 0 X 5Y 5 5
x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
− + −


≥ ≥


⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
  
− + < < <
− > −





- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ:
2 x 18
≤ <
.
BÀI TẬP
Giải các bất phương trình sau:
1)
(
)
(
)
x x
x
1
5 1 5 1 2
4
+ + − =

ề
u ki
ệ
n

x 0
>
.
-
§Ỉt
t
4
t log x x 4
= ⇔ =
, bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh
(
)
t
5
log 3 2 t
+ >t
t t
t
3 2
3 2 5 1
5 5
 

)
t 1 t 1
f f
> ⇔ <
,
ta ®−ỵc
4
log x 1 0 x 4.
< ⇔ < <

Biờn son: GV HUNH C KHNH
- Vậy bất phơng trình có nghiệm là:
0 x 4
< <
.

Vớ d 2. Gii bt phng trỡnh:
2
2
3
2
x x 1
log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
> +
+

Li gii:
- Đặt

Từ (1) ta có
(
)
(
)
f u f v u v
> >2 2
2
x x 1 2x 2x 3
x 3x 2 0
1 x 2.
+ + > +
+ <
< <

- Vậy bất phơng trình có nghiệm là:
1 x 2
< <
.
Lu ý:

1.
Với bất phơng trình dạng
log log
a b
u v
<

t
>
, suy ra
(
)
(
)
.
f u f v u v
< <

BAỉI TAP
Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
1)
(
)
3
x
6 64
log x x log x
+

2)
x x x
2.2 3.3 6 1.
+ >

3)
x x x x
16 3 4 9 .

log 0
I
5 x
2 3x 1 0
+

>




+ <

và
( )
x
5 x
log 0
II
5 x
2 3x 1 0
+

<




+ >


Biờn son: GV HUNH C KHNH
- Giải hệ (II)
+
5 x 5
5 x 5
5 x 5 x
log 0 0 1 5 x 0
2x
x 0 x 5
5 x 5 x
0
5 x
< <

< <

+ +

< < < < <

< >

<




.
+
x

2 1

+


. 5. MOT SO PHệễNG PHAP KHAC
Vớ d 1. Gii bt phng trỡnh:
( )
2 3
1
log x 2 4 log 8
x 1

+ +

Li gii:
- Điều kiện
x 2.


- Ta có nhận xét sau:
+
(
)

=
=

=

=
=




.
- Vậy bất phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Vớ d 2. Gii bt phng trỡnh:
(
)
x
x 9
log log 3 9 1

<Li gii:
- Để
(
)
x
9
log 3 9

-
Đặt
(
)
x
3 t, t 0
= >
, ta có hệ
x
3
2
t 10
t 0 3 10 x log 10
t t 9 0
>

> > >

+ >

.
Vớ d 3. Gii bt phng trỡnh:
(
)
2 3 4 2 2
2 2
5x 6x x x log x x x log x 5 5 6 x x
+ > + + +

Li gii:

0 x 3
<
thì
2
xlog x 5 0,
<
do đó
Biờn son: GV HUNH C KHNH
( )
2
2
0 x 3
0 x 3
5
* x 3
2x 3x 5 0
2
6 x x 1 x 0
<

<


<

>
+ + <




(
)
x 2
4 x.2 x 1 2 2 x 0
+ >
(2)
- Từ (1) ta có
3
x 2
2
x 2 x.2 2.2 2.2 4.


< =
. Do đó (2) tơng đơng với

2
2
2 x 2
2 2 x 1 x
x 1 2 2 x 0



>

+ >




1 x
5









<
>
< <





- Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là
x 1; 2 .

Vớ d 5. Gii bt phng trỡnh:
( ) ( )
2 2
1 1
log x 1 log 3 2x

<
<





(
)
2
log x 1 0 x 1 1 x 0.
+ > + > >


(
)
2
log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.
> > <

-
Ta có bảng xét dấu

-
Từ đó ta có các trờng hợp sau
+ TH1: Với
1 x 0


0
1
-

+
+

+
+ -
2
3

log
2
(x+1)
Biờn son: GV HUNH C KHNH
+ TH3: Với
3
1 x
2
< <
thì
VT 0, VP 0,
> <
bất phơng trình có nghiệm với mọi
3
1 x
2
< <

a
u

và
log
b
v

cùng dấu thì bất phơng trình tơng đơng
với
log log .
a b
u v
<

Vớ d 6. Trong các nghiệm
(
)
x; y

của bất phơng trình
(
)
2 2
x 2y
log 2x y 1
+
+
, chỉ ra các
nghiệm có tổng


+ >

+ +


- Rõ ràng nếu
(
)
x; y
là nghiệm của bất phơng trình thì tổng
(
)
2x y
+ lớn nhất chỉ xảy ra khi
nó là nghiệm của hệ
(
)
II

( )
( )
2 2
2
2
x 2y 1
II
1 9
x 1 2y
8

2 2

và
1
2;
2
, ta đợc
( ) ( )
2
2
2
1 1 1 1 9 9 81
2 x 1 2y x 1 2y 4 .
2 8 2 16
2 2 2 2 2

+ + + =


2 2
2
1
2
2

+ =

=



+ =



=

=





- Với
1
x 2, y
2
= =
thoă mãn bất phơng trình

x 3
log log 9 72 1 2)
(
)
( )
3
a
a
log 35 x
3
log 5 x

>

vi
0 a 1
<
.
3)
( )
2
1
1
3
3
1 1
log x 1

10 3 10 3
+
+
< + (Hc vin GTVT nm 1998)

2)
( )
2
1
1
3
3
1 1
log x 1
log 2x 3x 1
>
+
+
(H Quc gia TPHCM 1999)

3)
(
)
(
)
2 2
4 2
1 log 2x 3x 2 log 2x 3x 2
+ + + > + +
(H Thu li 1999)

x
5 1

<
(H ngõn hng TPHCM 1998)
8)
( )
2
3 1 1
3 3
1
log x 5x 6 log x 2 log x 3
2
+ + >
(H Bỏch khoa H Ni)
9)
(
)
( )
2
2
2
log x 9x 8
2
log 3 x
+
<

(H Tng hp TPHCM 1964)
10)

1 x x 1 x
8 2 4 2 5
+ +
+ − + >

14)
x 1 x x 1
15.2 1 2 1 2
+ +
+ ≥ − +

15)
2 1
1
x x
1 1
3. 12
3 3
+
   
+ >
   
   

16)
x x x
2.14 3.49 4 0
+ − ≥

17)

)
(
)
x x
2 3 7 4 3 2 3 4. 2 3
+ + + − > +
21)
(
)
(
)
2x 1 2x 1
2. 3 11 2 3 11 4 3
− −
+ + − ≤
22)
2
2 x 2 x x
3 5x 2x 3x 3x.5 . 3 5x 2x 9 .5
− −
+ − + > + − +

23)
2 x 2 2 x
3x 5x 2 2x 3 .2x. 3x 5x 2 4x .3
− − + + > − − + +

24)
2 3
3

3 2
log 3 2 2.log 2 3 0
+
+ + − >

28)
2
2x
x
log 64 log 16 3
+ ≥

29)
( )
2
2
2
2
x 3
1 1 1
log x 6 2 log
2 12 64
+
− < +

30)
( )
( )
2
3

2
log x 1 log x 1
0
x 3x 4
+ − +
>
− −

34)
(
)
(
)
2 2
x
2 2
2 x 7x 12 1 14x 2x 24 . log
x x
   
+ − + − ≤ − − +
   
   

35)
(
)
( )
2
2
2

log 3.4 2.9 log 5
x
− −
 
+ + =
 
 

39)
(
)
2 2 2
2 1 4
2
log x log x 3 5 log x 3
+ − > −

40)
2 2
1 1
4 x
log 3 log 1
x 2
>
− −

41)
(
)
2 2

log x 1
2
3 1
2 3
x
log log 2 3
2
1
1
3
−
 
 
 
+ +
 
 
 
 
 
 
≥
 
 

45)
(
)
(
)

48)
(
)
2
x 3
log 5x 18x 16 2
− + >

49)
(
)
(
)
2 2
4 2
log 2x 3x 2 1 log 2x 3x 2
+ + + > + +

50)
1 3 x 3 x 1 3 x
8 2 4 2 5
+ − − + −
+ − + >
.
51)
2 2
3
2 2
x x 1 x x 1
x 1 2x 1

)
(
)
(
)
x 1 2 1 x 2 2 x
2 5x 11 2 x 24 x 1 x 9 2
+ − −
+ + − < − − −

55)
2x x x 4 x 4
3 8.3 9.9 0
+ + +
− − ≥

56)
(
)
(
)
2 3 5 7
log log x log log x
≤

57)
(
)
(
)

1 4
4
2 2
1
log y x log 1
y
x y 25

− − =



+ =


Lời giải:
- ðiều kiện:
y 0
y x
>


>


- Víi ®iỊu kiƯn trªn hƯ t−¬ng ®−¬ng víi
(
)
4 4
2 2


=




= − = −
= −
  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ = + =
 


 

+ =
=
 
 
 
 

+ Víi
x 3
=
suy ra
y 4

x y
x y
2 .3 12
3 .2 18

=

=


Lời giải:
-
L«garit c¬ sè
2
c¶ hai vÕ cđa hai ph−¬ng tr×nh trong hƯ ta đượ
c
2 2
2 2
x y.log 3 2 log 3
x.log 3 y 1 2.log 3
+ = +


+ = +


®©y lµ hƯ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn
- Ta cã
2
2

+

CHUYÊN ĐỀ 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ – LOGARIT
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
- Suy ra hÖ cã nghiÖm
x
y
D
x 2
D
D
y 1
D

= =




= =


.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
( )
3 2
2 2 2
2log y log x 1


3 2 2
3 2 3
2log y log x 1 log x 3
x 9

log y log x 1 log 2
y 8
y
= + =

=


⇔ ⇔ ⇔
  
= − =
=




-
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm
(
)
(
)
x; y 9; 8
= .

( )
2 2 4
2
4
4 4 4
2 2 2 4
9 9 9 9
2
2 2 4
16 16 16
16
log x yz 2 x yz 2
log x log y log z 2
log y log x log z 2 log xy z 2 xy z 3
log z log x log y 2
log xyz 2 xyz 4
 
= =

+ + =
 

 
+ + = ⇔ = ⇔ =
  
  
+ + =
= =

 

2 3

− − − <


+ − ≤



Lời giải:
- Tõ bÊt ph−¬ng tr×nh (2) trong hÖ suy ra
(
)
3
x 1 0 x 1.
− > ⇔ >(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 log x log x 1 1 log ( 1) 1 x x 1 2 1 x 2
x x
⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ < ≤

- Víi

' x 3x 6x, ' x 0 x 0 x 2
f f
= − = ⇔ = ∨ =

Ta cã b¶ng biÕn thiªn