Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 59 222222
abc
t
abbcca
ị=
++222222
222222222222222222
abcabcabc
H
abbccaabbccaabbcca
;;
ổử
ị
ỗữ
ỗữ
++++++
ốứ2
2222
222222
2
2222

222222
00
00
a
AHBCabacbcbcbc
abbcca
b
BHACacabbcacac
abbcca
.(;;)(;;)
.(;;)(;;)
ỡ
= =
ù
ù
++
ị
ớ
ù
= =
ù
++
ợ
uuuruuur
uuuruuurAHBC
BHAC
ỡ

222222222
111111
abbcca
OAOBOCabcabc
++
++=++=

2222
1111
OHOAOBOC
ị=++.
4. Chng minh
222
1
coscoscos.
abg
++=

Nhn xột:
ã
(
)
( )
OABABC
OABABCnn
()()
coscos(),()cos,
a
==
rr


222222
222222222222222222
abbcac
abbccaabbccaabbcca
=++
++++++

Vy:
222
1
coscoscos.
abg
++=

PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 60

Vớ d 2:
Cho tam giỏc u ABC cú ng cao AH = 2a. Gi O l trung im AH. Trờn ng thng
vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti O, ly im S sao cho OS = 2a.
1. Tớnh cosin ca gúc j to bi hai mt phng (SAB) v (SAC).
2. Trờn on OH ly im I. t OI = m (0 < m < a). Mt phng (a) qua I, vuụng gúc vi
AH ct cỏc cnh AB, AC, SC, SB ln lt ti M, N, P, Q.

22
0000
33
aa
AaBaCa
(;;),;;,;;
ổửổử
ị
ỗữỗữ
ốứốứ

1. Tớnh
cos
j
:
V
BESA
^
ti E
CESA
ị^
(vỡ
ã
SABCEBEC
())
j
^ị=

02012
SAaaa

240
5
a
attt-++=ị=

34
0
55
aa
E ;;
ổử
ị-
ỗữ
ốứ

2842
54323
55
353
2842
54323
55
353
aaaa
EB
aaaa
EC
;;(;;)
;;(;;)
ỡ

EBEC
a
.(;;)(;;)
coscos(,)
j

ị====
ổử
ỗữ
ốứ
uuuruuur

Vy
7
17
cos
j
=
.
2. Ta cú: I(0; m; 0),
010
OHa
(;;)
=
uuurị
phng trỡnh mp(MNPQ): y m = 0
z


O

a

j

2a

Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 61

a. Tớnh S
MNPQ
:
Ta cú:

22
20130
33
aa
ABa
;;(;;)
ổử
==
ỗữ
ốứ
uuur
;
22

ổử
= =
ỗữ
ốứ
uur

Phng trỡnh ng thng AB: 3
0
xt
yattR
z
()
ỡ
=
ù
=-+ẻ
ớ
ù
=
ợ0
3
am
MABMNPQMm
();;
ổử
+
=ầị

Phng trỡnh ng thng SB:
2
3
223
xt
yttR
zat
()
ỡ
=
ù
=ẻ
ớ
ù
=-
ợ2
22
3
m
QSBMNPQQmam
();;
ổử
=ầị-
ỗữ
ốứ

Phng trỡnh ng thng SC:

02202200
333
maamam
MQamMPamMN
;;;;;;;;
ổửổửổử

=-=-=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
uuuruuuruuuur(
)
22
222
2
22
1
2
1844
0000
2
33
1844642
2
33333
2
32

ỗữ
ỗữ
ốứ
ị=-++
uuuruuuruuuruuuurb/ Tỡm m (S
MNPQ
)
max
:
Bng xột du:
PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 62

m
Ơ
3
a

+Ơ

22
32
mama
-++Ơ

2
2
3
8
2323
32
33
MNPQ
coõsi
a
amm
aa
Samm
()
()
()
ộự
ổử
ờỳ
-++
ỗữ
ổử
ờỳ
ốứ
=-+Ê=
ỗữ
ờỳ
ởỷ
ốứ



36
OABOBCOCAABC
rabc
SSSS
().
DDDD
ị+++=

222222
222222
1
2
1
00
2
1
2
1
66
ABC
SABAC
abac
abbcca
rabc
abbccaabbcca
[,]
[(;;),(;;)]
()()
D

444
OMN
bcacab
nOMON
()
[,];;
ổử
==-
ỗữ
ốứ
uuuruuur
r

C

z

y

x

B

A

O

a

b

OMNOMP
OMNOMPnn
()()
()().
ị^=
rr222222
22222
222
111
0
161616
bcacab
acbbc
abc
().
-++=+==+ Vớ d 4:
Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB= a, AD = 2a. Trờn tia
AzABCD
()
^
ly im S. Mt phng
(a) qua CD ct SA, SB ln lt ti K v L.
1. Cho SA = 2a, AK = k
02

kyaazkyazak
():()
a
-+=+-=102
SBa
(;;)
=-
uur

Phng trỡnh ng thng SB: 0
2
xat
ytR
zt
()
ỡ
=+
ù
=ẻ
ớ
ù
=-
ợ0
2

aakakaaka
akak
akaakak
[,][,]
[(;;,;;][(;;,(;;)]
=+
ổử
= +
ỗữ
ốứ
ổử

=+++=+
ỗữ
ốứ
uuuruuuruuuruuur

Xột
22
22
22
4244
40
4
44
akkaka
fkakfk
ka
/
()()


y

D

N

M

K

L

a

2a

A

k

I
PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 64

Vy:
2
20
Sak
max


=
Ta cú:
2
22
42
4
aak
dS
ka
(,())
a
-
=
+3
3
124
36
14
33
244
66
352
SCDKLCDKL
SABCDABCD
aakak
VdSS


11
202
22
BMaasANas
(;;);(;;)
= =
uuuruuur

ị Phng trỡnh ng thng BM:
1
11
1
2
xaat
yattR
zst
()
ỡ
=+
ù
=-ẻ
ớ
ù
=-
ợ

Phng trỡnh ng thng AN:
22
2

(tr im D, do s > 0). Vớ d 5:
Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy
ã
2aASB
;.
a
=

1. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp.
2. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ni tip hỡnh chúp.
3. Tỡm a tõm mt cu ngoi tip v ni tip trựng nhau.
Gii:
Ta cú: AC = BD = 2a. Gi SO l ng cao v SO= h.
Chn h trc ta Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h)
Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 65 0000
CaDa
(;;),(;;)
ị

1. Tõm I v R ca (S) ngoi tip chúp S.ABCD
Do S.ABCD l hỡnh chúp t giỏc u nờn
0
00

hahaha
IRa
hhh
,()
;;,
ỡ
+=ù
ẻị
ớ
-+=
ù
ợ
ỡ
=-
ù
ị
ớ
-
=
ù
ợ
ổửổử
+
ị=+=
ỗữỗữ
ốứốứ

Mt khỏc:
2
2222

=
-21
21
a
OI
(cos)
cos(cos)
a
aa
-
=
-

2. Tõm J v r ca (S
/
) ni tip chúp S.ABCD:
Ta cú: 00
JOSJrOJr
(;;),
ẻị=2
2
22
222
2

a
aa
aa
a
===
===+
ị=+=++
-
ị==
+-
++

Vy:
1
1
a
OJr
cos(cos)
.
sincos
aa
aa
-
==
+-

3. Tỡm a I J

1
21

donhoùn)
(cos)(sincos)(sincos)(sincos)
sincos(sincos)
(
aaaaaaaa
aaaa
aa
-+-= +=
=+->
=

Vy
45
o
IJ
.
a
= z

S

x

A

23


Gii:
Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), S(0; 0; 2a)

00002
CabMmma
(;;),(;;)()
ịÊÊ
.
Ta cú: 0
MBC
nMBMCbma
()
[,](;;)
==
uuuruuur
r
.
02
SDba
(;;)
=-
uuur

ị Phng trỡnh mt phng (MBC):
0
mxazma
+-=

Phng trỡnh ng thng SD:
0

2
00000
2
abmb
MNBCbMBam
a
;;;(;;);(;;)
ổử
-
===-
ỗữ
ốứ
uuuuruuuruuurMNBC
BCMN
BCMB
ỡ
ịị
ớ
^
ợ
P
l hỡnh thang vuụng.

22
22
24
2224

m
bammbmama
Sma
aa
mama
/
()
()
.
ộự
+-
ị=-++=
ờỳ
ờỳ
++
ởỷ22
0
2
m
a
Sm
/
()
()

==
m
7182
8
ab -

5
2
aba

b

D

y

x

B

S

z

2a

M

3. Tỡm v trớ M
1
2
SBCNMSABCD
VV

=
Ta cú:
2
22
2
ama
dSMBC
ma
(,())
-
=
+2
22
22
2
12442
3412
12
2
33
SBCNM

()-+==-Ê
Vy
35
AMa
().
=- Vớ d 7:
Cho hỡnh lp phng ABCD.AÂBÂCÂDÂ cnh a.
1. Chng minh
ACABD
///
()
^ . Tớnh gúc j gia (DAÂC) v (ABBÂAÂ).
2. Trờn cnh AD
/
, DB ly im M, N tha AM = DN = k
02
ka
()
<< .
a. Chng minh MN // (A
/
D
/
BC)
b. Tỡm k MN
min
. Chng t khi ú MN l on vuụng gúc chung ca ADÂ, DB.

ABaa
ADaa
/
/
/
(;;)
(;;)
(;;)
ỡ
=-
ù
ù
ớ
=
ù
=
ù
ợ
uuuur
uuuur
uuuur222
222
0
ABD
ABD
ABD
nABADaaa

Vy
ACABD
///
()
^
z

A
/

D
/

B
/

C
/

A

D

B

C

k

y

ïï
=^
ÞÞ^
íí
^
ï
=
îï
î
uuuuruuuur
uuuuruuuur

Tính j:
22
1
0
nDADCaa
/
[,](;;)
==
uuuur
ruuur2
010
ABBA
nnj
//
()

D
/
BC):

2
1
22
2
101
ADBC
MNkakk
nnBABCa
//
/
()
(;;)
[,](;;)
=
===-
uuuur
uuuur
uuur
rr

Ta có:
2
0
2
a
MNnkk

a

+¥

MN
22
3
a
2
3
3
aa
MNk
min
Þ=Û=

Khi
2
3
a
k = thì
111
3
a

ï
= =
ï
î
uuuur
uuuur
uuuuruuur

Vậy MN là đoạn vuông góc chung của AD
/
và BD. Ví dụ 8:
Cho hình lập phương ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm của hình
vuông ADD
/
A
/
.
1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) đi qua 4 điểm C, D
/