CHƯƠNG I:
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
I. Phép tònh tiến
•
v
T
r
: M
a
M′ ⇔
'MM v=
uuuuur
r
•
v
T
r
(M) = M′,
v
T
r
(N) = N′ ⇒
' 'M N MN=
uuuuuur uuuur
•
v
T
r
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:

(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN
• Đ
Ox
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

=

= −

Đ
Oy
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

= −

=

III. Phép đối xứng tâm


= −

Đặc biệt: Đ
O
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x x
y y

= −

= −

IV. Phép quay
• Q
(I,
α
)
: M
a
M′ ⇔
'
( ; ')
IM IM
IM IM



=

π

π− α ≤ α < π

• Q
(O,90
0
)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x y
y x

= −

=

Q
(O,–90
0
)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:

' (1 )
' (1 )
x kx k a
y ky k b

= + −

= + −

Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến
∆
ABC thành
∆
A
′
B
′
C
′
thì nó cũng biến
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
∆
ABC tương ứng thành
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
∆
A
′
B
′
C

′
) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó (trừ hai
điểm A và A' với
'AA BA=
uuur uuur
).
3. Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác đònh bởi
AB DM=
uuur uuuur
và
·
·
CBM CDM=
.
Chứng minh:
·
·
ACD BCM=
.
HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ
AB
uuur
.
4. Cho tứ giác ABCD có
µ
A
= 60
0
,
µ

A
′
ED.
6. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tònh tiến
v
T
r
trong các trường
hợp sau:
a)
v
r
= (1; 1) b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
e)
v
r
= (0; 0) f)
v
r
= (–3; 2)
7. Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho

( )
/
v
T M M=
r
trong các trường hợp sau:
a) M(−10; 1), M’(3; 8) b) M(−5; 2), M′(4; −3) c) M(–1; 2), M′(4; 5)
d) M(0; 0), M′(–3; 4) c) M(5; –2), M′(2; 6) f) M(2; 3), M′(4; –5)
9. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng
(d’) là ảnh của (d) qua phép tònh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
10. Trong mpOxy, cho đường tròn (C):
( ) ( )
2 2

trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −
r
b)
v
r
= (2; 1) c)
v
r
= (–2; 1) d)
v
r
= (3; –2)
2
12. Trong mpOxy, cho Hypebol (H):
2 2
1
16 9
x y
− =
. Tìm phương trình của Hypebol (H′) là ảnh
của (H) qua phép tònh tiến theo
v
r
trong các trường hợp sau:
a)
( )
4; 3v = −

r
= (3; –2)
14. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ
v
r
= (2; m). Tìm m để phép tònh tiến
v
T
r
biến
d thành chính nó.
II. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1. Cho hai điểm B, C cố đònh trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn
đó. Tìm q tích trực tâm H của ∆ABC.
HD: Gọi H
′
là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối xứng trục
BC. Q tích điểm H là đường tròn (O
′
) ảnh của (O) qua phép Đ
BC
.
2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một điểm M
sao cho tổng AM + MB có giá trò nhỏ nhất.
HD: Gọi A
′
= Đ
d
(A). M là giao điểm của A
′

1
A
2
với các cạnh Ox, Oy.
5. Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và điểm M chạy trên cạnh BC. Giả sử Đ
AB
(M) = M
1
,
Đ
AC
(M) = M
2
. Tìm vò trí của M trên cạnh BC để đoạn thẳng M
1
M
2
có độ dài ngắn nhất.
HD: M là chân đường cao vẽ từ A của
∆
ABC.
6. Cho ∆ABC cân đỉnh A. Điểm M chạy trên BC. Kẻ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC. Gọi D′ =
Đ
BC
(D). Tính
·
'BD M
và chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vò trí điểm M.
HD:
·

2
+ 2x – 4y – 11 = 0
13. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
14. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):
a)
2 2
1
16 9
x y
+ =
b) x
2

17. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
III. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
1. Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố đònh và một điểm A thay đổi. Gọi H là trực
tâm của ∆ABC và H′ là điểm sao cho HBH′C là hình bình hành. Chứng minh rằng H′
nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra q tích của điểm H.
HD: Gọi I là trung điểm của BC. Đ
I
(H
′
) = H
⇒
Q tích điểm H là đường tròn (O
′
) ảnh
của (O) qua phép Đ
I
.
2. Điểm M thuộc miền trong tứ giác lồi ABCD. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là điểm đối xứng
của M qua trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác A′B′C′D′ là hình
bình hành.
3. Cho đường tròn (O, R) và một dây cố đònh AB = R
2
. Điểm M chạy trên cung lớn
»

đường tròn đường kính OO′.
4. Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD cắt các cạnh DC, AB tại P và
Q. Chứng minh rẳng các giao điểm của các đường thẳng AP, BP, CQ, DQ với các đường
chéo của hình bình hành là các đỉnh của một hình bình hành mới.
HD: Xét phép Đ
O
.
5. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm với:
a) Tâm O(0; 0) b) Tâm I(1; –2) c) Tâm H(–2; 3)
6. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
7. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 e) x = –1
8. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
4
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2

= 1 c) 9x
2
– 25y
2
= 225
11. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) y
2
= 2x b) x
2
= 2y c) y = x
2
IV. PHÉP QUAY
1. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A.
Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh ∆IMJ vuông cân.
HD: Xét phép quay Q
(A,90
0
)
.
2. Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là
trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM =
1
2
FK.
HD: Gọi D = Đ
(A)
(B). Xét phép quay Q
(A,90
0


Q
(B,60
0
)
.
5. Cho ∆ABC đều tâm O. Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD +
AE = AB. Chứng minh rằng OD = OE và
·
DOE
= 120
0
.
HD: Xét phép quay Q
(O,120
0
)
.
6. Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với
CM, cắt AB và AD tại E và F. CM cắt AD tại N. Chứng minh rằng:
a) CM + CN = EF b)
2 2 2
1 1 1
CM CN AB
+ =
HD: Xét phép quay Q
(C,90
0
)
.

0
:
a) (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 9 b) x
2
+ (y – 2)
2
= 4
c) x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 4 = 0 d) x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 11 = 0
V. PHÉP VỊ TỰ
1. Cho ∆ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh ba
điểm G, H, O thẳng hàng và
2GH GO= −
uuur uuur
.
HD: Xét phép vò tự V
(G,–2)
(O) = H.
2. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố đònh, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O). Tìm

2
.OI ON r=
uuruuur

⇒
N cố đònh.
b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O
1
) đường kính NO.
Tập hợp các điểm O
′
đường trung trực đoạn OI.
Tập hợp các điểm H là đường tròn (O
2
) = V
(O,2)
.
5. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O. AM
và AN cắt đường tròn (O) tại B và C.
a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố đònh khác A.
b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố đònh.
c) Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của ∆ABC.
HD: a) AO cắt (AMN) tại D.
2
. .OA OD OM ON R= = −
uuur uuur uuuur uuur

⇒
D cố đònh.
b) AO cắt BC tại E.

c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (K,
3
R
) ảnh
của đường tròn (O, R) qua phép
1
( , )
3
I
V
.
7. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vò tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0;
5), D(3; 0), O(0; 0).
8. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vò tự tâm I(2; 3), tỉ số k =
1
2
: A(2; 3), B(–3; 4), C(0;
5), D(3; 0), O(0; 0).
9. Phép vi tự tâm I tỉ số
1
2
k =
biến điểm M thành M’. Tìm toạ độ của điểm I trong các
trường hợp sau:
a) M(4; 6) và M’(–3; 5). b) M(2; 3) và M′(6; 1) c) M(–1; 4) và M′(–3; –6)
10. Phép vò tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Tìm k trong các trường hợp sau:
a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1). b) I(1; 2), M(0; 4) và M′(2; 0)
c) I(2; –1), M(–1; 2), M′(–2; 3)
11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép vò tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a) x + 2y – 1 = 0 b) x – 2y + 3 = 0 c) y – 3 = 0 d) x + 4 = 0

+ y
2
= 4
15. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1)
2
+ (y – 3)
2
= 9 qua phép vò tự tâm I(2; 1) tỉ số k
trong các trường hợp sau:
a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1 d) k = – 2 e) k =
1
2
f) k =
1
2
−
16. Xét phép vò tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C) thành (C′). Tìm phương trình
của đường tròn (C) nếu biết phương trình đường tròn (C′) là:
a)
2 2
( 1) ( 5) 4x y- + - =
b)
2 2
( 2) ( 1) 9x y+ + + =
c)
2 2
1x y+ =
ÔN TẬP CHƯƠNG I
1. Cho hình bình hành ABCD có CD cố đònh, đường chéo AC = a không đổi. Chứng minh
rằng khi A di động thì điểm B di động trên một đường tròn xác đònh.

vuông góc với phương của d sao cho d
1
=
u
T
r
(d).
7. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C′) =
v
T
r
(C) với
v
r
= (–2; 5).
8. Cho M(3; –5), đường thẳng d: 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 4 =
0.
a) Tìm ảnh của M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của d và (C) qua phép đối xứng tâm M.
9. Tìm điểm M trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0 sao cho MA + MB là ngắn nhất với A(0;
–2), B(1; –1).
10. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn tâm A(–2; 3) bán kính 4 qua phép

2
+ (y – 1)
2
= 4. Viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh của
(C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số
k = – 2 và phép đối xứng qua trục Oy.
15. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(–2x + 3; 2y – 1). Chứng
minh F là một phép đồng dạng.
CHƯƠNG II:
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Xác đònh một mặt phẳng
• Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))
8
• Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d))
• Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b))
2. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
• Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai
đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
• Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
• Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bò che khuất vẽ nét đứt.
VẤN ĐỀ 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai
mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó.
1.Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC).
2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là

5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần
lượt trên SA, AB, BC.
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD).
b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.
HD: a) Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK).
b) Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD và (SCD).
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui
•
Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt
phẳng phân biệt.
•
Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta có thể chứng minh giao điểm của hai
đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.
1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố đònh trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC.
Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N.
a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =AC∩BD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M.
b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng.
c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố đònh khi (P) di
động.
2.Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các đường
thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F thẳng hàng.
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF
cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui.
4.Cho hai điểm cố đònh A, B ở ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB không song song với (P). M
là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại A′, B′. Chứng minh
A′B′ luôn đi qua một điểm cố đònh.
5. Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B
1
, B′. Qua B dựng mặt
phẳng (Q) cắt AC, SC tại C

CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI).
2.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE=a. Kéo dài BD một đoạn
DF=a. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF).
10
b) Tính diện tích của thiết diện. HD: b)
2
6
a
3.Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB
và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
HD: Thiết diện là 1 ngũ giác.
4.Cho hình chóp S.ABCD. Trong ∆SBC, lấy một điểm M. Trong ∆SCD, lấy một điểm N.
a) Tìm giao điểm của MN và (SAC).
b) Tìm giao điểm của SC với (AMN).
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN).
HD: a) Tìm (SMN)
∩
(SAC) b) Thiết diện là tứ giác.
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của SB, SD và OC.
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA.
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh
SA, BC, CD.
HD: b) Thiết diện là ngũ giác. Các tỉ số là: 1/3; 1; 1.
6.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng
tâm ∆SAD.
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD.
b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp với
(CGM).

11
a
b
P
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
, ( )
/ /
a b P
a b
a b

⊂
⇔

∩ = ∅

2. Tính chất
• Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba
giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
•
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng
đó.
•
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với
nhau.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song
song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …)

12
•
Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
•
Áp dụng đònh lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến.
Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy.
1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AD, BC và G là trọng tâm của ∆SAB.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm
điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các
tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác đònh thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng (IJM).
3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt
là trọng tâm các tam giác SAD, SBC.
a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt
(SAD).
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD).
HD: b)
2
5
(a+b).
4.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một
điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
a) Xác đònh thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình
thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
HD: b)

nằm trong (P) thì d song song với (P).
•
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt
(P) thì cắt theo giao tuyến song song với d.
•
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng cũng song song với đường thẳng đó.
13
Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
•
Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song
song với b.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d
′
nào
đó nằm trong (P).
1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO′ song song với các
mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM =
1
3
AE, BN =
1
3
BD.
Chứng minh MN // (CDFE).
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, CD.

c) Chứng minh GA = 3GA′.
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác đònh thiết diện của hình chóp tạo bởi
mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước.
1. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song
song với SA.
a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC).
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
HD: c) MN // BC
14
2.Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A,
µ
B
= 60
0
, AB = a. Gọi O là trung điểm
của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB ⊥ OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh
AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P,
Q. Đặt x = BM (0 < x < a).
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất.
HD: b) S
MNPQ
=
(4 3 )
4
x a x−
. S
MNPQ

(Q) =
∅
2. Tính chất
• Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt
phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
•
Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song
với (P).
•
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
•
Cho một điểm A
∉
(P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm
trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
•
Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia
và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
•
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng
nhau.
•
Đònh lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những
đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
•
Đònh lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d
′
lần lượt lấy các điểm A, B, C
và A
′

=
.
a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố đònh.
b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước.
HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD.
b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k.
3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và CD.
a) CMR: (OMN) // (SBC).
b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng
minh IJ song song (SAB).
c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác
trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD).
HD: c) Chú ý:
ED FS
EC FB
=
4.Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường
chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song
song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M′, N′.
a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).
b) Chứng minh: (DEF) // (MNN′M′).
c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
HD: c) Trung tuyến tam giác ODE vẽ từ O.
5. Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax,
By sao cho AM = BN. Vẽ
NP BA=
uuur uuur
.
a) Chứng minh MP có phương không đổi và MN luôn song song với 1 mặt phẳng cố

2 2
2
2 2
2
3
0
2
( ) 3
2
thiết diện
b x a
nếu x
a
S
b a x a
nếu x a
a

< <


=

−

< <


2.Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn thẳng MN
nằm trong (Q).

c) M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho G
1
M luôn song song với mp(ACD). Tìm
tập hợp những điểm M.
HD: b)
4
9
S
5.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi H là trung điểm của A′B′.
a) Chứng minh CB′ // (AHC′).
b) Tìm giao điểm của AC′ với (BCH).
c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC′ và song song với AH và CB′. Xác đònh thiết
diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ.
HD: c) M, N, P, Q, R theo thứ tự chia các đoạn CC
′
, B
′
C
′
, A
′
B
′
, AB, AC theo các tỉ số
1, 1, 3,
1
3
, 1.
6.Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
17

2
a
.
c) Thiết diện là lục giác MRNPSQ có tâm đối xứng là O.
Chu vi nhỏ nhất: 3a
2
; chu vi lớn nhất: 2a(
2
+ 1).
8.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′.
a) Tìm giao tuyến của (AB′C′) và (BA′C′).
b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA′ và BC. Tìm giao điểm của B′C′ với mặt
phẳng (AA′N) và giao điểm của MN với mp(AB′C′).
9.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC′), (BCA′) và (CAB′) có
một điểm chung O ở trên đoạn GG′ nối trọng tâm ∆ABC và trọng tâm ∆A′B′C′. Tính
OG
OG
′
. HD:
1
2
BÀI TẬP ÔN
1. Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a. Gọi E là
trung điểm của BD. Cho biết
·
0
( , ) 60AB CE =
.
a) Tính 2AC
2

2
.
b) S = x(a – x)
3
;
2 2
a
x =
c) x =
2
a
d) OA
2
+ OB
2
+ OC
2
+ OD
2
= 4OG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
+ GD
2
.

.
3.Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F,
AC và BD cắt nhau tại G. Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC lần lượt tại A′, B′, C′.
a) Tìm giao điểm D′ của SD với (P).
b) Tìm điều kiện của (P) để A′B′ // C′D′.
c) Với điều kiện nào của (P) thì A′B′C′D′ là hình bình hành? CMR khi đó:
SA SC SB SD
SA SC SB SD
′ ′ ′ ′
+ = +
d) Tính diện tích tứ giác A′B′C′D′.
HD: b) (P) // SE.
c) (P) // (SEF). Gọi G
′
= A
′
C
′∩
B
′
D
′
. Chứng minh:
2SA SC SG
SA SC SG
′ ′ ′
+ =
d) S
A
′

′
là d
3
, giao tuyến của (P) với mặt
phẳng qua d
2
và song song với d
1.
b) MN nhỏ nhất khi AN
′
vuông góc d
3
tại N
′
.
d)
2
3
8
a
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. M và P là hai điểm lần lượt di động trên
AD và SC sao cho:
MA PS
x
MD PC
= =
(x > 0).
a) CMR: MP luôn song song với một mặt phẳng cố đònh (P).
b) Tìm giao điểm I của (SBD) với MP.
c) Mặt phẳng qua M và song song với (P) cắt hình chóp SABCD theo một thiết diện và

9
a
−
7.Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn AB′, AC′, B′C
sao cho
AM C N CP
x
AB AC CB
′
= = =
′ ′ ′
.
a) Tìm x để (MNP) // (A′BC′). Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện cắt bởi
mp(MNP), biết tam giác A′BC′ là tam giác đều cạnh a.
b) Tìm tập hợp trung điểm của NP khi x thay đổi.
HD: a) x =
2
1 2 3
;
3 9
a
b) Đoạn thẳng nối trung điểm của CC
′
và AB.
8.Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′, có đáy là hình thang với AD = CD = BC = a, AB = 2a Mặt
phẳng (P) qua A cắt các cạnh BB′, CC′, DD′ lần lượt tại M, N, P.
a) Tứ giác AMNP là hình gì? So sánh AM và NP.
b) Tìm tập hợp giao điểm của AN và MP khi (P) di động.
c) CMR: BM + 2DP = 2CN.
HD: a) Hình thang. AM = 2NP. b) Đoạn thẳng song song với cạnh bên.

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
0; 3GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
20
0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( 0) ! :a và b cùng phương a k R b ka≠ ⇔∃ ∈ =
r r r
r r r
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có:
;
1
OA kOB
MA kMB OM
k
−
= =
−
uuur uuur
uuur uuur uuuur
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
, ,a b c
r

, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC= = ⇒ = ≤ ≤
uuur uuur
r r r r
• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
, 0u v ≠
r
r r
. Khi đó:
. . .cos( , )u v u v u v=
r r r r r r
+ Với
0 0u hoặc v= =
r r
r r
. Qui ước:
. 0u v
=
r r
+
. 0u v u v⊥ ⇔ =
r r r r
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ.
Dựa vào qui tắc các phép toán về vectơ và các hệ thức vectơ.
6.Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF.
a) Chứng minh:
0IA IB IC ID+ + + =
uur uur uur uur
r
.

đồng phẳng
•
Để phân tích một vectơ
x
r
theo ba vectơ
, ,a b c
r
r r
không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p
sao cho:
x ma nb pc= + +
r
r r r
6.Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M
sao cho
2MS MA= −
uuur uuur
và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho
1
2
NB NC= −
uuur uuur
. Chứng minh
rằng ba vectơ
, ,AB MN SC
uuur uuuur uuur
đồng phẳng.
HD: Chứng minh
2 1

3
FM CN
FA CE
= =
. Các đường
thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minh ba
vectơ
, ,MN PQ CF
uuuur uuur uuur
đồng phẳng.
9.Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD′; G và G′
lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A′D′MN và BCC′D′. Chứng minh rằng đường thẳng
GG′ và mặt phẳng (ABB′A′) song song với nhau.
HD: Chứng minh
( )
1
' 5 '
8
GG AB AA= −
uuuur uuur uuur

⇒

, ', 'AB AA GG
uuur uuur uuuur
đồng phẳng.
10. Cho ba vectơ
, ,a b c
r
r r

iii)
, ,a c d
r
r r
HD: Sử dụng phương pháp phản chứng.
11. Cho ba vectơ
, ,a b c
r
r r
khác
0
r
và ba số thực m, n, p ≠ 0. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,x ma nb y pb mc z nc pa= − = − = −
r r
r r r r r r r
đồng phẳng.
HD: Chứng minh
0px ny mz+ + =
r
r r r
.
12. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có
' , ,AA a AB b AC c= = =
uuur uuur uuur
r
r r
. Hãy phân tích các
vectơ
' , 'B C BC

, ,OA OB OC
uuur uuur uuur
.
HD: a)
( )
1
3
OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
b)
( )
1
4
OD OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
.
14. Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.
a) Phân tích hai vectơ
OI và AG
uur uuur
theo ba vectơ
, ,OA OC OD
uuur uuur uuur
.
b) Phân tích vectơ
BI
uur
theo ba vectơ
, ,FE FG FI
uuur uuur uur

( )
1
2
AE AF AH AC= + −
uuur uuur uuur uuur
b)
( )
1
2
AG AF AH AC= + +
uuur uuur uuur uuur
.
VẤN ĐỀ 3: Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
6.Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′.
a) Xác đònh góc giữa các cặp vectơ:
' 'AB và A C
uuur uuuuur
,
' 'AB và A D
uuur uuuuur
,
'AC và BD
uuuur uuur
.
b) Tính các tích vô hướng của các cặp vectơ:
' 'AB và A C
uuur uuuuur
,
' 'AB và A D
uuur uuuuur

u
r
là VTCP của a,
v
r
là VTCP của b,
( , )u v =
r r
α
.
Khi đó:
¶
( )
0 0
0 0 0
0 180
,
180 90 180
nếu
a b
nếu


≤ ≤
=

− < ≤


α α

Hình học 11 – Chương 1 Học thêm tốn 0937 09 05 87
Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
1. Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90
0
.
2. Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau.
3. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …).
6.Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và
·
·
·
ASB BSC CSA= =
. Chứng minh rằng
SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
HD: Chứng minh
.SA BC
uur uuur
= 0
7.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
HD: b)
·
3
cos( , )
6
AC BM =
.
8.Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó.

⊥ ⊥

3. Tính chất
• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng
tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng đó.
•
( )
( )
a b
P b
P a

⁄⁄
⇒ ⊥

⊥

•
( ), ( )
a b
a b
a P b P

≠
⇒ ⁄⁄

⊥ ⊥


b a
b P

⁄⁄
⇒ ⊥

⊥

•
( )
)
,( )
a P
a P
a b P b

⊄
⇒ ⁄⁄(

⊥ ⊥

4. Đònh lí ba đường vuông góc
24
Cho
( ), ( )a P b P⊥ ⊂
, a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Nếu d ⊥ (P) thì
·
( )

•
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).
•
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
•
Chứng minh d // a và a
⊥
(P).
* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh d
⊥
a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
•
Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
•
Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.
•
Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
6.Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC).
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng
nằm trong một mặt phẳng.
c) CMR: HK ⊥ (SAC). Từ đó suy ra HK ⊥ AI.
7.Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA ⊥ (ABC).
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC.
8.Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ ⊥ (SBD).