I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Đònh nghóa các giá trò lượng giác:
cos
sin
tan
' cot
OP a
OQ a
AT a
BT a
=
=
=
=
Nhận xét:
•
, 1 cos 1; 1 sin 1a a∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
α
• tana xác đònh khi
,
2
a k k Z≠ + ∈
π
π
,
• cota xác đònh khi
,a k k Z≠ ∈
π
2. Dấu của các giá trò lượng giác:
Cung phần tư

 ÷
 
π
sin( ) sina a− = −
cos( ) cosa a− = −
π
cos sin
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
tan( ) tana a− = −
tan( ) tana a− = −
π
tan cot
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
cot( ) cota a− = −
cot( ) cota a− = −
π
cot tan
2

2
π
sin( ) sina a+ = −
π
sin cos
2
a a
 
+ =
 ÷
 
π
cos( ) cosa a+ = −
π
cos sin
2
a a
 
+ = −
 ÷
 
π
tan( ) tana a+ =
π
tan cot
2
a a
 
+ = −
 ÷

π
2
π
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2

1
3
3
0
3
3
−
–1 0
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+

a
−
= =
−
2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba:
4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan
2
a
:
Đặt:
tan ( 2 )
2
a
t a k= ≠ +
π π
thì:
2
2
sin
1
t
a
t
=
+
;
2
2
1
cos

− =
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )

π π
2. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
= − + +
 
 
= − − +
 
 
= − + +
 
Trang 3
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos

a
a
−
=
+
=
−
=
+
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
siny x=
: Tập xác đònh D = R; tập giá trò
1, 1T
 
= −
 
; hàm lẻ, chu kỳ
0
2T =
π
.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = sin(f(x)) xác đònh

 
 
π
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T =
π
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = tan(f(x)) xác đònh
( )f x⇔

( )
2
k k Z≠ + ∈
π
π
coty x=
: Tập xác đònh
{ }
\ ,D R k k Z= ∈
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0

.
Trang 4



Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau:
a/
2
sin
1
x
y
x
 
=
 ÷
−
 
b/
siny x=
c/
2 siny x= −
d/
2
1 cosy x= −
e/
1
sin 1
y
x

1
tan 1x −
Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số:
a/ y =
2sin 1
4
x
 
+ +
 ÷
 
π
b/
2 cos 1 3y x= + −
c/
siny x=
d/
2
4sin 4sin 3y x x= − +
e/
2
cos 2sin 2y x x= + +
f/
4 2
sin 2cos 1y x x= − +
g/ y = sinx + cosx h/ y =
3sin2 cos2x x−
i/ y =
sin 3 cos 3x x+ +
Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:

2
siny x=
d/
sin2 cos
2
x
y x= +
e/
tan cot3y x x= +
f/
3 2
cos sin
5 7
x x
y = −
g/
2sin . cos3y x x=
h/
2
cos 4y x=
i/ y = tan(−3x + 1)
ĐS: a/
.
π
b/ 6π. c/
.
π
d/ 4π. e/ π. f/ 70π. g/ π. h/
.
4

– Vẽ đồ thò trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
– Rồi suy ra phần đồ thò còn lại bằng phép tònh tiến theo véc tơ
0
. .v k T i=
r r
về bên trái
Trang 5
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
và phải song song với trục hoành Ox (với
i
r
là véc tơ đơn vò trên trục Ox).
2/ Một số phép biến đổi đồ thò:
a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy ra đồ thò hàm số y = f(x) + a bằng cách tònh tiến đồ thò y
= f(x) lên trên trục hoành a đơn vò nếu a > 0 và tònh tiến xuống phía dưới trục hoành a
đơn vò nếu a < 0.
b/ Từ đồ thò y = f(x), suy ra đồ thò y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x) qua
trục hoành.
c/ Đồ thò
( ), nếu f(x) 0
( )
-f(x), nếu f(x) < 0
f x
y f x

≥
= =


được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ

, .
2
 
 ÷
 
π
π
Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx.
– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:
1, 1 .
 
−
 
– Chu kỳ: T = 2π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2 :
 
 
π
Trang 6
1
3
2
π
−
−π
2
π
−

2π
5
2
π







x0y
1
0
–1
0 0




 

– Tònh tiến theo véctơ
2 .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = cosx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
– Hàm số nghòch biến trên khoảng

x
y
→±
= ∞
π
:
2
x⇒ = ±
π
là tiệm cận đứng.
– Chu kỳ: T = π.
– Bảng biến thiên trên
,
2 2
 
−
 ÷
 
π π
:
– Tònh tiến theo véctơ
.v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = tanx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác đònh D.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx.
– Tập xác đònh: D = R



∞
∞


3
2
π
−
π
2
π
−

2
π
π
3
2
π
2π
5
2
π




2− π

y x

≥
= =


Ví dụ 7: Vẽ đồ thò hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thò y = cosx.
– Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò
1 cosy x= +
bằng cách tònh tiến đồ thò
cosy x=
lên
trục hoành 1 đơn vò.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
:
Trang 8



π
3
2
π
−
3

x0πy = cosx1
0
–1
01y = 1 + cosx2
1
0
12
2
π
−
O
y = 1 + cosx
y
x
−
π
2
π
π
3
2
π
y = cosx
2
1
–1

Ví dụ 8: Vẽ đồ thò y = sin2x.
– y = sin2x có chu kỳ T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn

2
π
5
4
π
y = sin2x
–1
x02x0y = sin2x
0
–1
01
0
x02x0y = cos2x
–1
0






2
π
4
π

2
π
4
π











3
2
π




−π
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
4
π

cos sin 2 cos
4
y x x x

= = +
ữ


coự chu kyứ T = 2.
Trang 11





















4



2
2


4

2





3
4


2



5
4
3
2



π
– Chu kỳ T = π.
Trang 12


3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
−π

4
π
2
π 3
4
π
π
5
4
π

  
2

1
   

∞

∞∞

∞



   
4 3
3

4 3
3

2
π
−
3
π
−
4
π
−
6
π
−

arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a Điều kiện a
x a k
x a k Z
x a k
= − ≤ ≤

= +
= ⇔ ∈

= − +

π
π π
c/
sin sin sin sin( )u v u v= − ⇔ = −
d/
sin cos sin sin
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
sin cos sin sin
2

b/
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Điều kiện a
x a x a k k Z
= − ≤ ≤
= ⇔ = ± + ∈
π
c/
cos cos cos cos( )u v u v= − ⇔ = −
π
d/
cos sin cos cos
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
cos sin cos cos
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:

2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π

e/
tan cot tan tan
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:
tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
tan 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π
4. Phương trình cotx = cotα

cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π
cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈

* Phương trình có mẫu số:
•
sin 0 ( )x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
•
cos 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈
π
π
•
tan 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
•
cot 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách
sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô đònh.
Bài 1. Giải các phương trình:
Trang 14

1)
cos 2 0

+ =
 ÷
 
π
5)
sin 1
2 4
x
 
− =
 ÷
 
π
6)
sin 2 1
6
x
 
+ = −
 ÷
 
π
7)
( )
1
sin 3 1
2
x + =
8)
( )

0
3
cot 3 10
3
x + =
13)
tan 3 1
6
x
 
+ = −
 ÷
 
π
14)
cot 2 1
3
x
 
− =
 ÷
 
π
15) cos(2x + 25
0
) =
2
2
−
Bài 2. Giải các phương trình:

4 2
x
x
 
+ − =
 ÷
 
π
7)
tan 3 tan
4 6
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π
8)
cot 2 cot
4 3
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π

9)
( )
tan 2 1 cot 0x x+ + =

x x
 
− =
 ÷
 
π
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC
Nếu đặt:
2
sin sin : 0 1.t x hoặc t x thì điều kiện t= = ≤ ≤
Bài 1. Giải các phương trình sau:
Trang 15
Dạng Đặt Điều kiện
2
sin 0asin x b x c+ + =
t = sinx
1 1t− ≤ ≤
2
cos cos 0a x b x c+ + =
t = cosx
1 1t− ≤ ≤
2
tan tan 0a x b x c+ + =
t = tanx
( )
2
x k k Z≠ + ∈
π
π
2

x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x – 4cot2x + 3 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) 4sin
2
3x +
( )
2 3 1 cos3 3x+ −
= 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos
2
(1 – 3x) = 13 4)
( )
2
1
3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
− + − + =
5)
3
cos x
+ tan
2

x
 
+ +
+ =
 ÷
+
 
. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
0 ; 2
π
.
Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
;−
π π
.
Bài 5. Giải phương trình :
4 4 4
5
sin sin sin
4 4 4
x x x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
π π

sin .sin cos .cos
c
x x
a b
+ =
+
α α
2 2
cos( ) cos (2)
c
x
a b
⇔ − = =
+
α β
• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
≤ ⇔ + ≥
+
• (2)
2 ( )x k k Z⇔ = ± + ∈
α β π
Cách 2:
Trang 16


Vì
2 0,x k b c≠ + ⇔ + ≠
π π
nên (3) có nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c= − − ≥ ⇔ + ≥
∆
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0
tan .
2
x
t=
Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
.a b c+ ≥
3/ Bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + ≤ + + = +
2 2 2 2
sin cos
min max tan
x x a
y a b và y a b x
a b b
⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ =

sin8 cos6 3 sin6 cos8x x x x− = +

3)
3 1
8cos
sin cos
x
x x
= +
4) cosx –
3sin 2cos
3
x x
 
= −
 ÷
 
π
5) sin5x + cos5x =
2
cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3
cosx + 4sinx –
3
= 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5

Bài 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.
Trang 17
Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin
2
x + b sinx.cosx + c cos
2
x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
Lưu ý: cosx = 0
2
sin 1 sin 1.
2
x k x x⇔ = + ⇔ = ⇔ =±
π
π
• Khi
cos 0x ≠
, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos 0x ≠
ta được:
2 2
.tan .tan (1 tan )a x b x c d x+ + = +
• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2
( ) . 0a d t b t c d− + + − =


5)
( ) ( )
2 2
2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1x x x x+ + − = −
6)
2 2
5sin 2 3 sin .cos 3cos 2x x x x+ + =
7)
2 2
3sin 8sin .cos 4cos 0x x x x+ + =

8)
( ) ( )
2 2
2 1 sin sin2 2 1 cos 2x x x− + + + =
9)
( ) ( )
2 2
3 1 sin 2 3sin .cos 3 1 cos 0x x x x+ − + − =

10)
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0x x x x− + =
11) cos
2
x + 3sin
2
x +
2 3
sinx.cosx – 1 = 0

2
x = 0 vô
nghiệm .
Trang 18

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
• Đặt:
cos sin 2.cos ; 2.
4
t x x x t
 
= ± = ≤
 ÷
 
m
π
2 2
1
1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t⇒ = ± ⇒ = ± −
• Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình
này tìm t thỏa
2.t ≤
Suy ra x.
Lưu ý dấu:
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4

2
x x t⇒ = ± −
• Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối.
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
( )
2sin2 3 3 sin cos 8 0x x x− + + =
2)
( )
2 sin cos 3sin2 2x x x+ + =
3)
( )
3 sin cos 2sin2 3x x x+ + = −
4)
( )
( )
1 2 1 sin cos sin2x x x− + + =
5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6)
( )
( )
1 2 sin cos sin2 1 2x x x+ + − = +
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
( )
sin2 4 cos sin 4x x x− − =
2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
3)
( )
( )
1 2 1 sin cos sin2x x x− + − =

2
x = sin
2
3x 2) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
3
2
3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2
Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
3) sin
3
x + cos
3
x = cos2x 4) sin2x = 1 +
2
cosx + cos2x
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos
2
x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos
2
x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin
2
3x
8) sinx + sin2x + sin3x =
2
(cosx + cos2x + cos3x)
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos
2
2x = sin

Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không
trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m
cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc
đó có m.n cách thực hiện.
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C
có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến
thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố
C. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 12 cách.
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.10
8
, chia hết cho 3, có thể được viết
bởi các chữ số 0, 1, 2?
ĐS: Có 2.3
7
– 1 = 4374 – 1 = 4373 (số)
Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
ĐS: a) 6
6
b) 6! c) 3.5! = 360
Bài 4: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về).
Hỏi có bao nhiêu trận đấu?
ĐS: có 25.24 = 600 trận
Bài 5: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các
chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trò của nó không thay đổi).

a/
,x A y A∈ ∈
b/
{ , }x y A⊂
c/
, 6x A y A và x y∈ ∈ + =
.
ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 5 cặp.
Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao
nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y), biết rằng:
, ,x A y A x y∈ ∈ >
.
ĐS:
( 1)
.
2
n n −
Bài 12: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ
số?
d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24.
Bài 13: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a/ Khác nhau?
b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
ĐS: a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48.

≥
1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự
nào đó được gọi là một hoán vò của n phần tử.
Số các hoán vò của n phần tử là: P
n
= n!
3. Hoán vò lặp:
Cho k phần tử khác nhau: a
1
, a
2
, …, a
k
. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n
1
phần tử a
1
, n
2
phần tử a
2
, …, n
k
phần tử a
k
(n
1
+n
2
+ …+ n

n n n
4. Hoán vò vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín
được gọi là một hoán vò vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vò vòng quanh của n phần tử là: Q
n
= (n – 1)!
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
6! 1 ( 1)! .( 1)!
. .
( 2)( 3) ( 1)( 4) ( 5)!5! 12.( 4)!3!
m m m
m m m m m m
 
+ −
−
 
− − + − − −
 
(với m ≥ 5)
B =
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
 
−
 ÷
 
C =
5! ( 1)!

2
1 1
! ( 1)! ( 2)!
n
n n n
= +
− −
Bài 3: Giải phương trình:
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
− −
=
+
ĐS: x = 2; x = 3
Bài 4: Giải bất phương trình:
1 5 ( 1)! .( 1)!
. 5
2 1 ( 3)!4! 12( 3).( 4)!2!
n n n
n n n n n
 
+ −
− ≤
 ÷
− + − − −
 
(1)
ĐS: (1)

Đại số 11 – Chương 1 Học thêm tốn - 0937 09 05 87
ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3
Bài 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi
trong các số đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345?
ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!
Bài 7: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi
trong các số đó có bao nhiêu số:
a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1?
c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135?
ĐS: a/ 24. b/ 96. c/ 6 d/ 118.
Bài 8: Với mỗi hoán vò của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất
cả các số tự nhiên có được từ các hoán vò của 7 phần tử trên?
ĐS: Với mọi i, j
∈

{ }
1,2,3,4,5,6,7
, số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!.
⇒
Tổng tất cả các số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).10
6
= 6! (1+2+…+7).(1+10+…+10
6
)
Bài 9: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vò của 6 chữ
số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
ĐS: 279999720.
Bài 10: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các

a/ Bạn C ngồi chính giữa?
b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
ĐS: a/ 24. b/ 12.
Trang 24

Bài 16: Một hội nghò bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh
4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành
viên sao cho người cùng quốc tòch ngồi gần nhau?
ĐS: 143327232000.
Bài 17: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau?
b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?
ĐS: a/ 86400. b/ 2903040.
Bài 18: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
chỗ ngồi nếu:
a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
ĐS: a/ 34560. b/ 120960.
Bài 19: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm,
biết rằng trong đó phải có 5 em đònh trước đứng kề nhau?
ĐS: 4838400.
Bài 20: Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối
11 và 10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng
thi có 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối
đuôi nhau có cùng một đề?
ĐS: 26336378880000.
Bài 21: Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác
nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên
thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
ĐS: 298598400.