I. MỆNHĐỀ.
Bài1.Chứngminh“địnhlý”
“NếubamệnhđềA,B,Ccóđúngmộtmệnhsaithìbamệnhđềtương ứng
, ,A B B C C A Þ Þ Þ cóđúngmộtmệnhđềsai”.
“địnhlý“trêncóđịnhlýđảokhông?
Bài2.Chứngminh“địnhlý”:
“ ĐiềukiêncầnvàđủđểbamệnhđềA, B, C khôngđồngthờicócùngmộtchântrịthìbamệnh
đềkéo theo , ,A B B C C A Þ Þ Þ códuy nhấtmộtmệnh đềsai”.
Bài3.TìmchântrịcủabamệnhđềA,B,Cbiếthaimệnhđềsauđâycóchântrịsai:
( )
A B C Ù Ú
và
( ) ( )
A B B C Ú Þ Ù .
Chứngminhbằngphươngphápphảnchứng
Bài1:Nếunkhôngphảisốchínhphươngthì n làmộtsốvôtỉ.
Bài2.Nếuhaisốnguyêndươnga,bcótổngbìnhphươngchiahếtcho3,thìcảhaisốđóđều
chiahếtcho3.
Bài3.Chứngminh:
a)
2
làmộtsốvôtỉ
b) 2 3 + làmộtsốvôtỉ
Bài4.Choa.b.ckhác0,chứngminhrằngcóítnhấtmộttrongbaphươngtrìnhsaucónghiệm:
2 2 2
ax 2 0 (1), bx 2 0 (2), x 2 0 (3)bx c cx a c ax b + + = + + = + + = .
Bài5:Chobasốdươngx,y,zthỏamãnxyz=1.
Chứngminhrằngnếu
1 1 1
x y z
x y z

2
4b ac - khôngphảilà
mộtsốchínhphương.
ChứngminhbằngQuinạp.
Bài1:ChứngminhrằngvớinÎN*,tacó:
w
w
w
w
w
w
.
.
l
l
a
a
i
i
s
s
a
a
c
c
.
.
p
p
a

S
Ố
Ố
L
L
Ớ
Ớ
P
P
1
1
0
0
,
,
P
P
H
H
Ầ
Ầ
N
N
I
I
:
:M
M
M
ệ

ố
ố
.
(Dùngchohọcsinhkhá, giỏivàlớp10toánchuyên)
a) 2+5+8+………….+3n1=
(3 1)
2
n n +
;
b)
2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3 ;
6
n n n
n
+ +
+ + + + =
Bài2:ChứngminhrằngvớinÎN*,tacó:
a)
3 2
3 5n n n + + chiahếtcho3;
b) 4 15 1
n
n + - chiahếtcho9;
Bài3:Chứngminhvớimọisốtựnhiênn³2,tacócácbấtđẳngthức:
a)
1
( 1)
n n

+ + + +
- +
a)Tính
1 2 3 4
, , , ;s s s s
b)DựđoáncôngthứctínhSnvàchứngminhbằngphươngphápquynạp.
Bài5. Tìmcôngthứctínhtổngsau(với
n N Î
)
1) 1 3 5 (2 1)
n
S n = + + + + -
2)
1 1 1

1.2 2.3 ( 1)
n
S
n n
= + + +
+
Bài6.Chonsốdương
1 2 3
, , , ,
n
x x x x thỏamãn
1 2 3
. . 1
n
x x x x = .

Bài9:Cho
*
1,a n N ³ - Î .Hãychứngminh
a)
( )
1 1
n
a na + ³ + (1)(BấtđẳngthứcBernoulli)
b)
2012 2012 2012
2008 2009 2010 + <
Bài10.Cho
1
x
x
æ ö
+
ç ÷
è ø
làsốnguyên ( 0)x ¹ .
Chứngminhrằng
1
n
n
x
x
+ nguyênvớimọinnguyên.
Bài11.Cho
0a ³
.Chứngminhrằng

{ } { }
1;2 1;2;3; 4;5X Ì Ì
b)TìmcáctậpconA,Bcủatập
{ }
1;2;3;3;5;6;7;8;9X = saocho
{ } { } { } { } { }
4;6;9 , 3;4;5 1;3;4;5;6;8;9 , 4;8 2;4;6;8;9A B A B = = = I U U
Bài3.Chobatậphợp
( ) ( )
( )
( )
2
4; , 2; 6 , 1; 1 ; 4 .A m B C m m m R = - = = - + - < Î
Địnhmđể
( )
A B C Ì I .
Bài4.Chohaitậphợpconcủasốthực:
( ) ( )
; , 3 2 ;E m F m = -¥ = - +¥ với
m R Î
.
a) Khi
2m =
xácđịnhcáctậphợp
( ) ( ) ( ) ( )
, , \ , \E F E F E F F EI U từđóxétquanhệcủa
haitậphợp
( ) ( ) ( ) ( )
| , \ \E F E F E F F E È U I
b) Địnhmđể

Bài13.LớpchuyênToáncó13họcsinhchơibóngđá,22họcsinhbơilộivà17họcsinhchơi
cờvua,trongđócó5họcsinhchơiđábóngvàbơilội,7họcsinhbơilộivàcờvua,3họcsinh
chơicờvuavàđábóng,đặcbiệtcó4họcsinhgiaolưuởnướcngoài.Vậylớpcóbaonhiêuhọc
sinh?
Bài14.TronggiờkiểmtraToáncủalớp10T1cóhaicâu,mộtcâuĐạisốvàmộtcâuHình
học,có30emgiảiđúngđượccâuĐạisốvà20emgiảiđúngđượccâuhìnhhọc.Thangđiểm
củamỗicâugiảiđúnglà5điểm.Hỏicóbaonhiêuemđược10điểm,biếtrằnglớphọccó36
emthamgialàmbàikiểmtravàemnàocũnggiảiđượcítnhấtmộtbài.
III. ÁNHXẠ
Bài1.Cho
{ }
\ 1A R = vàánhxạ :f A A ® xácđịnh
1
( )
1
x
f x
x
+
=
-
.
a) Chứngminhflàmộtsongánh.
b) Xácđịnhánhxạngược
1
f
-
.Cónhậnxétgì?
Bài2.Cho
{ } { }

f x
x
=
+
.
XácđịnhtậpDđểánhxạ :f R D ® songánh,tìmánhxạngượclúcđó.
Bài7.Cho
2
( )
1
x
f x
x
=
+
.
a) Xácđịnh
2 3
, .
o o o
f f f f f f f = =
b) Xácđịnh

n
o
n lan
f f f f =
14243
.
Bài8.Choánhxạ

h
làsongánhthỏamãnđiều
kiện
( )
( )
( )
f g x h x = ,vớimọi
x Ρ
.
Chứngminhrằng
( )
g x làmộthàmsongánh.
.
Ứngdụngnguyênlý DIRICHLE
Bài1.: Có10độibóngthiđấuvớinhautrongmộtgiải,mỗiđộiphảiđấumộttrậnvớicácđội
khác.CMRvàobấtcứlúcnàocũngcóhaiđộiđãđấusốtrậnnhưnhau.
Bài2:Trong45họcsinhlàmbàikiểmtrakhôngcóaibịđiểmdưới2,chỉcó2họcsinhđược
điểm10.Chứngminhrằngcóítnhấtcũngtìmđược6họcsinhcóđiểmkiểmtrabằngnhau
(điểmkiểmtralàmộtsốtựnhiêntừ0đến10)
Bài3: Giảsử1bàncờhìnhchữnhậtcó3 x 7ôvuôngđượcsơnđenhoặctrắng.Chứngminh
rằngvớicáchsơnmàubấtkì,trong bàncờluôntồntạihìnhchữnhậtgồmcácôở4góclàcácô
cùngmàu
IV. HÀMSỐ
A. KHÁINIỆM
Bài1.Tìmmiềnxácđịnhvàmiềngiátrịcáchàmsốsau:
a)
2 2 2 2
2 2; 2 ; 4 3 ; 3 4y x x y x x y x x y x x = - + = - = - + + = - + +
b)
2 2

; ; ; 2 1
1
1
x
y y y y x x
x x
x
= = = = - +
-
+
Bài4.Chứngminh:Chohàmsốf(x)đồngbiến (nghịchbiến)trongKvà
o
x K $ Î :
0
( )f x m = thì
+Phươngtrình ( )f x m = cónghiệmduynhất
o
x x =
+Bấtphươngtrình ( )f x m > cónhiệm
0
x x >
Ứngdụng Giảicácphươngtrìnhvàbấtphươngtrìnhsau:
a)3 2 1 2 4 5 9x x - + + =
b)3 5 14 5 7 3 11x x - + + - <
Bài5.Xéttínhchẵnlẽcủacáchàmsốsau
2 3 4 2
| 2| | 2|
| |, , osx+2sin , 3 2, 2 5
| 2 | | 2 |
x x

2
2
:
1
x x
C y
x
-
=
-
nhậnđiểmI(1;3)làmtâmđốixứng
Bài13.Tìmthamsốmđểđườngcong
( )
4 3 2
: 4 2 12C y x mx x mx = + - - nhận
1x = -
làmtrụcđối
xứng.
Bài14.Tìmthamsốkđểđườngcong
2
( 1) 1
1
x k x k
y
x
+ - + -
=
-
nhậnđiểmI(1;3)làmtâmđốixứng
B.HÀMBẬCNHẤT

b) Tìmgiátrịnhỏnhấtcủahàmsô.
Bài5.Chohàmsố | 2 | 2 | 1| 2y x x x = - - - +
a) Khảosátsựbiếnthiênvàvễđồthịcủahàmsố.
b) Tùytheombiệnluậnsốnghiệmphươngtrình: 2| 1| | 2 | 2x m x x - + = - +
Bài6.Chohàmsố ||| 1| 2 | 3|y x = - - -
a) Khảosátvàvẽđồthịcủahàmsốtrên
b) Giảibấtphương trình1 ||| 1| 2 | 3 | 2x < - - - <
c) Biệnluậntheomsốnghiệmcủaphươngtrình||| 1| 2 | 3|x m - - - =
Bài7.Hãybiểudiễntrênmặtphẳng tọađộcácđiểmM(x,y)thỏamãnbiểuthứcsau
a)
2 2
(2 3) 3 2 0y x y x x + - - + - =
b)| 1| | 2 | 4x y - + - =
Bài8.Chohaihọđườngthẳngphụthuộctheothamsốm
0mx y m - - = và 5 0x my + - = .
a) Chứngminhrằngvớimọimhaiđườngthẳngtrênluônluôncắtnhau.
b) Chứngminhrằnggiaođiểmcủahaiđườngthẳngtrênluônluônnằmtrênmộtđường
tròn.
C.HÀMSỐBẬCHAI
Bài1:Cho(P):y=x
2
– 4x+5.
1) Khảosátvàvẽ(P).
2) Timhaigiaođiểm AvàBcủa(P)vàđườngthẳngy=x–1.
3) TìmtrêncungABcủa(P)điểmMsaochotamgiácAMBvuôngtạiM.
4) LậpphươngtrìnhđườngthẳngsongsongABvàtiếpxúc(P).
Bài2:Cho(p)
2
3
xx

– 3x4 - .Từđó địnhm đểphươngtrìnhsau
đâycóđúng2nghiẹm:x
2
+ 0mx4 = -
c. Giảsử(P)cắttrụcOxtại2điểmAvàB.TìmtrêncungABcủa(P)điểmMsao
chotamgiácABCvuôngtạiM.
Bài5.Chohàmsố
( )
1 | 5 |y x x = - -
a) Khảosátvàvẽđồthịhàmsố.
b) Địnhkđểphươngtrìnhsaucó3nghiệmphânbiệt
( )
1 | 5 | 0x x k - - - =
Bài6:ChoParabol(P)y=ax
2
+bx+3.Vàhai điểmA(3;0);B(0;4).
1) Xácđịnhavàbđể(P)nhậnS(2;1)làm đỉnh.Khảosátvàvẽtrongtrườnghợpđó.
2) Tìmtrên(P)vừavẽmộtđiểmMsaochodiệntíchtamgiácMABnhỏnhất.
Bài7:
1)Khảosátvàvẽđồthị: 2x3x1xy + - - =
2)Địnhm đểphươngtrìnhsaucóđúng3nghiệm: 0mx3x1x = - - - 
Bài8:Chohàmsố y=mx
2
–2x+m+1.
a)Chứngminhrằngrằngđồthịhàmsốtrênluônluônđiquamộtđiểmcốdịnh
b)Địnhm để(P)quađiểmA(0;
2
3
).Khảosátvàvẽtrongtrườnghợpnàygọilàđồthị(P)
c)TìmGiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủahàmsốtrêntrong[0;4].

2
2
2
2
2
2 0, 2 | 1| 5 0
1
1
x x
m x x x x m
x
x
- + - = + - + + - =
+
+
Bài15.Chohàmsố
2
( ) ax+bf x x = + .
Chứngminhrằngtồntạimộttrong basố| ( 1)|,| (0) |, | (1) |f f f - khôngbéhơn
1
2
.
Bài16.Chohàmsố
2
( ) bx+cf x ax = + thỏamãnđiềukiện| ( 1)| 1, | (0) | 1, | (1) | 1f f f - < < <
Chứngminh:
a)| | | | | | 3a b c + + £
b)
[ ]
5

1
1 1
f x xg x x
x x
f g x
x x
ì
+ + + =
ï
í
+ +
æ ö æ ö
+ = -
ç ÷ ç ÷ ï
- -
è ø è ø
î
,
( ) ( )
2 1 1 1
1
2 3
1 2 2
f x g x x
x
f g
x x
ì
- + - = +
ï

è ø
î
Chúý:Nhữngbàitoán trêndolaisacsưutầmcóchọnlọcvàtrongđó cũngcórấtnhiềubài
chínhdolaisactựbiênsoạn. Tấtcảđềucó lờigiải,nhưngkhôngtránhkhỏidàidòng,không
đẹpvà chưaphảilàlờigiảihay lắm,nênlaisacmongcácbạnđónggóplờigiảicủamìnhhay
nhấtvềđịachỉ [email protected]
Laisacsẽsớmđưacáclờigiảicủacácbạn(cókèmtheotênvàđịachỉcủacácbạn)trong
phầnHƯỚNGDẪNVÀLỜIGIẢIởphầnkếtiếptheocủafilenày.Chânthànhcảmơnsự
đónggópcủacácbạn!
NguyễnLái
GVTHPTchuyênLươngVănChánh