Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 79
Baøi 22. (ĐH 2006A): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢
lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
ĐS:
3
3
12
a
V =
Baøi 23. (ĐH 2006B): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
2aAD =
, SA = a và SA ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ^ (SMB). Tính thể tích của khối tứ
diện ANIB.
ĐS:
3
2
36
a
V =
Baøi 24. (ĐH 2006D): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA
= 2a và SA ^ (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính
thể tích của hình chóp A.BCMN.
ĐS:
3
33
50
a
V =

103
27
Va
=
Baøi 27. (ĐH 2006B–db1): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0
60
BAD =
, SA ^ (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua
AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối chóp
S.AB'C'D'.
ĐS:
3
3
18
a
V =
Baøi 28. (ĐH 2006B–db2): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác
đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A'BC). Tính tana và thể tích khối chóp A'.BB'C'C.
ĐS: tana =
22
23
ba
a
-
;
222
3

33
12
2
33
aa
VV;==
Baøi 31. (ĐH 2007A): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM ^ BP và tính thể tích khối CMNP.
ĐS:
3
3
96
a
V =
Baøi 32. (ĐH 2007B): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Chứng minh MN ^ BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
ĐS:
2
4
a
d =
Baøi 33. (ĐH 2007D): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
·
·
0
90
ABCBAD==

d từ A đến (A
1
BM).
ĐS:
5
3
a
d =
Baøi 35. (ĐH 2007A–db2): Cho hình chóp SABC có góc
·
(
)
0
60
SBCABC(),()=, ABC và SBC
là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
ĐS:
3
13
a
d =

Baøi 36. (ĐH 2007B–db1): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ^
(ABCD). AB = a,
2aSA =
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,
SD. Chứng minh SC^(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK.
ĐS:
3
2

=
2a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng
minh MN là đường vuông góc chung của AA
1
và BC
1
. Tính thể tích của tứ diện MA
1
BC
1
.
ĐS:
3
2
12
a
V =
Baøi 39. (ĐH 2007D–db2): Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là
trung điểm của đoạn AA

và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và
DN.
ĐS:
3
35
35
a
V ;cos
j
==
Baøi 42. (ĐH 2008D): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB =
BC = a, cạnh bên AA’ = a
2
. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng
trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B¢C.
ĐS:
3
27
27
aa
Vd;==
Baøi 43. (CĐ 2008): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
·
·
BADABC
0
90
==
,

60
BAC =
.
Hình chiếu vuông góc của điểm B¢ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam
giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A¢.ABC theo a.
ĐS: V =
3
9
208
a
.
Baøi 46. (ĐH 2009D) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB = a, AA¢ = 2a, A¢C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A¢C¢, I là giao điểm
của AM và A¢C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (IBC).
ĐS: V =
3
4
9
a
, d =
25
5
a
.
Baøi 47. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA =
a
2
. Gọi M, N và P
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN

ĐS: V =
a
3
33
8
; R =
a
7
12
.
Baøi 50. (ĐH 2010D) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn
AC, AH =
AC
4
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm
của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
ĐS: V =
a
3
14
48
.
Baøi 51. (CĐ 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
đáy bằng 45
0
. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
ĐS: V =
a

-
.
1. Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng
()
a
với
các mặt phẳng tọa độ. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm
tương ứng của mặt phẳng
()
a
với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm của (d)
với mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tọa độ tâm và bán
kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
ĐS: 1) 2)
Baøi 2. (TN 2003) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi
các hệ thức: A(2;4;-1), 4
OBijk
=+-
uuurrrr
, C(2;4;3), 22
ODijk
=+-
uuurrrr
.
1. Chứng minh rằng AB  AC, AC AD, AD AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2. Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung  của hai đường thẳng AB và
CD. Tính góc giữa  và mặt phẳng (ABD).
3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện
(a) của (S) song song với mặt phẳng (ABD).

; zz
12
212212
():0;():0
22
aa
-+
+=-=
.
Baøi 3. (TN 2004) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –1; 2), B(1;
3; 2), C4; 3; 2), D(4; –1; 2).
1. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.
2. Gọi A¢ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A¢, B, C, D.
3. Viết phương trình tiếp diện () của mặt cầu (S) tại điểm A’.
ĐS: 2) xyzxyz
222
52210
++ +=
3)
xyz
34210
+++=
.
Baøi 4. (TN 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và hai đường thẳng
lần lượt phương trình:
(S): xyzxyz
222
22430
++-++-=

) và (∆
2
).
ĐS: 2) PyzPyz
12
():3320;():3320
+++=++-=

Baøi 5. (TN 2006–kpb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −1), B(1; 2;
1), C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
1. Viết phương trình đường thẳng OG.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
3. Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt
II. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
thi Tt nghip i hc Trn S Tựng
Trang 84
cu (S).
S: 1)
xyz
OG :
120
==
2) xyzxy
222
220
++ =
3) xy
23100
+-=
.

uuuruuur
. Vit phng trỡnh mt phng i qua M v vuụng
gúc vi ng thng BC.
S: a)
{
ABxtyzt
:1;1;2
=-+==-
b) xyz
28
30
3
-+-=

Baứi 7. (TN 2007kpb) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d cú phng
trỡnh:
xyz
211
123
-+-
== v mt phng (P) cú phng trỡnh:
xyz
320
-++=
.
1. Tỡm to giao im M ca ng thng d vi mt phng (P).
2. Vit phng trỡnh mt phng cha ng thng d v vuụng gúc vi mt phng (P).
S: 1) M(1; 3; 2) 2)
xz
350

S: a) xyz
222
4
++=
b)
{
xtytzt
:1;22;32
D
=+=+=-
.
Baứi 9. (TN 2007kpbln 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng d v
d ln lt cú phng trỡnh:
xyz
d
121
:
121
-+-
== v
xt
dyt
zt
1
:12
13
ỡ
=-+
ù
Â

xt
yt
zt
12
3
6
ì
=+
ï
=-+
í
ï
=-
î
.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N.
ĐS: a)
xyz
20
+-=
b)
{
xtytzt
12;;23
=+==+
.
Baøi 11. (TN 2008–kpb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và mặt
phẳng (P) có phương trình:
xyz

yt
zt
32
22
2
ì
=+
ï
=
í
ï
=-+
î

b) dAP
7
(,())
3
=
;
Qxyz
():2260
-++=
hoặc
Qxyz
():2280
-+-=
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; –1), B(2; 4; 3) và
C(2; 2; –1).

a) Viết phương trình đường thẳng MN.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P).
ĐS: a)
xyz
MN
12
:
231
-+
==
-
b)
dIP
(,())2
=
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –1; 3) và mặt phẳng (P) có
phương trình:
xyz
22100
=
.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
ĐS: a)
dAP
(,())4
=
b)
{

211
+-+
==
-
.
a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với d.
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A,
tiếp xúc với d.
ĐS: a)
xyz
230
+-+=
b) dAd
(,)52
=; xyz
222
(1)(2)(3)50
-+++-=
.
Baøi 16. (TN 2010)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
b) Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
ĐS: a) (P):
yz
230
-+=
b) I
13
;1;

Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 87
ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Baøi 1. (ĐH 2002A) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai đường
thẳng:
1
240
2240

1
và song song với đường thẳng
D
2
.
2. Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D
2
sao cho đoạn thẳng
MH có độ dài nhỏ nhất.
ĐS: 1)
20
Pxz
():
-=
2)
233
H
(;;).

Baøi 2. (ĐH 2002D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xy
2–20
+=

và đường thẳng d
m
:
21110
21420
mxmym

và mặt cầu (S): xyzxym
222
460
+++-+=
. Tìm m để
đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 8.
ĐS:
Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai
đường thẳng
xaza
d
yz
1
0
:
10
ì
=
í
-+=
î
và
axy
d
xz
2
330
:
360
ì

+++=
î
, (P):
xyz
4210
-+-=
. Viết
phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng D trên mặt phẳng (P).
ĐS:
Baøi 6. (ĐH 2002B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương
trình:
xyz
30
-++=
và hai điểm
AB
(1;3;2),(5;7;12)

.
1. Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐS:
Baøi 7. (ĐH 2003A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A¢B¢C¢D¢ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A¢(0; 0; b) (a > 0,
b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC¢.
1. Tính thể tích khối tứ diện BDA¢M theo a và b.
2. Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A¢BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

320
10
ì
+-+=
í
-++=
î
. Tìm k để đường thẳng d
k
vuông góc với mặt phẳng (P) có
phương trình:
xyz
250
+=
.
ĐS: k = 1.
Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d
1
, d
2

lần lượt có phương trình:
xyz
d
1
1
:
121
+
==

-
.
ĐS:
Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
A
(2;3;2)
,
B
(6;1;2)

,
C
(1;4;3)

,
D
(1;6;5)
-
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và
CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ
nhất.
ĐS:
Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện OABC với
(
)
Aa
0;0;3
,
Ba
(;0;0)

mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m vừa tìm được hãy xác định toạ độ tiếp
điểm của (P) và (S).
ĐS:
Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A
(2;1;1)
,
B
(0;1;3)
-
và đường thẳng d:
xy
yz
32110
380
ì
=
í
+-=
î
.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với
AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Chứng minh rằng d vuông
góc với IK.
2. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt
phẳng (Q) có phương trình:
xyz
10
+-+=
.