Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 39

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng (
a
) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.

·
(
a
) và (S) không có điểm chung
Û

dIR
(,())
a
>·
(
a
) tiếp xúc với (S)
Û

dIR
(,())
a
=

Sxyzxyz
():
():
ì
++-=
í
++ ++=
î
b)
222
23690
13216
Pxyz
Sxyz
():
():()()()
ì
-+-=
í
-+-++=
î

c)
222
2110
24220
Pxyz
Sxyzxyz
():
():

f)
Pz
Sxyzxyz
222
():30
():6216220
ì
-=
í
++-+-+=
î

Baøi 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a)
222
2240214480
PxyzSxyzmxmyzm():;():()
=++ +++=

b)
2222
424501231
PxyzSxyzm
():;():()()()()
-+-=-+++-=-

c)
2222
326702112
PxyzSxyzm


Baøi 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:
a) Sxyz
222
():(3)(1)(2)24
-+-++=
tại
130
M
(;;)
-

b) Sxyzxyz
222
():62450
++ ++=
tại
430
M
(;;)

c)
222
13249
Sxyz():()()()
-+++-=
tại
715
M
(;;)

+++=
.
g)
222
26280
Sxyzxyz():
++-+++=
và chứa đường thẳng
44311
dxt yt zt
:,,
=+=+=+

h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1),
D(4; 1; 0).
i) Tiếp xúc với mặt cầu: 011326210
222
=-++-++ zyxzyx và song song với 2 đường
thẳng:
1
5113
232
xyz
d:
+-+
==
-
,
1
718

(
)
(
)
(
)
(
)
513162504406
A B C D
;;,;;,;;,;;
b)
(
)
(
)
(
)
(
)
110021102111
A B C D
;;,;;,;;,;;

c)
(
)
(
)
(

b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc.
c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD). Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong khơng gian
Trang 41

1. Phương trình tham số của đường thẳng
· Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và có VTCP
123
aaaa
(;;)
=
r
:

1
2
3
o
o
o

Cho hai đường thẳng d, d
¢
có phương trình tham số lần lượt là:

01
02
03
xxta
dyyta
zzta
:
ì
=+
ï
=+
í
ï
=+
ỵ
và
01
02
03
xxta
dyyta
zzta
:
¢¢¢
ì
=+

+=+
ï
ï
í
¢¢¢¢
+=+
í
ï
ï
¢¢¢
+=+
ï
ỵ
ỵ
rrÛ

0000
aacùngphương
Mxyzd
,
(;;)
¢
ì
í
¢
Ï
ỵ

¢
=
ï
í
éù
¢
¹
ï
ëû
ỵ
r
rr
uuuuuur
r
r·
d
º
d
¢

Û

0101
0202
0303
xtaxta
hệytaytaẩnttcóvôsốnghiệm

Û

00
aaMMđôimộtcùngphương
,,
¢¢
uuuuuur
rrÛ

[
]
00
0
aaaMM,,
éù
¢¢
==
ëû
uuuuuur
r
rrr·
d, d
¢
cắt nhau

¢
ì
í
¢¢
ỵ
rr
uuuuuur
rr

Û

[
]
[ ]
00
0
0
aa
aaMM
,
,.
ì
¢
¹
ï
í
¢¢
=
ï
ỵ

¢¢¢¢
+=+
í
ï
ï
¢¢¢
+=+
ï
ỵ
ỵ
rrÛ

00
aaMMkhôngđồngphẳng
,,
¢¢
uuuuuur
rr

Û

[
]
00
0
aaMM,.
¢¢


3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho mặt phẳng (a):
0
AxByCzD
+++=
và đường thẳng d:
01
02
03
xxta
yyta
zzta
ì
=+
ï
=+
í
ï
=+
î

Xét phương trình:
010203
0
AxtaBytaCztaD()()()
++++++=
(ẩn t) (*)

·

=+
ï
=+
í
ï
=+
î
(1) và mặt cầu (S):
2222
xaybzcR
()()()-+-+-= (2)
Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).

·
d và (S) không có điểm chung
Û
(*) vô nghiệm
Û
d(I, d) > R

·
d tiếp xúc với (S)
Û
(*) có đúng một nghiệm
Û
d(I, d) = R

·
d cắt (S) tại hai điểm phân biệt
Û

d
1
đi qua điểm M
1
và có VTCP
1
a
r
, d
2
đi qua điểm M
2
và có VTCP
2
a
r1212
12
12
aaMM
ddd
aa
,.
(,)
,
éù
ëû
=

, d
2
lần lượt có các VTCP
12
aa
,
rr
.
Góc giữa d
1
, d
2
bằng hoặc bù với góc giữa
12
aa
,
rr
.

( )
12
12
12
aa
aa
aa
.
cos,
.
=

123
222222
123
AaBaCa
d
ABCaaa
sin,()
.
a
++
=
++++
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 43

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
Dạng 1: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và có VTCP
123
aaaa
(;;)
=
r

và song song với đường thẳng D cho trước:
Vì d //
D
nên VTCP của
D
cũng là VTCP của d.
Dạng 4: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d
^
(P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):

·
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
– Tìm toạ độ một điểm A
Î
d: bằng cách giải hệ phương trình
P
Q
()
()
ì
í
î
(với việc chọn giá trị
cho một ẩn)

12
dd
aaa
,
éù
=
ëû
rrr

Dạng 7: d đi qua điểm
0000
Mxyz
(;;)
, vuông góc và cắt đường thẳng
D
.

·
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
0
trên đường thẳng
D
.

0
H
MHa
ì
ÎD
í

d
1
, M
2

Î
d
2
. Từ điều kiện M, M
1
, M
2
thẳng hàng ta tìm được M
1
, M
2
. Từ đó
suy ra phương trình đường thẳng d.

·
Cách 2: Gọi (P) =
01
Md
(,)
, (Q) =
02
Md
(,)
. Khi đó d = (P)
Ç

D
và d
1
, mặt phẳng (Q) chứa
D
và d
2
.
Khi đó d = (P)
Ç
(Q).
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
, d
2
chéo nhau:

·
Cách 1: Gọi M
Î
d
1
, N
Î
d
2
. Từ điều kiện
1
2
MNd

rrr
.
Lp phng trỡnh mt phng (P) cha d v d
1
, bng cỏch:
+ Ly mt im A trờn d
1
.
+ Mt VTPT ca (P) cú th l:
1
Pd
naa
,
ộự
=
ởỷ
rrr
.
Tng t lp phng trỡnh mt phng (Q) cha d v d
2
.
Khi ú d = (P)
ầ
(Q).
Dng 12: d l hỡnh chiu ca ng thng D lờn mt phng (P):

ã
Lp phng trỡnh mt phng (Q) cha
D
v vuụng gúc vi mt phng (P) bng cỏch:

^
d
1
, ta tỡm c N.
Khi ú, d l ng thng MN.

ã
Cỏch 2:
Vit phng trỡnh mt phng (P) qua M v vuụng gúc vi d
1
.
Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha M v d
2
.
Khi ú d = (P)
ầ
(Q). Baứi 1. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im M v cú VTCP
a
r
cho trc:
a)
Ma
(1;2;3),(1;3;5)
-=-
r
b)
Ma

)
231124
A, B
;;;;
- b)
(
)
(
)
110012
A, B
;;;;
- c)
(
)
(
)
315211
A, B
;;;; d)
(
)
(
)
210012
A, B
;;;;

253532212
AủiquaMN
;;,(;;),(;;)
D c)
23
25334
52
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ỡ
=-
ù
-=+
ớ
ù
=-
ợ
d)
252
422
423
xyz
A(;;),:
D

a)
(
)
243236190
A, (P)xyz;;:
++=
b)
(
)
110
A, Pcaựcmptoaùủoọ
;;():-
c)
(
)
3212540
APxy;;,():
-+=
d)
236236190
APxyz
(;;),():
++=

Baứi 5. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng l giao tuyn ca hai mt phng (P), (Q) cho
trc:
a)
62230
35210
Pxyz

++-=
ợ

d)
230
10
Pxyz
Qxyz
():
():
ỡ
+-+=
ớ
++-=
ợ
e)
10
20
Pxz
Qy
():
():
ỡ
+-=
ớ
-=
ợ
f)
210
10

=+=-
îî
xtxt
Adytdyt
ztzt
'
(;;),:,:'
'
b)
12
113
21122
33
ìì
=+=+
ïï
-=-+=-+
íí
ïï
==+
îî
xtxt
Adytdyt
zzt
'
(;;),:,:'
'

c)
12

Adytdyt
ztzt
'
(;;),:,:'
'

e)
12
132
213134
222
ìì
=+=
ïï
=+=-+
íí
ïï
=-+=-
îî
xtxt
Adytdyt
ztzt
'
(;;),:,:'
'
f)
12
314112
20
ìì

î
b)
32
4241
14
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì
=-+
ï
=-
í
ï
=-+
î

c)
13
2131
22
xt
Ayt
zt
(;;),:
D
ì
=+

(;;),:
D
ì
=-
ï
-=
í
ï
=-
î
f)
1
2112
3
xt
Ayt
z
(;;),:
D
ì
=+
ï
-=-+
í
ï
=
î

Baøi 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d
1

ïï
-=-+=-+
íí
ïï
==+
îî
xtxt
Adytdyt
zzt
'
(;;),:,:'
'

c)
12
1322
4533213
215
ìì
=-+=+
ïï
= =-+
íí
ïï
=-=-
îî
xtxt
Adytdyt
ztzt
'

-=-=+
íí
ïï
=+=-+
îî
xtxt
Adytdyt
ztzt
'
(;;),:,:'
'
f)
12
3332
325141
2223
ìì
=-+=+
ïï
-=+=-
íí
ïï
=+=-
îî
xtxt
Adytdyt
ztzt
'
(;;),:,:'
'

í
===+
í
ï
-
ï
=
ï
î
î
b)
12
62230
121
322
113
ì
+++=
ï
ï
ìì
=+=-
ïï
í
=-=+
íí
ï
ïï
=+=-
ï

ï
îî
î
Pxyz
xtxt
dytdyt
ztzt
():
'
:,:'
'
d)
12
33470
11
222
333
ì
+-+=
ï
ï
ìì
=-=
ïï
í
= =-+
íí
ï
ïï
=-=+

xyz
xyz
d
xyz
d
:
:
:
D
ì

==
ï
-
ï
ï
+-
==
í
-
ï
-++
ï
==
ï
î
b)
1
2
15


c)
1
2
122
:
143
122
:
143
47
:
591
-+-
ì
D==
ï
ï
-+-
ï
==
í
ï
++
ï
==
ï
î
xyz
xyz

í
ï

ï
==
ï
î-

Baøi 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau d
1
, d
2
cho trước:
a)
12
3223
144
2412
xtxt
dytdyt
ztzt
'
:,:'
'
ìì
=-=+
ïï
=+=-
íí

ztzt
'
:,:'
'
ìì
=+=+
ïï
=+=+
íí
ïï
=-=+
îî
d)
12
2312
312
122
xtxt
dytdyt
ztzt
'
:,:'
'
ìì
=+=-+
ïï
= =-
íí
ïï
=+=+

D
ì
+
ï
==
í
-
ï
+-+=
î

c)
113
122
2230
xyz
Pxyz
:
():
D
ì
+
ï
==
í
-
ï
-+-=
î
d)

==
í
ï
+++=
î
f)
12
121
2350
xyz
Pxyz
:
():
D
ì

ï
==
í

ï
+=
î

g)
54250
220
210
xyz
xz

+-=
í
î
ï
+ =
î

Baøi 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d
1

và cắt đường thẳng d
2
cho trước:
a)
12
1
12
011
311
1
x
xyz
Addyt
zt
(;;),:,:
ì
=-
ï

===

14113
123
623325
xyzxyz
Add(;;),:,:
+ +-
====Baøi 14. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham
số của các đường thẳng sau:
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 47

a) Chứa các cạnh của tứ diện tứ diện ABCD.
b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD).
c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD.
Baøi 15. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến:
1
3
2
6
2
3
:)(
1
-
=
-
=

c) Đường phân giác trong BK. d) Đường trung trực của BC trong DABC.
Baøi 17. Cho bốn điểm
121341141321
SABC
(;;),(;;),(;;),(;;)

.
a) Chứng minh S.ABC là một hình chóp.
b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC.
Baøi 18. Cho bốn điểm
123223113125
SABC
(;;),(;;),(;;),(;;)

.
a) Chứng minh S.ABC là một tứ diện.
b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC).
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 48

VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:


dxtytztdxtytzt
:;;;:';';'
=+=-=-=+= =-

c)
{
{
12
2211113
=+=-+===+=-
dxt yt z dx yt zt
:;;;:;';'

d)
12
123765
963642
xyzxyz
dd:;:

====
e)
12
153613
214321
xyzxyz
dd:;:
-+ ++
====
f)

dxtytztd
xyz
:;;;:
ì
=
===-
í
-++=
î

Baøi 2. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vuông
góc chung của chúng:
a)
{
{
12
123232132
=-=+= ==+=-
dxtytztdxtytzt
:;;;:';';'

b)
{
{
12
12222534
=+=-=-==-=
dxtytztdxtytz:;;;:';';
c)
{

====

xyzxyz
dd:;:
g)
12
2220220
2240210
ìì
-+-=+-+=
íí
+-+=-+-=
îî
xyzxyz
dd
xyzxyz
:;:
Baøi 3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d
1
và d
2
:
a)
{
{
12
123124
dxtytztdxtytzt
:;;;:';';'
==-=+=+==+

-+-=-+=
îî

Baøi 4. Tìm m để hai đường thẳng d
1
và d
2
cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng:
a)
{
{
12
1121223
dxmtytztdxtytzt
:;;;:';';'
=+==-+=-=+=-