Biờn son: GV HUNH C KHNH DAẽNG 1. PHệễNG TRèNH Cễ BAN
Phng trỡnh m c bn cú dng:
x
a m
=
, trong ủú
a 0, a 1
>
v m l s ủó cho.
Nu
m 0

, thỡ phng trỡnh
x
a m
=
vụ nghim.
Nu
m 0
>
, thỡ phng trỡnh
x
a m
=
cú nghim duy nht
a
x log m.
=

+
+ +
Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)
(
)
3
log x x 2 1
+ =

2)
(
)
(
)
2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0
+ =

3)
(
)
(
)
log x 15 log 2x 5 2
+ + =

4)
(

+

3)
x 1 x 2 x x 2
3.2 2.5 5 2
+
+ = +
4)
2
x
x
log 16 log 7 2
=

5)
x 3x 1
4 7 16
0
7 4 49


=


6)
( )
( )
2
8 8
4


=

11)
(
)
(
)
x x 2 x 1 x 1 x 1
3 10 6 4.10 5 10 6
+ +
+ = CHUYEN ẹE 1.
PHệễNG TRèNH

MUế LOGARIT
Biờn son: GV HUNH C KHNH
DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹệA VE CUỉNG Cễ SO
Phng phỏp ủa v cựng c s
S dng cụng thc:

a a= =

x 3 2 x 3 4
2 x 1 2 x 1
x .2 2 .2 2
x
+ +
+
+ = +

2)
x x 2 x 1 x 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
+ + +
+ = 4)
( )
2
2 2
x 1
x x 1 x
4 2 2 1
+
+
+ = +

Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2
( )
2
2
9 3
3
1 x 1
log x 5x 6 log log x 3
2 2

+ = +

6)
(
)
(
)
2 2
2 2 2
log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3
+ + + + + = +
Bi 3. Gii phng trỡnh sau:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4

+ =
7)
( )
5
1
2log x 1 log x log x
2
=

3)
(
)
(
)
4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =
8)
(
)
2
9 3 3
2log x log x.log 2x 1 1
= +

4)
( )
2
5
5

2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =

HD:
(
)
(
)
2 2 2
x x x x 2x x x 2x
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
+ − −
− − + = ⇔ − − =

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng khơng thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân
tích thành
(
)
(
)
2
2
2 1 . 2 4
x x x−
− −
. ðây là phương trình tích đã biết cách giải.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
x x x

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích
(
)
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0
x x x
 
− + − =
 
. ðây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng qt: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng khơng thể biến đổi để đặt ẩn phụ
được thì ta biến đổi thành tích.
Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x
+ = +
. DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Sử dụng cơng thức về hàm số mũ và lơgarit để biến đổi bài tốn, sau đó đặt ẩn số
phụ, quy phương trình đã cho về các phương trình đại số (phương trình chứa hoặc
khơng chứa căn thức). Sau khi giải phương trình trung gian ta quy về giải tiếp các
phương trình mũ hoặc lơgarit cơ bản

a.b 1
=
. Khi đó đặt
x x
1
t a , t 0 b
t
= > ⇒ =
, ta được
phương trình:
2
1 3 2
t t 0
α α α
+ + =
.
● Phương trình
2x x 2x
1 2 3
a (ab) b 0
α α α
+ + =
. Chia hai vế cho
2x
a
hoặc
2x
b
ta được
2x x

3 2cosx 1 cosx
4 7.4 2 0
+ +
− − =

3)
(
)
(
)
(
)
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
+ + + − − =

Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 14
− + + =

= >
thì
k k
a x
1
log x t ; log a , 0 x 1.
t
= = < ≠
.
● Nếu ñặt
b
log x
t a=
thì
b
log a
t x=
. Vì
b b
log c log a
a c
=
.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
(
)
x 1 x

2
x 25
log 125x .log x 1
=
6)
( )
3 9x
3
4
2 log x log 3 1
1 log x
− − =
−

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
x x
log 6.5 25.20 x log25
+ = + 3)
82
4 16
log 4x
log x
log 2x log 8x
=

2)
2 2

= , khi ñó ta có:
(
)
2
t 2 x 2 t 2x 5 0 t 1, t 5 2x
+ − + − = ⇒ = − = −
.
Thay vào (*) ta tìm ñược x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi
∆
là số chính phương.
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
2 2
x 2 x 2
9 x 3 3 2x 2 0
+ − − + =

Bài 2. Giải phương trình:
2x 3x 1 x 3
4 2 2 16 0
+ +
+ + − =

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(
)

ng trình:
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2
lg x 1 x 5 lg x 1 5x 0
+ + − + − =

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
2
2 2
lg x lgxlog 4x 2log x 0
− + =

2)
4 3 2
lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0
+ − − − =

C - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 3.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyển phương trình về hệ ñơn giản.
Bài 1. Giải phương trình:
2 2 2

− + − =

Bài 3. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
log x log x
2
2 2 x 2 2 1 x
+ + − = +

D - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4.

ðặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.

PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Ví dụ : Giải phương trình:
x
x 1 x x 1 1 x
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
− − −
+ =
+ + + +

HD: Viết phương trình dưới dạng
x 1 1 x x 1 1 x
8 1 18

2x x
2 2 6 6
− + =

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
2 2
log x x 1 3log x x 1 2
− − + + − =

Bài 2. Giải phương trình:
3
2 lgx 1 lgx 1
− = − −

Bài 3. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
2 2
3 log x 4x 5 2 5 log x 4x 5 6
+ − + + − − + =


. Với
;d ac e bc
α β
= + = +
.
Cách giải:
- ðiều kiện có nghĩa của phương trình:
0 1
0
s
dx e
< ≠


+ ≠


- ðặt
( )
s
ay b log dx e
+ = +
khi ñó phương trình ñã cho trở thành:
( )
( ) (1)
( )
(2)
ax b
ax b ax b
ay b ay b

+
= +
là hàm số dơn ñiệu trên R. Từ (3) ta có f(x) = f(y)
⇔
x = y,
khi ñó (2)
ax b
s dx e
+
⇔ = +
(4) dùng phương pháp hàm số ñể xác ñịnh nghiệm phương trình (4).
Ví dụ: Giải phương trình:
(
)
x 1
7
7 6log 6x 5 1
−
= − +

HD: ðặt
(
)
7
y 1 log 6x 5
− = −
. Khi ñó chuyển thành hệ
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
(
)

(
)
t 1
f t 7 6t
−
= +
suy ra
x y
=
, Khi
ñ
ó
x 1
7 6x 5 0
−
− + =
.
Xét hàm s
ố

(
)
x 1
g x 7 6x 5
−
= − +
. Nh
ẩ
m nghi
ệ

2
2 2 2
3log x 1 4log x 13log x 5
+ = − + −

Bài 3. Giải các phương trình sau:
1)
2
lgx 1 lg x 4lgx 5
+ = + +
3)
(
)
x
6
6 3log 5x 1 2x 1
= − + +

2)
3
3
2 3
log x 2 3 3log x 2
+ = −
4)
3
3
x 1 3 2x 1
+ = −



3)
2 2 2
x x x
15.25 34.15 15.9 0
− + =
18)
(
)
(
)
x x
4 15 4 15 8
− + + =

4)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 4
+ + − =
19)
(
)
(
)
x x
x

− + =
22)
(
)
x 2 5
1 2log 5 log x 2
+
+ = +

8)
x x 1 x x
4 4 3.2
+ +
− =
23)
(
)
(
)
3
log log x log log x 2 0
+ − =

9)
x x
9 8.3 7 0
− + =
24)
(
)

5
log x log 3
2
+ =

12)
3 3 3x x x
25 9 15 0
− + =
27)
8
2
3log xlog x
2x 2x 5 0
−
+ − =

13)
2 2
sin x cos x
9 9 10
+ =
28)
2 2
log x log 5
5 2.x 15
+ =

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
14)

log x log ( x 2)
= +
.
ðặ
t
t
7
t log x x 7
= ⇒ =
.
Ph
ươ
ng trình tr
ở
thành
(
)
t
t
t t t
3
7 1
t log 7 2 3 7 2 1 2.
3 3
 
 
= + ⇔ = + ⇔ = +
 
 
 

2 6
log x 3 log x
+ =
.
ðặt
6
t log x
= , phương trình tương ñương
t
t t t t
3
6 3 2 3 1
2
 
+ = ⇔ + =
 
 
.
●Dạng 3.
(
)
b
log x c
a x
+
=
. (ðiều kiện:
b a c
= +
)

Ví dụ 2. Giải phương trình:
(
)
3
log x 5
2 x 4.
+
= +

ðặt
t x 4
= +
. Phương trình trở thành:
(
)
3
log t 1
2 t
+
=
.

Biờn son: GV HUNH C KHNH
DAẽNG 5. PHệễNG PHAP LOGARIT HOA



=
2)
2 3
lg x lgx 3
2
x
1 1
1 1 1 1
x x
+ +
=

+ + +

Bi 2.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
4x 1 3x 2
2 1
5 7
+ +

=


= >


Bi 1.
Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
(
)
2
x
log x 4x 4 3
+ =
3)
(
)
x
log x 6 3
+ =

2)
( )
{ }
4 3 2 2
1
log 2log 1 log 1 3log x
2

log x 1 log x 1
=
4)
x
x lg(1 2 ) xlg5 lg6
+ + = +

Bi 3.
Bi t

p rốn luy

n. Gi

i cỏc ph

ng trỡnh sau:
1)
x 1 2x 1
4.9 3 2
+
=
2)
x x
3 2
2 3
=

3)
2

3 .2 6
+
=
.Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
DẠNG 6. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN CỦA HÀM SỐ
● Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất
(thường là sử dụng cơng cụ đạo hàm)
● Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình
f(x) = C có khơng q một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao
cho f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).
( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x


2 2
log x log x
x 2.3 3 2.3 3 x
+ = ⇔ = −
, v
ế
trái là hàm
đồ
ng bi
ế
n, v
ế
ph
ả
i là hàm
ngh
ị
ch bi
ế
n nên ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
x 1
=
.

α
.
Khi
đ
ó:
6 5 3 2
α α α α
− = −
. Xét hàm s
ố

( ) ( )
f t t 1 t
α
α
= + −
, với
t 0
>
. Ta nhận thấy
(
)
(
)
f 5 f 2
=
nên theo định lý lagrange tồn tại
(
)
c 2;5

x 1 x x 2
2 x 1 2 x x
− −
+ − = + −
, xét hàm số
(
)
t
f t 2 t
= +
là hàm đồng biến trên R (???). Vậy phương trình được viết dưới dạng:
(
)
(
)
2 2
f x 1 f x x x 1 x x x 1
− = − ⇔ − = − ⇔ =
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
x x
3 2 3x 2
+ = +
.
HD: Dễ dàng ta tìm được nghiệm:
x 0
=
và
x 1
=