Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy ra
k 5
≥ −
.
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau: 1)
( )
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log 9x log y 3

− + − =


− =


2)
( ) ( )
x y
y x
2 3
4 32
log x y 1 log x y
+

log x y log x y 4
−
−

 
=

 
 


− + − =


5)
( )
y
3
3 4 x
x 1 1 3
x
y log x 1

−
+ − =



+ =


8)
y x x 1
x 2y 10

− = +


+ =



9)
4 2
x 4 y 3 0
log x log y 0

− + =


− =


10)

(
)
2 2
2
4 2
log x y 5


+ =



13)
x y 12
x y 12
x y
y x
+
+

=


=



2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
- §Ỉt ®iỊu kiƯn cho c¸c biĨu thøc trong hƯ cã nghÜa

-



Lời giải:
-3
x
-
∞

0

1
2
+
∞

y
’

+ - -
0
+
0
y

-5
-
∞

+
∞


.
- Đặt
(
)
(
)
5 3
t log 3x 2y log 3. 3x 2y

= + =

, suy ra
t
t 1
3x 2y 5
3x 2y 3


+ =

=


- Thay vào phơng trình (1) trong hệ ta đợc
(
)
t
t t 1
5 .3 5 15 15 t 1


, thông thờng ta giải
theo hớng: Đặt
(
)
(
)
(
)
(
)
a
t log x x log x x
a
f g f g

= + =

, suy ra
(
)
(
)
t
x x a
f g
+ =
và
(
)

Li gii:
-

i

u ki

n:
x 0, y 0
> >

-
Lấy
logarit
theo cơ số
10
cả hai vế ta đợc
( ) ( )
log x.log5 log y.log7
log7 logx log7 log5 log y log5
=


+ = +


- Đặt
u logx, v logy
= =
. Khi đó hệ có dạng


( )
2 2
v
2 2
log5 0
D log 5 log 7 .log5
log7 log 5 log 7
= =


- Dễ thấy
D 0

nên hệ có nghiệm duy nhất
u
v
D
u log7
D
D
v log5
D

= =




= =



=



Vớ d 3. Gii h phng trỡnh:
( )
3
3
log 2
log xy
2 2
4 2 xy (1)
x y 3x 3y 12 (2)

= +


+ =



Li gii:
- iu kin:
x.y 0
>

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
- NhËn xÐt

= + ⇔ − − = ⇔

=


-
Víi
t 2
=

th×
3
log xy 1
=

hay
xy 3
=
.

-
BiÕn ®ỉi
ph
ươ
ng trình

(2)
thµnh
( ) ( )
(


- VËy hƯ cã hai nghiƯm
(
)
3 6; 3 6
− +
vµ
(
)
3 6; 3 6
+ −
.
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau:
1)
2 4
2
2 4
5log x 3log y 8
10log x log y 9
− =


− = −

2)
(
)
27 27 27
3

log x log y 1

+ =

− =


5)
x y
2 2 8
x y 4

+ =

+ =

6)
2 3
2 3
log x 3 5 log y 5
3 log x 1 log y 1

+ − =


− − = −



7)

2y 2 2x y
4 2 4 1
2 3.2 16
− +
+ +

− + =


− =


10)
2cot x siny
sin y 2cot x
9 3
9 81 2
+

=


− =

11)
y x
log xy log y

ph
ươ
ng trình:
x y
3
2
2
x y (1)
x
log log 4y 10 (2)
2
e e

− = −


+ =



Lời giải:
-
ð
i
ề
u ki
ệ
n:
x, y 0
>

,
do ®ã hàm số
(
)
t
f
®ång biÕn khi
t 0
>
.
- Ph−¬ng tr×nh (3) viÕt d−íi d¹ng
(
)
(
)
x y x y.
f f
= ⇔ =

- ThÕ
x y
=
vµo ph−¬ng tr×nh
(2) ®−ỵc
3
2
2
x
log log 4x 10
2



Li gii:
- iu kin:
x 1, y 1
> >

- Phng trỡnh (1) của hệ đợc viết lại dới dạng:
(
)
(
)
(
)
ln 1 x x ln 1 y y 3
+ = +
- Xét hàm số
(
)
(
)
t ln 1 t t
f
= +
, với
t ( 1; )
+
. Ta có
( )
1 t

(
)
(
)
3 x y
f f
= . Lúc đó
x y
=
hoặc
xy 0.
<

+ Nếu
xy 0.
<
thì vế trái của (2) luôn dơng. Phơng trình không thoả mãn.
+ Nếu
x y
=
, thay vào phng trỡnh (2), ta đợc nghiệm của hệ là
x y 0.
= =

Lu ý:
Khi gặp hệ phơng trình dạng
(
)
(
)


ng
trỡnh
tích.
Hng 2: Xét hàm số
(
)
y t
f
=
. ta thờng gặp trờng hợp h

m s

liên tục trong tập xác định
của nó.
+ Nếu hàm số
(
)
y t
f
=
đơn điệu, thì từ (1), suy ra
x y
=
.
+ Nếu hàm số

Li gii:
- iu kin:
x 1, y 1
> >

- Rút y từ phơng trình (2) thay vào phơng trình (1), ta đợc phơng trình
(
)
(
)
(
)
x a x
x ln 1 x ln 1 a x 0
f e e
+
= + + + + =

( )
( )
( )
x a
a
' x . 1 0
1 x 1 a x
f e e
= + >
+ + +
, khi
a 0

)
x 0
f
=
có một nghiệm trong
(
)
1;
+
. Vậy hệ
phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi
a 0.
>

Lu ý:
Học sinh dễ mắc sai lầm khi thấy h

m s

đồng biến đã kết luận phơng trình
(
)
x 0
f
=

có nghiệm duy nhất. Ta chỉ có thể kết luận phơng trình có nghiệm duy nhất khi hàm số đơn
điệu, liên tục và trong tập giá trị có cả giá trị âm và dơng.

Biờn son: GV HUNH C KHNH



+ =



-
Phơng trình
(1)
tơng đơng với
(
)
(
)
(
)
2 3 2 3
log x 3 log 3x log y 3 log 3y 3
+ + = + +
- Xét hàm số
(
)
(
)
2 3
t log t 3 log 3t
f = + + liên tục với mọi
t 0
>
.

( ) ( )
2 3
x y
log x 3 log 3x 4
=



+ =



- Giải (4): Đặt
(
)
2 3
u log x 3 log 3x
= + =
Suy ra
u u 1
u
u 1 u u
u
x 3 4 x 3
x 3 2

x 3 3 9 3.4
3x 3



3 1
u 9.
4 4
f

= +


là hàm liên tục, nghịch biến với mọi
u


và
(
)
1 3.
f
=
Với
u 1
>
thì
(
)
u 3
f
<
. Với
u 1
<

2
3
2
3
x 2x 6.log 6 y x
y 2y 6.log 6 z y
z 2z 6.log 6 x z

+ =


+ =


+ =



Li gii:
- iu kin:
x, y, z 6
<

- Hệ phơng trình trên tơng đơng với
( )
( )
( )
3
2
3

- Nhận xét
( )
2
x
x
x 2x 6
f =
+
là hàm đồng biến (vì
( )
( )
2 2
6 x
' x 0
x 2x 6 x 2x 6
f

= >
+ +

với
x 6
<
) còn
(
)
(
)
3
x log 6 x

)
x y z
f f f
nên
(
)
(
)
(
)
3 3 3
log 6 y log 6 z log 6 x .

Mặt khác
(
)
x
g là hàm giảm nên
x z y.

(2). Từ (1) và (2) ta có
x y z.
= =

+
x z y.

Tơng tự ta lại có
x y z.
= =

x,y
sau
(
)
( )
3 3
3 2
x y 29 1
log x.log y 1 2

+ =


=



Li gii:
- Dễ thấy, nếu
(
)
x,y
là nghiệm của hệ trên thì
(
)
x 1, y 1 * .
> >
- Đặt
(
)

t 9 8 29
f
= +
trên
(
)
0; .
+

Ta có
( )
1
t
t
2
8 .ln8
' t 9 .ln9
t
f =
. Trên
(
)
0; ,
+

hm s
1
t
y 8 .ln8
=

( )
( )
( )
256
1
' . ' 1 18 ln9 ln 2 ln 27 ln16 0
2
f f

= <
nên tồn tại
(
)
0
t 0;1


sao cho
(
)
0
' t 0.
f
=

Do đó, ta có bảng biến thiên sau của hàm
(

(3) có đúng
2
nghiệm dơng. Vì
vậy, hệ có tất cả
2
nghiệm.
f(1)
t
0
t
0
1
+


f

(t)
-
0
+
f(t)
+


f(t
0
)
+


+ =



3)
(
)
( )
(
)
( )
2 2
2 3
2 2
2 3
log 1 3 1 x log 1 y 2
log 1 3 1 y log 1 x 2

+ = +



+ = +


4)

x
y
2 2x 3 y

Vớ d 1.
Gi

i h

ph

ng trỡnh:
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
x y log y log x 1 xy 1
xy 3y 2 0
2

= +


+ =



Li gii:
- iu kin:
x 0, y 0

2
x y
x y
x y x y 1

x 1
xy 3y 2 0 x y 2
x 3x 2 0
x 2
=

=
= = =




=



+ = = =
+ =




=




( )
2 2
2 2
2 2
2 2
x y 1
x y 1
I :
1 1 1
x y x y
x y
2 2 2

+ >

+ >





+ +
+







Biờn son: GV HUNH C KHNH

- Từ đó suy ra chúng đợc biểu diễn bằng
miền gạch trong hình bên (trong đó lấy
biên của đờng tròn tâm O
1
bán kính
2
2

và không lấy biên của đờng tròn tâm O
bán kính 1). Điểm A là giao điểm của
đờng thẳng
x y 0
+ =
với đờng tròn

2 2
x y 1
+ =
và chú ý rằng A là giao điểm
phía dới nên suy ra toạ độ của nó là

2 2
x , y .
2 2
= =
Đờng thẳng
x 2y m
+ =

2 2
+
< .

Vớ d 3. Tỡm m ủ h cú nghim duy nht
( ) ( )
( )
x
y
2 2
2 2 y x m 1 1
x y m 2

= +


+ =



Li gii:
iu kin cn
- Nếu hệ có nghiệm
(
)
0 0
x ; y
thì
(
)

y 0

. Do đó
y y 0
1 2 0 2 1 2 y 0


=


.
-
Với
y 0
=

thì
m 0
=
. Đó chính là điều kiện cần.

i

u ki

n
ủ
-
Giả sử
m 0

Giải (5) xét hàm số
(
)
t
t 2 t
f
= +
đồng biến và liên tục trên

. Do đó phơng trình (5) viết
là
(
)
(
)
x y x y
f f
= =
.
- Khi đó hệ có dạng
2
x y
x y 0
x y 0

=
= =

+ =


2 2
2 2
log y log x xy 1
x y 1
e e

− = − +


+ =


2)
(
)
(
)
2 2
3 3
x y log y log x xy 2
x y 16

− = − +


+ =



3)


Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
( )
x
y
log 6x 4y 2
log 6y 4x 2

+ =


+ =


2)
(
)
( )
4
4
4 y x

3 2
x
3 2
y
log x 2x 3x 5y 3
log y 2y 3y 5x 3

+ − − =


+ − − =



5)
( )
y
log
5
2 y
y.x x
log y.log y 3x 2
x

=


− =



( )
2
3
x 2x 3 log 5
y 4
2
3 5
4 y y 2 y 4 8
− − −
− +

=


− − + + ≤


8)
( )
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3.log 9x log y 3

− + − =


− =





.

HẾT

GIA SƯ ðỨC KHÁNH
0975.120.189 0563.602.929
Thầy KHÁNH (GV Toán) 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN