Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 89
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN.
ĐS: 1) dSABM
26
(,)
3
= 2)
SABMNSABMSAMN
VVV

222
2
33
=+=+=.
Baøi 17. (ĐH 2004B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường
thẳng d:
xt
yt
zt
32
1
14
ì
=-+
ï
=-
í
ï
=-+

ab
4
+=
. Tìm a, b để khoảng cách giữa
hai đường thẳng B
1
C và AC
1
lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và
mặt phẳng (P):
xyz
20
++-=
. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có
tâm thuộc mặt phẳng (P).
ĐS: 1a)
ab
dBCAC
ab
11
22
(,)=
+
1b) dkhiab
max22
===

2) xyz
222

chóp A
1
.ABCD với mặt phẳng (Q).
ĐS:
Baøi 20. (ĐH 2004A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết
(
)
A
2;1;0
,
(
)
B
2;1;0
- , S(0; 0; 3).
1. Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với hai đường
thẳng AD, SC.
2. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của
hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P).
ĐS:
Baøi 21. (ĐH 2004B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(4; 2; 2), B(0; 0; 7) và
đường thẳng d:
xyz
361
221

==
-
. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng

î
. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường
thẳng d. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc B¢ của điểm B(1; 1; 2) trên mặt phẳng (P).
ĐS:
Baøi 25. (ĐH 2005A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng
(P) lần lượt có phương trình:
xyz
d
133
:
121
-+-
==
-
, (P):
xyz
2290
+-+=
.
1. Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
2. Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham
số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), biết D đi qua A và vuông góc với d.
ĐS: 1) II
12
(3;5;7),(3;7;1)
2) A(0; –1; 4),
D
:
xt
y

1
).
2. Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M
và song song với BC
1
. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn
MN.
ĐS: 1) A
1
(0; –3; 4), C
1
(0; 3; 4), (S): xyz
222
576
(3)
25
+++=
2) (P):
xyz
42120
+-+=
, MN =

song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
cả hai đường thẳng d
1
và d
2
.
2. Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện
tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ).
ĐS: 1) (P):
xyz
151117100
+ =
2) S = 5.
Baøi 28. (ĐH 2005A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;1;0), B(0; 2;
0), C(0; 0; 2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC. Tìm tọa độ
giao điểm của AC với mặt phẳng (P).
2. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ
diện OABC.
Trn S Tựng thi Tt nghip i hc
Trang 91
S: 1) (P):
yz
0
-=
, M

:
112
==
v
xt
dyt
zt
2
12
:
1
ỡ
=
ù
=
ớ
ù
=+
ợ
( t l tham s )
1. Xột v trớ tng i ca d
1
v d
2
.
2. Tỡm ta cỏc im M thuc d
1
v N thuc d
2
sao cho ng thng MN song song

v tớnh di
an MM
1
.
2. Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua M v cha ng thng:
xyz
115
216

==
-
.
S: 1) M
1
(1; 2; 1), MM
1
= 6 2) (Q):
xyz
4100
++-=
.
Baứi 32. (H 2005Ddb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho lng tr ng
OAB.O
1
A
1
B
1
vi A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O
1

1
C
1
D
1
vi A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D
1
(0; 2; 2).
1. Xỏc nh ta cỏc nh cũn li ca hỡnh lp phng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Gi M l
trung im ca BC. Chng minh rng hai mt phng (AB
1
D
1
) v (AMB
1
) vuụng gúc v i
nhau.
2. Chng minh rng t s khong cỏch t im N thuc ng thng AC
1
(N A) ti 2
mt phng (AB
1

thi Tt nghip i hc Trn S Tựng
Trang 92
S: 1) d =
1
22
2) (Q
1
):
xyz
210
-+-=
, (Q
2
):
xyz
210
+=
.
Baứi 35. (H 2006B) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(0; 1; 2) v hai ng
thng: d
1
:
xyz
11
211
-+
==
-
, d
2

2) M(0; 1; 1), N(0; 1; 1).
Baứi 36. (H 2006D) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(1; 2; 3) v hai ng
thng: d
1
:
xyz
223
211
-+-
==
-
, d
2
:
xyz
111
121
+
==
-
.
1. Tỡm to im AÂ i xng vi im A qua ng thng d
1
.
2. Vit phng trỡnh ng thng D i qua A, vuụng gúc vi d
1
v ct d
2
.
S: 1) A

ợ
.
Baứi 38. (H 2006Adb2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P) cú phng
trỡnh:
xyz
3240
+-+=
v hai im A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gi I l trung im ca on
thng AB.
1. Tỡm to giao im ca ng thng AB vi mt phng (P).
2. Xỏc nh to im K sao cho KI vuụng gúc vi mt phng (P) ng thi K cỏch u
gc to O v mt phng (P).
S: 1) M(12; 16; 0) 2) K
113
;;
424
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
Baứi 39. (H 2006Bdb1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng D
1
, D
2
cú
phng trỡnh: D
1
:
xt

v im B trờn D
2
sao cho on thng AB cú di nh nht.
S: 1) (P):
xyz
20
+-+=
2) A(1; 1; 2), B(3; 1; 0).
Baứi 40. (H 2006Bdb2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P) cú phng
trỡnh:
xyz
250
+-+=
v cỏc im A(0; 0; 4), B(2; 0; 0).
1. Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng AB trờn mt phng (P).
2. Vit phng trỡnh mt cu i qua O, A, B v tip xỳc vi mt phng (P).
S: (A
Â
B
Â
):
xyz
xyz
2250
2340
ỡ
-++=
ớ
-+-=
ợ

1. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời cắt cả d
1
và d
2
.
ĐS: 2)
D
:
xyz
275
584
+
==

.
Baøi 42. (ĐH 2006D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0),
C(0; 0; 3).
1. Viết phương trình đường thẳng D đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng
khoảng cách từ C đến (P).
ĐS: 1)
D
:
xyz
634

12
1
3
ì
=-+
ï
=+
í
ï
=
î
.
1. Chứng minh rằng hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):
xyz
740
+-=
và cắt
hai đường thẳng d
1
, d
2
.
ĐS: 2)
xyz
21

==
-
.
1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc
với mặt phẳng (OAB).
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho
MAMB
22
+
nhỏ nhất.
ĐS: 1)
xyz
d
22
:
211

==
-
2) M(–1; 0; 4).
Baøi 46. (ĐH 2007A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 3; –2), B
(–3; 7; –18) và mặt phẳng (P):
xyz
210
-++=
.
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Tìm tọa độ điểm M Î (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
ĐS: 1)
xyz

Baøi 48. (ĐH 2007B–db1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–3; 5; –5),
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 94
B(5; –3; 7) và mặt phẳng (P):
xyz
0
++=
.
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M Î (P) sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
ĐS: 1) I(–1; 3; –2) 2) M
º
O(0; 0; 0).
Baøi 49. (ĐH 2007B–db2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0); M(0;
–3; 6).
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P):
xy
2–90
+=
tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính
MO. Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương
ứng B, C sao cho V
OABC
= 3.
ĐS: 1) I(3; 3; 6) 2) (Q

đến D bằng
42
.
ĐS: 1) M(1; –3; 0) 2)
D
1
:
xyz
525
231
-++
==
-
,
D
2
:
xyz
345
231
++-
==
-
.
Baøi 51. (ĐH 2007D–db2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
–22–10
+=
và các đường thẳng
xyz

++-=
2) M
1
(3; 0; 2), N
1
(–1; –4; 0)
hoặc M
2
(1; 3; 0), N
2
(5; 0; –5).
Baøi 52. (ĐH 2008A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường
thẳng d:
xyz
12
212

== .
1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (a) lớn nhất.
ĐS: 1) H(3; 1; 4) 2) (
a
):
xyz
430
-+-=
.
Baøi 53. (ĐH 2008B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2;
1), C(–2; 0; 1).
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

-=
,
222
,,
333
M
æö
ç÷
èø
2)
( ) ( )
22
2
112
xyz
+-+-=
.
Baøi 56. (ĐH 2008A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 0), C(0; 4;
0), S(0; 0; 4).
1. Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết
phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S.
2. Tìm tọa độ điểm A
1
đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC.
ĐS: 1) B(2; 4; 0), xyz
222
(1)(2)(2)9
-+-+-=
2) A
1

.
2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d
1
và N thuộc d
2
sao cho đường thẳng MN song song
với mặt phẳng (P):
0
xyz
-+=
và độ dài đọan MN =
2
.
ĐS: 1) d
1
và d
2
chéo nhau 2)
MN
448143
;;,;;
777777
æöæö
-
ç÷ç÷
èøèø
.
Baøi 58. (ĐH 2008B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(5; 2; – 3) và mặt
phẳng (P):
2210

++-=
.
Baøi 59. (ĐH 2008D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng
OAB.O
1
A
1
B
1
với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O
1
(0; 0; 4).
1. Tìm tọa độ các điểm A
1
, B
1
. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O
1
.
2. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O
1
A và cắt OA,
OA
1
lần lượt tại N, K. Tính độ dài đoạn KN.
ĐS: 1) A
1
(2; 0; 4), B
1
(0; 4; 4), Sxyz

D
1
) và (AMB
1
) vuông góc
nhau.
2. Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC
1
( N ≠ A ) đến 2
mặt phẳng (AB
1
D
1
) và (AMB
1
) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
ĐS: 1) C(2; 2; 0), D(0;2;0), A
1
(0; 0; 2), B
1
(2; 0; 2), C
1
(2; 2; 2) 2)
d
d
1
2
2
2
= .

Baøi 62. (ĐH 2009A)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
2240
=
và mặt
cầu (S): xyzxyz
222
246110
++ =
. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu
(S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
2210
-+-=
và hai
đường thẳng D
1
:
xyz
19
116
++
== , D
2
:
xyz
131
212

Pxyz
():427150
++-=
, (P):
xz
2350
+-=
2)
xyz
31
:
26112
D
+-
==
-

Baøi 64. (ĐH 2009D)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và
mặt phẳng (P):
xyz
200
++-=
. Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho
đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D:
xyz
22
111
+-

=-
î
.
Baøi 65. (CĐ 2009)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1
):
xyz
2340
+++=
và
(P
2
):
xyz
3210
+-+=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông
góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
).
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) và
trọng tâm G(0; 2; –1). Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm C và vuông góc với
mặt phẳng (ABC).
ĐS: 1) (P):
xyz
45210
-+-=

-+=
. Gọi C là giao điểm của D với (P), M là điểm thuộc D. Tính
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 97
khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
6
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; –2) và đường thẳng D có
phương trình:
xyz
225
232
+-+
==. Tính khoảng cách từ A đến D. Viết phương trình mặt
cầu tâm A, cắt D tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
ĐS: 1)
dMP
1
(,())
6
=
2)
dA
(,)3
D
=
; Sxyz
222
():(2)25
+++=

và (Q):
xyz
10
-+-=
. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho
khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng D
1
:
xt
yt
zt
3
ì
=+
ï
=
í
ï
=
î
và D
2
:
xyz
21
212

==
. Xác định toạ độ điểm M thuộc D

222
1
(4)(–3)(2)
3
++++=

hoặc (S
2
): xyz
222
1
(6)(5)(4)
3
++-++=

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
211
xyz
-
==
-
và mặt
phẳng (P):
xyz
2220
-+-=
.
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).