Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 69

Gii:
Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0)
A
/
(0; 0; a), B
/
(a; 0; a), C
/
(a; a; a), D
/
(0; a; a)
000
222
aaa
MN;;,;;
ổửổử
ị
ỗữỗữ
ốứốứ

1. Tớnh R:
Phng trỡnh mt cu (S):
222
2220
xyzxyzd
abg
++ +=


ỡ
+=
ù
+=
ù
ù
ớ
-+=
ù
ù
+=
ù
ợ

(1) (2) suy ra: a = g
(2) (4) suy ra: d = a
25
3
4
4
4
a
a
()
()
ag
b

a
R
.
=
2. Tớnh r:
Phng trỡnh mt cu (SÂ):
2222
2220
xyzxyzd
////
abg
++ +=ABCDS
////
,,,(),
ẻ suy ra:

2
2
2
2
20
20
32220
20
aad
aad
aaaad
222
0
Sxyzaxayaz
/
():
ị++ =
v bỏn kớnh
3
2
a
R
/
=
D thy C(a; a; 0)
SCC
/
()()
ẻịẻ
Gi
IIJ
/
,,
l tõm ca (S), (S
/
) v (C)
A
/



M

I
/

R
/

C

(C)

(S)

I

R

J

r

PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 70 55
444222
aaaaaa

;;;;
ổửổử

=-=
ỗữỗữ
ốứốứ
uur
uur

2
132
4
a
IICI
/
[,](;;)
ị=-
uur
uur14
19
raị=
3. Tớnh S:

2
213
4
CMN

0x
yatR
zt
()
ỡ
=
ù
=ẻ
ớ
ù
=
ợ

Gi
KCMNAALCMNDD
//
(),()=ầ=ầ

( )
2
000
33
1
2
12
00
22333
CMKL
aa
KLa

a
S
.
ị= Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 71

BI TP
Baứi 1. Cho t din OABC cú ỏy OBC l tam giỏc vuụng ti O, OB=a, OC=
3
a
, (a>0) v ng
cao OA=
3
a
. Gi M l trung im ca cnh BC. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AB


Baứi 3. T din S.ABC cú cnh SA vuụng gúc vi ỏy v
ABC
D
vuụng ti C. di ca cỏc cnh
l SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gi M l trung im ca cnh AB, H l im i xng ca C qua M.
Tớnh cosin gúc hp bi hai mt phng (SHB) v (SBC).
HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) v H(1;0;0).
Baứi 4. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, AB = AC = a (a > 0), hỡnh
chiu ca S trờn ỏy trựng vi trng tõm G ca DABC. t SG = x (x > 0). Xỏc nh giỏ tr ca x
gúc gia hai mt phng (SAB) v (SAC) bng 60
o
.
HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0),
0
3322
aaaa
GSx
;;,;;
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
ị
3
a
x
.
=


rruuuruuur

Baứi 6. Cho lng tr ABC.A'B'C' cỏc cỏc mt bờn u l hỡnh vuụng cnh a. Gi D, F ln lt l
trung im ca cỏc cnh BC, C'B'. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng A'B v B'C'.
HD: Chn h trc to sao cho:

3333
0000000
22222222
aaaaaaaa
ABCAaBaCa
(;;),;;,;;,'(;;),';;,';;
ổửổửổửổử

ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứị

( )
21
7
a
dABBC
';''.
=
Baứi 7. T din ABCD cú AB, AC, AD ụi mt vuụng gúc vi nhau, AB = 3, AC = AD = 4. Tớnh
khong cỏch t A ti mt phng (BCD).
HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0).

31
0
62
C
;;
ổử
-
ỗữ
ỗữ
ốứ
;
6
00
3
S ;
ổử
ỗữ
ỗữ
ốứ
;
6
00
6
I ;;
ổử
ỗữ
ỗữ
ốứ
.


(0;0;2a),
1
3
2
22
aa
Ca
;;
ổử
ỗữ
ỗữ
ốứ
, D(0;a;a)

ị
Giỏ tr ln nht
1
2
15
4
DCM
a
S = khi M

A
Baứi 10. Cho t din SABC cú ỏy l DABC vuụng cõn ti B, AB = a,
SAABC
()
^
v SA = a.

2
a
SJJCR,==
Baứi 11. Cho t din SABC cú ỏy l DABC vuụng cõn ti B, AB = a,
SAABC
()
^
v
2
SAa
=
.
Gi D l trung im ca AC.
a. Chng minh khong cỏch t A n (SBC) gp ụi khong cỏch t D n (SBC).
b. Mt phng (a) qua A v vuụng gúc SC, (a) ct SC v SB ti M v N. Tớnh th tớch hỡnh
chúp SAMN.
c. Tớnh cosin ca gúc to bi hai mt phng (SAC) v (SBC).
S: a/
66
36
AB
aa
dd;== b/
3
2
18
a
d/
3
3

2
2
2
a
ah
;.
=
Baứi 13. Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh vuụng cnh a,
SAABCD
()
^
v
2
SAa
=
. Mt
phng (P) qua A v
SC
()
a
^
; (P) ct cỏc cnh SB, SC, SD ln lt ti H, M, K.
a. Chng minh
AHSBAKSD
,.
^^

b. Chng minh BD // (a) v BD // HK.
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 73

Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD,
SAABCD
()
^
và ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD
= b, SA = 2a. N là trung điểm SD.
a. Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN).
b. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
c. Gọi M là trung điểm SA. Tìm điều kiện a và b để
·
1
3
CMNcos =
.
Trong trường hợp đó tính V
S.BCNM
.
ĐS: a/
22
22
2
45
aab
ab
;;
+
b/
22
205
b

^
tại H. Chứng minh AH là đường cao tứ diện ASMN và H là trực tâm SMN.
d. Cho OS = 2, AB = 1. Tính V
ASMN
.
ĐS: a/
22
MAhABNAhAD
,;
==
uuuruuuruuuruuur
b/
22
0
22
hh
IAC
;;;
æö
Î
ç÷
èø

c/
AHSMNMNSHSMAH
();;;
^^^
d/
16
3

, đường cao SO, cạnh bên bằng
5
a
.
a. Tính thể tích hình chóp. Xác định tâm I và bán kính R của hình cầu (S) nội tiếp hình chóp.
b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD tại Q và R.
Tính diện tích thiết diện.
c. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (MNP) chia hình chóp ra hai phần có thể tích bằng nhau.
ĐS: a/
3
4
32
aa
VOIR;
===
b/
2
2
a
c/
3
2
3
a
.

Baøi 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, đường cao SO. Mặt bên tạo
với đáy góc
0
60

OzABCD
()
^
lấy điểm S, mặt phẳng
(SAD) tạo với đáy góc a.
a. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD.
b. Mặt phẳng (b) qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể
tích hai phần đó.
ĐS: a/
2a
.sin
a
b/
2
cos.
a

Baøi 20. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB= 2, AD = 4, AA¢ = 6. Gọi I, J là trung
điểm AB, CD¢. Gọi M, N thỏa
AMmADBNmBB
/
,==
uuuur
uuuruuuruuur

01
m
()
££


ĐS: a/
3
06
3
MNnMNd
.;;;
===
uuuurr
b/
130
o
V
;;
j
== c/
26
3
.

Baøi 22. Cho lăng trụ OAB.O¢A¢D đáy DOAB vuông tại O, OA= a, OB = b, OO/ = h. Mặt phẳng
(P) qua O vuông góc AB¢.
a. Tìm điều kiện a, b, h để (a) cắt cạnh AB, AA
/
tại I, J (I, J không trùng A, B, A
/
).
b. Với điều kiện trên hãy tính: S
DOIJ
và tỉ số thể tích 2 phần do thiết diện chia lăng trụ.
ĐS: a/

22
62
342
33
aa
MNtatat;min,=-+== b/
MNAMMNCN
,.
^^

Baøi 24. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có AB= 3, BC = 4. Cạnh bên
SAABC
()
^
và SA = 4.
a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
b. Trên AB lấy 1 điểm E với AE = x. Mặt phẳng (P) qua E song song với SA và BC cắt hình
chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện. Tìm x để diện tích này lớn nhất.
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 75

ĐS: a/
41
2
SIICR;== b/
3
4
2
Sx
max,.


Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 76 ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2006–pb) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng
a
3
.
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
ĐS: 1) Va
3
1
2
3
= 2) IB = IC = ID = IS.
Baøi 2. (TN 2007–pb) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh

3
11
24
.
Baøi 5. (TN 2008–pb–lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B,
đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, BC =
a
3
và SA = 3a.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
ĐS: 1) V =
a
3
3
2
2) BI =
a
13
2
.
Baøi 6. (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
·
BAC
0
120
=
, tính thể tích của khối chóp S.ABC
theo a.

2
10
16
a
S =
Baøi 2. (ĐH 2002B) Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a.
1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và B
1
D.
2. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB
1
, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai
đường thẳng MP và C
1
N.
ĐS: 1)

. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
ĐS:
Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng
cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
ĐS:
Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau. Gọi a, b, g lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC),
(OCA), (OAB). Chứng minh rằng:
coscoscos3
abg
++£.
ĐS:
Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh
a
62
=
. Hãy xác định độ dài
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
ĐS:
Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
(SBC) theo a, biết rằng SA =
a
6
2
.
ĐS:
Baøi 10. (ĐH 2003A) Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢. Tính số đo của góc phẳng nhị
diện [B, A¢C, D].

MDN là hình vuông.
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 78
ĐS:
2
a
.

Baøi 12. (ĐH 2003D) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là
đường thẳng D. Trên D lấy hai điểm A, B với AB= a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C,
trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với D và AC = BD =
AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (BCD) theo a.
ĐS:
32
22
aa
RAH
;.
==
Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD)
và (ABC) vuông góc với nhau và góc
·
BC
0
D90
=
. Xác định tâm và tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
ĐS:

Sa
D
= .
Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam
giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo
a, b, c và chứng minh rằng
abcabc
2S()
³++
.
ĐS:
Baøi 19. (ĐH 2004B) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng j (
00
090
()
j
<< . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(ABCD) theo j. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và j.
ĐS:
3
2
2
6
a
V
.tan;.tan
jj
=
Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA ^ (ABC). Tam giác ABC