Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b)
2
5
4 4
x
y x= + −
c)
2
4 3y x x= − +

d)
3 2
2 2y x x x= − + −
e)
2
(4 )( 1)y x x= − −
f)
3 2
3 4 1y x x x= − + −
g)
4 2
1
2 1
4
y x x= − −
h)
4 2
2 3y x x= − − +
i)
4 2

Trang 1
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
n)
2
2 26
2
x x
y
x
+ +
=
+
o)
1
3
1
y x
x
= − + −
−
p)
2

x x
− +
=
+ +

d)
2
2 1x
y
x
−
=
e)
2
3 2
x
y
x x
=
− +
f)
3 2 2y x x= + + −

g)
2 1 3y x x= − − −
h)
2
2y x x= −
i)
2


≥
0,
∀
x
∈
D.
•
Hàm số f nghịch biến trên D
⇔
y
′

≤
0,
∀
x
∈
D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y
′
= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu
y ax bx c
2
' = + +
thì:
•

0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


= =


≤

≤ ∀ ∈ ⇔


<



≤


∆
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai
2
( )g x ax bx c= + +

( )g x ax bx c= + +
với số
0:
•

1 2
0
0 0
0
x x P
S

>

< < ⇔ >


<

∆
•

1 2
0
0 0
0
x x P
S

>

a

≠

>

∆
(1)
•
Biến đổi
1 2
x x d− =
thành
2 2
1 2 1 2
( ) 4x x x x d+ − =
(2)
•
Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
•
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau ln đồng biến trên từng khoảng
xác định (hoặc tập xác định) của nó:
a)
3
5 13y x x= + +
b)
3
2
3 9 1

− −
=
−
Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau ln nghịch biến trên từng khoảng
xác định (hoặc tập xác định) của nó:
a)
5 cot( 1)y x x= − + −
b)
cosy x x= −
c)
sin cos 2 2y x x x= − −

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau ln đồng biến trên tập xác định (hoặc
từng khoảng xác định) của nó:
a)
3 2
3 ( 2)y x mx m x m= − + + −
b)
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= − − +
c)
x m
y
x m
+
=
−

b)
3 2
1 1
2 3 1
3 2
y x mx mx m= − + − +
nghịch biến trên một khoảng có độ dài
bằng 3.
c)
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + − + + −
đồng biến trên một khoảng có độ dài
bằng 4.
Bài 5. Tìm m để hàm số:
a)
3
2
( 1) ( 1) 1
3
x
y m x m x= + + − + +
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
b)
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
đồng biến trên khoảng (2; +∞).
c)

f)
2
2 3
2 1
x x m
y
x
− − +
=
+
nghịch biến trên khoảng
1
;
2
 
− +∞
 ÷
 
.
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
•
Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,
≥
,
≤
). Xét hàm số y
= f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định.
•
Xét dấu f

tan , 0
2
x x với x< < <
π
d)
sin tan 2 , 0
2
x x x với x+ > < <
π
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan
, 0
tan 2
a a
với a b
b b
< < < <
π
b)
sin sin , 0
2
a a b b với a b− < − < < <
π
c)
tan tan , 0
2
a a b b với a b− < − < < <
π
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

x x với x
x
+ − > >
+
d)
( )
2 2
1 ln 1 1x x x x+ + + ≥ +
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
0
tan55 1,4>
b)
0
1 7
sin20
3 20
< <
c)
2 3
log 3 log 4>
Trang 4
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
HD: a)
0 0 0
tan55 tan(45 10 )= +
. Xét hàm số
1
( )
1

−
 ÷
 
.
c) Xét hàm số
( ) log ( 1)
x
f x x= +
với x > 1.
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực
hiện các bước sau:
•
Chọn được nghiệm x
0
của phương trình.
•
Xét các hàm số y = f(x) (C
1
) và y = g(x) (C
2
). Ta cần chứng minh một
hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C
1
) và (C
2
) giao
nhau tại một điểm duy nhất có hồnh độ x
0
. Đó chính là nghiệm duy

3 4 5
1 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + − + − + − <
b)
2
2 7 2 7 35x x x x x+ + + + + <
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x

+ = + +


+ = + +

+ = + +

b)
3 2
3 2
3 2
2
2

d)
x y y x
x y
x y
tan tan
5
2 3
4
,
2 2
π
π π

− = −


+ =


− < <


e)
x y x y
x y
x y
sin sin 3 3
5
, 0
π

Trang 5
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
g)
x y x y
x y
x y
cot cot
5 7 2
0 ,
π
π

− = −

+ =


< <

h)
HD: a, b) Xét hàm số
3 2
( )f t t t t= + +
c) Xét hàm số
2
( ) 6 12 8f t t t= − +
d) Xét hàm số f(t) = tant + t
I. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x
0

0
là điểm cực trị của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trị của đồ
thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm
bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm trên (a; b)\{x
0
}
a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
thì f đạt cực
tiểu tại x
0
.
b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0
thì f đạt cực đại

(x).
•
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng
có đạo hàm.
•
Xét dấu f
′
(x). Nếu f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị
tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).
•
Tính f

4 15
3
y x x x= − + −
d)
4
2
3
2
x
y x= − +
e)
4 2
4 5y x x= − +
f)
4
2
3
2 2
x
y x= − + +
g)
2
3 6
2
x x
y
x
− + +
=
+

y
x x
+ −
=
+ −
c)
2
2
3 4 4
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
d)
2
4y x x= −
e)
2
2 5y x x= − +
f)
2
2y x x x= + −
Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
3
2
1y x= +

(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
khơng có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x
0
thì f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua
x
0
.
Chú ý:
•
Hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d= + + +
có cực trị
⇔
Phương trình y
′
= 0 có
hai nghiệm phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng
Trang 7

0) có cực trị
⇔
Phương trình y
′
= 0
có hai nghiệm phân biệt khác
'
'
b
a
−
.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng
hai cách:

0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
=
hoặc

−
d)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
Bài 2. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + −
có cực đại, cực tiểu.
b)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
có cực đại, cực tiểu.
c)
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
đạt cực đại tại x = 2.
d)
4 2
2( 2) 5y mx m x m= − + − + −
có một cực đại
1
.

−
có một giá trị cực đại bằng 0.
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau khơng có cực trị:
a)
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
b)
3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − −
c)
2
5
3
x mx
y
x
− + +
=
−
d)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:

ax bx ab
y
bx a
+ +
=
+
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
ax x b
y
x
+ +
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số :
a)
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
1 2

2
sao cho:
1 2
2 1x x+ =
.
Bài 6. Tìm m để hàm số :
a)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu
cùng dấu.
b)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực
đại, cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

3 2
4y x mx= − + −
có hai điểm cực trị là A, B và
2
2
900
729
m
AB =
.
b)
4 2
4y x mx x m= − + +
có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận
gốc toạ độ O làm trọng tâm.
c)
2
2x mx m
y
x m
+ + −
=
−
có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung.
Chứng minh hai điểm cực trị ln ln nằm cùng một phía đối với trục
hồnh.
Trang 9
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
d)
2

Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
3 2
2 12 13y x mx x= + − −
có hai điểm cực trị cách đều trục tung.
b)
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua
đường phân giác thứ nhất.
c)
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với
đường thẳng (d):
3 2 8 0x y− + =
.
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với
đường thẳng (d):
2 3 1 0x y− − =

− + + +
=
−
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư
thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ
độ.
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục
hồnh (tung).
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba
3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + +
.
•
Chia f(x) cho f
′
(x) ta được: f(x) = Q(x).f
′
(x) + Ax + B.
•

2) Hàm số phân thức
2
( )
( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
+ +
= = =
+
.
Trang 10
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
•
Giả sử (x
0
; y
0
) là điểm cực trị thì
0
0
0
'( )
'( )
P x
y
Q x
=
.

=
+
e
2
1
2
x x
y
x
− −
=
−
Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:
a)
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
b)
2
6x mx
y
x m
+ −
=
−

c)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
d)

1 5
2 2
y x= −
.
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D ⊂ R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
M f x
x D f x M

≤ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =

b)
0 0
( ) ,
min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m

′
(x).
•
Xét dấu f
′
(x) và lập bảng biến thiên.
•
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một
đoạn [a; b].
•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a;
b] (nếu có).
•
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2

d)
2
2y x x= + −
e)
2
1
2 2
x
y
x x
−
=
− +
f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
g)
2
1
( 0)y x x
x
= + >

trên [–2; 3]
c)
4 2
2 3y x x= − +
trên [–3; 2] d)
4 2
2 5y x x= − +
trên [–2;
2]
e)
3 1
3
x
y
x
−
=
−
trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x
−
=
+
trên [0; 4]
g)
2

y
x
−
=
+
b)
2
1
cos cos 1
y
x x
=
+ +
c)
2
2sin cos 1y x x= − +
d)
cos2 2sin 1y x x= − −
e)
3 3
sin cosy x x= +
f)
2
4 2
1
1
x
y
x x
−

HD:
1 1 1
3
1 1 1
P
x y z
 
= − + +
 ÷
+ + +
 
Sử dụng bất đẳng thức Cơ–si:
[ ]
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
 
+ + + + = + + ≥
 ÷
+ + +
 
⇒
P
≤

3
4
. Dấu “=” xảy ra

1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
 
+ + + + + + + + ≥
 ÷
 

⇔

4 1
4( ) 25
4
x y
x y
 
+ + ≥
 ÷
 
⇒
S
≥
5. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = 1, y =
1
4
. Vậy minS = 5.

Sử dụng bất đẳng thức Cơ–si:
[ ]
1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) 9
1 1
x y x y
x y x y
 
− + − + + + + ≥
 ÷
− − +
 
⇔

1 1 1 9
1 1 2x y x y
+ + ≥
− − +
⇒
P
≥

5
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y =
1
3
. Vậy minP =

 ÷
 
(1)
Theo bất đẳng thức Cơ–si:
1 1
2 . 1
4 4
x x
x x
+ ≥ =
(2)
Trang 13
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
3
2 2
1 1 3
3 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
+ + ≥ =
(3)
⇒
P
≥

9
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔

0
là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= =
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
b)
2
2
2 7 23
2 10
x x
y
x x
+ +
=
+ +
c)
2sin cos 1

α
có nghiệm
⇔
m
≤

α

≤
M.
2) Hệ bất phương trình
( )f x
x D

≥

∈

α
có nghiệm
⇔
M
≥

α
.
3) Hệ bất phương trình
( )f x
x D


≤

β
.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
4 4
2 4 2x x− + − =
b)
3 5 6 2
x x
x+ = +
c)
5 5
1
(1 )
16
x x+ − =
Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
2
2 1x x m+ + =
b)
2 2 (2 )(2 )x x x x m− + + − − + =
c)
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =
d)
Trang 14
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
7 2 (7 )(2 )x x x x m− + + − − + =

0 0
; ( )U x f x
đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại
một khoảng (a; b) chứa điểm x
0
sao cho trên một trong hai khoảng (a;
x
0
) và (x
0
; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn
trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị
2. Tính chất:
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm
Trang 15
IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
x
0
, f′′(x
0
) = 0 và f′′(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
( )
0 0
; ( )U x f x
là một điểm
uốn của đồ thị hàm số.

3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
; I(1; 2). b)
3
2
8
( 1) ( 3)
3 3
x
y m x m x= − + − + + −
;
I(1; 3)
c)
3 2
1y mx nx= + +
; I(1; 4) d)
3 2
2y x mx nx= − + −
;
2
; 3
3
I
 
−
 ÷
 
e)
3
2

a)
2
2 1
1
x
y
x x
+
=
+ +
b)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
c)
2
2
2 3
1
x x
y
x
−
=

g)
2
2
2 3
3 3
x x
y
x x
−
=
− +
h)
2
2
3
1
x x
y
x
+
=
+
i)
3
2
4 5
x
y
x x
=

0
lim ( )
x x
f x
+
→
= +∞
;
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= −∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= +∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→

[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞
− + =
;
[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→−∞
− + =
2. Chú ý:
a) Nếu
( )
( )
( )
P x
y f x
Q x
= =
là hàm số phân thức hữu tỷ.
• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x
0
thì đồ thị có tiệm cận đứng
0
x x=
.
• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.

=
−
b)
10 3
1 2
x
y
x
+
=
−
c)
2 3
2
x
y
x
+
=
−
d)
2
4 3
1
x x
y
x
− +
=
+

2
2
9
x
y
x
+
=
−
c)
2
2
4 5
1
x x
y
x
+ +
=
−
d)
2
2
2 3 3
1
x x
y
x x
+ +
=

9
x
y
x
+
=
−
c)
2
1
4 3
y
x x
=
− +
d)
1
1
x
y x
x
−
=
+
e)
3
2 3
3y x x= −
f)
2

Bài 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a)
y
x m x m
2 2
3
4 2(2 3) 1
=
+ + + −
b)
2
2
2
3 2( 1) 4
x
y
x m x
+
=
+ + +
c)
2
3
2
x
y
x x m
+
=
+ + −

Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:
a)
2
(3 2) 2 1
5
x m x m
y
x
+ + + −
=
+
b)
2
(2 1) 3
2
mx m x m
y
x
+ + + +
=
+
Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm
số sau chắn trên hai trục toạ độ:
a)
2
3 1
1
x x
y
x

y
x
+ −
=
−
; S = 8 b)
2
(2 1) 2 3
1
x m x m
y
x
+ − − +
=
+
; S
= 8
c)
2
2 2(2 1) 4 5
1
x m x m
y
x
+ + + −
=
+
; S = 16 d)
2
2 2

c)
2
7
3
x x
y
x
+ −
=
−
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Tìm tập xác định của hàm số.
• Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y′.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc khơng xác định.
+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu
có).
Trang 18
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực
trị của hàm số.
• Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng
phương).
– Tính y′′.
– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′.

( 0)y ax bx c a= + + ≠
:
• Tập xác định D = R.
• Đồ thị ln nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Các dạng đồ thị:
Trang 19
y
x0
I
y
x0
I
y
x
0
I
y
x
0
I
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
4. Hàm số nhất biến
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
:

= ≠
+
:
• Tập xác định D =
'
\
'
b
R
a
 
−
 
 
.
• Đồ thị có một tiệm cận đứng là
'
'
b
x
a
= −
và một tiệm cận xiên. Giao
điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Trang 20
a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ ab < 0
y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
⇔ ab > 0

b)
3 2
3 3 5y x x x= + + +
c)
3 2
3 2y x x= − + −
d)
2
( 1) (4 )y x x= − −
e)
3
2
1
3 3
x
y x= − +
f)
3 2
3 4 2y x x x= − − − +
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
4 2
2 1y x x= − −
b)
4 2
4 1y x x= − +
c)
4
2
5

=
−
c)
3
4
x
y
x
−
=
−
d)
1 2
1 2
x
y
x
−
=
+
e)
3 1
3
x
y
x
−
=
−
f)

2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+
d)
1
1
1
y x
x
= − + +
−
e)
2
1
x
y
x
=
−
f)
2
2
1
x x

=
−
e)
2
2
1
x x
y
x
− +
=
−
f)
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
Trang 22
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thị (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x). Để tìm hồnh độ giao điểm

2 2
1
2 2
x
y x
x
y

= − + −




= +


b)
2
2 4
1
2 4
x
y
x
y x x

−
=

 −

3 2
2
5 10 5
1
y x x x
y x x


= − + −

= − +


f)
2
1
3 1
x
y
x
y x


=

−

= − +

Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

 

c)
3
3
3
( 3)
x
y x
y m x


= − +


= −


d)
2 1
2
2
x
y
x
y x m

+

=


− +

=

+

= −

g)
1
3
1
3
y x
x
y mx


= − + +

−

= +

h)
2
3 3
2
4 1

( 2) 1
; 1
2
x
y y mx
x
+ −
= = +
+
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b)
2
2 3
; 2
1
x x m
y y x m
x
− +
= = +
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c)
2
; 2
1
mx x m
y y mx
x
+ +

VII. MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
nhau.
f)
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
cắt trục hồnh tại hai điểm phân biệt có hồnh độ
dương.
Bài 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
3 2
3 2 ; 2y x x mx m y x= + + + = − +
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
3 2
3 (1 2 ) 1y mx mx m x= + − − −
cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt.
c)
2 2
( 1)( 3)y x x mx m= − − + −
cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt.
d)
3 2 2

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m
để đoạn AB ngắn nhất.
b)
4 1
;
2
x
y y x m
x
−
= = − +
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m
để đoạn AB ngắn nhất.
c)
2
2 4
; 2 2
2
x x
y y mx m
x
− +
= = + −
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi
đó tính AB theo m.
Bài 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a)
3 2

): y = f(x) và
(C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hồnh độ giao điểm của (C
1
): y = f(x)
và (C
2
): y = g(x)
• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta
biến đổi (*) về một trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hồnh độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
• d là đường thẳng cùng phương với trục hồnh.
• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3)
(k: khơng đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phương trình hồnh độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = kx + m
• Vì d có hệ số góc k khơng đổi nên d cùng phương

0
(x
0
; y
0
).
• Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, …
của (C) đi qua M
0
.
• Cho d quay quanh điểm M
0
để biện luận.
Chú ý:
•
Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:
α

≤
x
≤

β
thì ta chỉ vẽ đồ thị
(C): y = f(x) với
α

c.
x
A
c.
y = kx
c.
m
c.
(C)
c.
M
1
M
2
b
1
b
2
d
1
d
d
2
O
y
c.
x
0
d
3