Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 98

g)
2
2
1
,
2
1
x
yy
x
==
+
h)
2
3,0
yxy
x
=++=

i)
2
2,2
yxxyx
=+=+
k)
2
2,4
yxyx

f)
2
(1),sin
yxxy
=+=p

g)
222
6,16
yxxy
=+=
h)
232
(4),4
yxyx
=-=
i)
3
10,10
xyxy
-+=+-=
k)
222
8,2
xyyx
+==
Baøi 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
.;0;1;2.
x

ln,0,,
yxyxxe
e
====

g)
2
sincos,0,0,yxxyxx
=+===p
h)
sin;;0;2.
yxxyxxx
=+===p

i)
2
sin;;0;.
yxxyxx
=+=p==p
k)
2
sinsin1,0,0,
2
yxxyxx
p
=++===

Baøi 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
2

e)
2
():2
Cyxx
=-
và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C).

VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
a) sin,0,0,
4
yxyxx
p
====
b)
32
1
,0,0,3
3
yxxyxx
=-===

c)
66
sincos,0,0,
2
yxxyxx
p
=+===

k)
22
(2)9,0
xyy
-+==

l)
22
46,26
yxxyxx
=-+= +
m)
ln,0,2
yxyx
===

Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Oy:
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 99

a)
2
,1,4
xyy
y
===
b)
2
,4

1
yyxx
x
====
+
d)
2
2,0
yxxy
=-=

e)
.ln,0,1,
yxxyxxe
====
f)
2
(0),310,1
yxxyxy
=>=-+=

g)
2
,
yxyx
== h)
( )
2
2
– 4 1


d)
2
2
1
1
2
x
dx
x
-
æö
-
ç÷
+
èø
ò
e)
3
7
84
2
12
x
dx
xx+-
ò
f)
1
2
0

4
xxx
dx
x
+++
+
ò

k)
1
3
2
0
1
x
dx
x +
ò
l)
1
2
0
1
xdx
x
+
ò
m)
1
3

xxdx
-
+
ò

d)
10
5
21
dx
xx

ò
e)
3
1
3
313
x
dx
xx
-
-
+++
ò
f)
2
1
22
xdx

1
31
+
+
ò

k)
3
32
0
1
xxdx
+
ò
l)
1
32
0
3
xxdx
+
ò
m)
1
32
0
1
xxdx
-
ò

dx
x
+
+
ò

r)
2
22
0
4
xxdx
-
ò
s) t)
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
/4
2
0
12sin
1sin2
x
dx
x
p
-
+
ò
b)

dx
xx
p
+
ò
e)
/2
0
sinsin2sin3
xxxdx
p
ò
f)
/2
5
0
cos
xdx
p
ò

g)
/2
44
0
cos2(sincos)
xxxdx
p
+
ò

xxdx
p
ò
l)
/2
0
sin2
cos1
x
dx
x
p
+
ò
m)
/2
0
sin
13cos
x
dx
x
p
+
ò

o)
/2
2004
20042004

+
ò

IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
Trần Sĩ Tùng Ngun hàm – Tích phân
Trang 101

r)
/3
2
2
0
sin
sin2cos
xxdx
xx
p
ò
s)
/2
22
0
sin
sin2coscos
2
xdx
x
xx
p
+

sin
0
(cos)cos
x
exxdx
p
+
ò
e)
ln5
ln3
23
xx
dx
ee
-
+-
ò
f)
22
1
ln
e
xxdx
ò

g)
3
1
1

0
(2)
x
xe
dx
x +
ò
l)
1
22
0
(421)
x
xxedx

ò
m)
2
2
1
ln(1)
x
dx
x
+
ò

o)
/2
3

dx
xx
-
+
ò
s)
ò
+
e
dx
x
xx
1
ln.ln31
t)
3
2
1
ln
ln1
e
x
dx
xx+
ò

Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) yxxyxx
3
32,0,0,1

-
f)
22
2,4
yxxyxx
=-=-+

g)
21
,0,0
1
x
yyx
x
+
===
+
h)
2
,0
1
xx
yy
x
-+
==
+

m)
2

1
3
4
yxx
=-
, tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hồnh độ x =
23
.
Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quanh trục:
a)
,0,3;
yxyxOx
=== b)
ln,0,1,;
yxxyxxeOx
====
c)
,0,1;
x
yxeyxOx
=== d)
22
4,2;
yxyxOx
=-=+
e)
2
4,0;
yxxOy

z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
· Hai số phức bằng nhau:
'
’’(,,',')
'
aa
abiabiababR
bb
ì
=
+=+ÛÎ
í
=
î

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
)
R
Î
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay
bởi
(;)
uab
=
r
trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:
·

biểu diễn z' thì
'
uu
+
rr
biểu diễn z + z’ và
'
uu
-
rr
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
·
(
)
(
)
(
)
(
)
abiabiaabbabbai
'' '–'''
++=++
·
()()
kabikakbikR
+=+Î

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là

22
zabzzOM
=+==
uuuur

·
0,,00
zzCzz
³"Î=Û=

·
.'.'
zzzz
= ·
'
'
zz
z
z
= ·
'''
zzzzzz
-£±£+

7. Chia hai số phức:
·
1
2
1
zz

Trn S Tựng S phc
Trang 103

8. Cn bc hai ca s phc:

ã

zxyi
=+
l cn bc hai ca s phc
wabi
=+

2
zw
=

22
2
xya
xyb
ỡ
-=
ớ
=
ợ

ã w = 0 cú ỳng 1 cn bc hai l z = 0
ã w
0

A
-d
= , (
d
l 1 cn bc hai ca D)
ã
0
D=
: (*) cú 1 nghim kộp:
12
2
B
zz
A
==-
Chỳ ý: Nu z
0

ẻ
C l mt nghim ca (*) thỡ
0
z
cng l mt nghim ca (*).
10. Dng lng giỏc ca s phc:
ã
(cossin)
zri
=j+j
(r > 0) l dng lng giỏc ca z = a + bi (z
ạ

ã
1cossin()
zziR
==+ẻ
jjj

11. Nhõn, chia s phc di dng lng giỏc
Cho
(cossin),''(cos'sin')
zrizri
=j+j=j+j
:
ã
[
]
.''.cos(')sin(')
zzrri
=j+j+j+j
ã
[ ]
cos(')sin(')
''
zr
i
zr
=j-j+j-j

12. Cụng thc Moavr:
ã
[ ]

vaứriri
ổử
jj
+
ỗữ
ốứ
ộự
ổửổửổử
jjjj
-+=+p++p
ỗữỗữỗữ
ờỳ
ốứốứốứ
ởỷ

ã M rng: S phc
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) cú n cn bc n l:

22
cossin,0,1, ,1
n
kk
rikn
nn
ổử
++

xyixyi
(32)(21)(1)(5)
-++=+

e)
xyyixyi
(2)(2)(2)(4)
+++=+

Baøi 2. Thực hiện các phép toán sau:
a)
iii
(57)(93)(116)
+
b)
iii
(4–)(23)–(5)
+++
c)
iii
17(4)(13)
-++

d)
iii
(27)(14)(12)
-++-+-
e)
(
)

ii
æö

ç÷
èø

Baøi 3. Thực hiện các phép toán sau:
a)
ii
(23)(3)
-+
b)
ii
(25)(48)
-++
c)
ii
(4)(36)
+-

d)
iii
(27)(4)(12)
+
e)
iii
(27)(4)(113)
-+
f)
i

-

n)
3
1
3
2
i
æö
-
ç÷
èø
o) i
3
13
22
æö
+
ç÷
èø
p) i
3
13
22
æö
-+
ç÷
èø

Baøi 4. Thực hiện các phép toán sau:

i
(3)(26)
1
++
-
f)
)1)(21(
3
ii
i
+-
+

g)
ii
ii
(12)(4)
(1)(43)
+-+
-+
h)
iii
i
(2)(1)(43)
32
+++-
-
i)
i
iii
n)
mi
m
o)
aia
aia
-
+
p)
ai
bia +

Baøi 5. Thực hiện các phép toán sau:
a)
100
(1)
i
- b) ii
20092009
(1)(1)+ c) ii
20102010
(1)(1)+
d)
ii
ii
2
3
(32)(1)

b)
zi
iz
1
+
-
c)
zi
zi
+
-

Baøi 7. Phân tích thành nhân tử, với a, b
Î
R:
a)
2
1
a
+
b)
2
23
a
+
c)
42
49
ab
+

Baøi 8. Tìm căn bậc hai của số phức:
a)
143
i
-+
b)
465
i
+
c)
126
i

d)
512
i
-+

e)
86
i
+
f)
724
i
-
g)
4042
i
-+

·
Sử dụng cách giải phương trình bậc 2.

Baøi 1. Giải các phương trình sau (ẩn z):
a)
izi
(45)2
-=+
b)
izi
3
(43)(2)
+=-
c)
i
i
z
i
i
+
+
-
=
-
+
2
31
1
2



g)
iii
z
iii
11515
3131
æö
+
+=
ç÷
-+-
èø
h)
izii
2
(32)()3
-+=
i) 0
2
2
=+ zz
k) 0
2
=+ zz l)
23112
zzi
-=- m)
218
zzi

èø

Baøi 2. Giải các phương trình sau (ẩn z):
a)
zz
2
3.10
-+=
b)
zz
2
32.23.20
-+=
c)
zz
2
320
-+=

d)
zz
2
3210
-+-=
e)
z
2
7 0
+=
f)

-=
c)
zz
42
560
=

d)
zz
42
780
+-=
e)
zz
42
890
=
f)
zz
4
4770
+-=

g)
zzz
43
881
+=+
h)
zzz

++++=
e) xix
2
(23)0
+-=
f)
2
.2.40
+-=
ixix
g)
xixi
2
2(2)1840
++=
h) xixi
2
(13)2(1)0
+ +=
i)
xix
2
210
-+=

k) ixxi
2
(1)2(113)0
+=
l)

e)
zzzzz
5432
10
+++++=
f) zizz
2
(3)(25)0
+-+=

g)
32
235330
zzzi
-++-=
h) zizi
42
8(1)63160
+-=

Số phức Trần Sĩ Tùng
Trang 106

i) zizi
2
(3)6(3)130
+ +-+=
k)
zizi
42

23
i
a=
e)
32
i
a=-
f)
i
=-
a

g)
(2)(3)
ii
=+-
a
h)
51804538
234
iiii
=+++
a
i)
5
2
i
i
+
=

zz
12
,
là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của các biểu thức sau:

22
12
Azz
=+
,
22
1212
Bzzzz
=+,
12
21
zz
C
zz
=+
:
a)
zz
2
10
++=
b)
zz
2
320

2
(1)2(113)0
+=

Baøi 10. Giải các hệ phương trình sau:
a)
zzi
zzi
12
22
12
4
52
ì
+=+
ï
í
+=-
ï
î
b)
zzi
zzi
12
22
12
.55.
52.
ì
=

1
1
ì
++=
ï
++=
í
ï
=
î
e)
z
zi
z
z
125
83
4
1
8
ì
-
=
ï
-
ï
í
-
ï
=

12
12
52
4
ì
ï
+=+
í
+=-
ï
î
h)
ziz
ziz
2
1
ì
-=
ï
í
-=-
ï
î
i)
zzzz
zzi
22
1212
12
40

î
c)
4
74
xy
xyi
ì
+=
í
=+
î

d)
22
1111
22
12
i
xy
xyi
ì
+=-
ï
í
ï
+=-
î
e)
22
6

xyi
xyi
ì
+=-
í
+=+
î
h)
33
1
23
xy
xyi
ì
+=
í
+=
î
i)
xyi
xyi
22
52
4
ì
+=+
í
+=-
î


-=-
f) z
31
+=

g)
zizi
23
+=
h)
zi
zi
3
1
-
=
+
i) zi
12
-+=

k)
ziz
2
+=-
l) z
11
+<
m) zi
12

-
là một số thuần ảo d)
zi
zi
+
-
là một số thực dương
e)
zi
2
()
-
là một số thực dương f)
zi
2
(1)
-+
là một số thuần ảo
g) z
3
£
và phần thực lớn hơn 1 h) z
3
£
và phần thực nhỏ hơn –2
i) Phần thực của z nhỏ hơn 3 k) Phần ảo của z lớn hơn 5. VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức
Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.

ii++ b)
5cos.sin.3cos.sin
6644
ii
æöæö
pppp
++
ç÷ç÷
èøèø

c)
(
)
(
)
3cos120sin120cos45sin45
++
oooo
ii d) 5cossin3cossin
6644
æöæö
++
ç÷
ç÷
èø
èø
pppp
ii
e)
(

+
+
oo
oo

i)
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
pp
pp
i
i
+
+
k)
22
2cossin
33
2cossin
22

i
2
2
1
+
g)
j
j
cos.sin i
+
h)
22
i
+

i)
13
i
+ k)
3
i
-
l)
30
i
+
m)
5
tan
8

i
ii
+
+-
f)
1
i

g)
1
21
i
i
+
+
h)
( )
60
13
i-+ i)
40
7
13
(22).
1
i
i
i
ổử
+

ốứ
pp
m)
( )
17
1
3
i
-

Baứi 5. Tớnh:
a)
( )
5
cos12 sin12
oo
i+ b)
( )
16
1
i
+ c)
6
)3( i-
d)
( )
7
00
2cos30sin30i
ộự

1
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+ i i)
2008
1
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
i
i

k)
57
(cossin).(13)
33
iii
pp
-+ l)
2008
Trần Sĩ Tùng Số phức
Trang 109
Baøi 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(2)(32)(54)
iii
+-

èøèø

e)
(24)(52)(34)(6)
iiii
-+++
f)
571310094
()()()
iiiii

-+-++-
g)
200019992018247
iiiii
++++
h)
232009
1
iiii
+++++

i)
232000
iiii
k)
2
1 ,(1)
n
iiin

22
12
22
23
zz
zz
+
+

Baøi 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
432
(12)313,23
Azizizzivôùizi
=+-++++=+

b)
( )
Bzzzzzvôùizi
232
1
(2)(2),3
2
=-+-+=-

Baøi 4. Tìm các số thực x, y sao cho:
a)
(12)(12)1
ixyii
-++=+

d)
724
i
-

e)
2
1
1
i
i
æö
+
ç÷
-
èø
f)
2
13
3
i
i
æö
-
ç÷
ç÷
-
èø
g)
12

b) –27 c)
22
i
+
d)
186
i
+

Baøi 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:
a)
212
i-
b)
3
i
+
c)
2
i
-
d)
724
i
-+

Baøi 8. Giải các phương trình sau:
a)
3
1250

(2)20
zizi
+-+-=

Baøi 9. Gọi
12
;
uu
là hai căn bậc hai của
1
34
zi
=+
và
12
;
vv
là hai căn bậc hai của
2
34
zi
=-
. Tính
12
uu
+
12
vv
++
?

-+-=
f)
2
3 2 3 0
zz
-+=

g)
()()0
zzzz
+-=
h)
2
20
zz
++=
i)
2
2
zz
=+

k)
2323
zzi
+=+
l)
( ) ( )
2
2+2230

zizi
æö
++
-+=
ç÷

èø
b)
( )( )
(
)
2
5330
zizzz
+-++=

c)
(
)
(
)
22
26 2160
zzzz
+-+-=
d)
( ) ( )
32
1330
zizizi

k) zizi
2
(cossin)cossin0
-j+j+jj=

Baøi 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) xixi
2
(34)510
-++-=
b)
xixi
2
(1)20
++ =
c)
2
320
xx
++=

d)
2
10
xx
++=
e)
3
10
x

có ít nhất một nghiệm thực
Baøi 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho
(2)()
zzi
-+
là số thực.
Baøi 17. Giải các phương trình trùng phương:
a) zizi
42
8(1)63160
+-=
b)
zizi
42
24(1)3081440
+-=

c)
42
6(1)560
zizi
++++=

Baøi 18. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình:
(
)

ç÷ç÷
èøèø
e)
33
2112
zzzz
+ f)
12
21
zz
zz
+

Baøi 19. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình:
2
10
xx
-+=
. Tính giá trị của các biểu
thức sau:
a)
20002000
12
xx+ b)
19991999
12

Szzzz
-
=++++
biết rằng
22
cossinzi
nn
pp
=+ .
Baøi 22. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: