Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 84
1. Khái niệm tích phân
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
()
b
a
fxdx
ò
.

()()()
b
a
fxdxFbFa
=-
ò

· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

()()() ()()
bbb
aaa
fxdxftdtfuduFbFa
====-
òòò


=
òò
(k: const)
·
[ ]
()()()()
bbb
aaa
fxgxdxfxdxgxdx
±=±
òòò
·
()()()
bcb
aac
fxdxfxdxfxdx
=+
òòò

· Nếu f(x)
³
0 trên [a; b] thì
()0
b
a
fxdx
³
ò

· Nếu f(x)

a
aa
udvuvvdu
=-
òò

Chú ý:
– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b
a
vdu
ò
dễ tính hơn
b
a
udv
ò
. II. TÍCH PHÂN
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 85

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:

()()()

ò
c)
ò
-
2
1
2
1
dx
x
x

d)
2
2
1
2
x
dx
x
-
+
ò
e)
(
)
ò
-
-
+

ò
h)
( )
xxxxdx
2
2 3
1
++
ò
i)
( )
ò
-+
4
1
43
42 dxxxx

k)
2
2
3
1
2
xx
dx
x
-
ò
l)

1
xdx
+
ò
b)
dx
xx
5
2
22
++-
ò
c)
x
dx
x
2
2
0
2
+
ò

d)
x
dx
x
2
2
0

p
æö
+
ç÷
èø
ò
b)
xxxdx
2
3
(2sin3cos)
p
p
++
ò
c)
( )
xxdx
6
0
sin3cos2
p
+
ò

d)
4
2
0
tan.

x
+
ò
p
h)
2
0
1cos
1cos
x
dx
x
-
+
ò
p
i)
2
22
0
sin.cos
xxdx
ò
p

k)
3
2
6
(tancot)

m)
4
4
0
cos
xdx
ò
p

Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a)
1
0
dx
xx
xx
ee
ee
-
-
-
+
ò
b)
2
2
1
(1).
ln
xdx

1
+
ũ
e)
x
x
e
edx
x
2
1
1
-
ổử
-
ỗữ
ốứ
ũ
f)
x
x
e
dx
1
0
2
ũ

g)
x

ln
ũ
l)
x
xedx
2
1
0
ũ
m)
1
0
1
1
x
dx
e+
ũVN 2: Tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin s
Dng 1: Gi s ta cn tớnh
()
b
a
gxdx
ũ
.
Nu vit c g(x) di dng:
[

[ ]
()()'()()
bb
aa
fxdxfxtxtdtgtdt
==
ũũũ
b
a

[
]
(
)
()().'()
gtfxtxt
=
Dng 2 thng gp cỏc trng hp sau:
Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau (i bin s dng 1):
a)
ũ
-
1
0
19
)1( dxxx
b)

1
2
0
1
xxdx
-
ũ
f)
1
32
0
1
xxdx
-
ũ

g)
ũ
+
32
5
2
4xx
dx
h)
ũ
+
+
3
0

p

22
ax
+
hoc
ax
22
1
+

tan,
22
xatt
=-<<
pp

hoc cot,0xatt
=<<
p

22
xa
-{}
,;\0
sin22
a

edx
e
ln3
3
0
1
+
ò
l)
ò
+
e
x
dxx
1
2
ln2
m)
ò
+
e
dx
x
xx
1
lnln31

n)
ò
+

p
dx
xx
x

Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
a)
ò
-
2
1
0
2
1 x
dx
b)
ò
-
1
0
2
2
4 x
dxx
c)
ò
-
2
1
22

1
22
dx
xx
-
++
ò
h)
ò
-
2
1
3
2
1
dx
x
x
i)
( )
ò
+
1
0
5
2
1 x
dx

k)


VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
4
0
2sin
p
xdxx b)
ò
+
2
0
2
cos)sin(
p
xdxxx c)
ò
p
2
0
2
cos xdxx

d)
xxdx

h)
dxxx
e
ò
1
ln
i)
ò
-
3
2
2
)ln( dxxx

k)
ò
2
0
3
5sin
p
xdxe
x
l)
ò
2
0
cos
2sin
p

)1(
0
1
3
2
ò
-
++
().
b
x
a
Pxedx
ò
().cos
b
a
Pxxdx
ò
().sin
b
a
Pxxdx
ò

b
a

b)
xxdx
2
2
0
-
ò
c)
xxdx
2
2
0
23
+-
ò

d)
xdx
3
2
3
1
-
-
ò
e)
( )
xxdx
5
2

1
4
xdx
-
-
ò

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a)
ò
-
p
2
0
2cos1 dxx
b)
0
1sin2.
xdx
p
-
ò
c)
xdx
2
2
sin
p
p
-

xxdx
+-
ò
p
p
h)
3
3
2
coscoscos
xxxdx
-
-
ò
p
p
i)
2
0
1sin
xdx
+
ò
pVẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:

1
0
3
21
dx
x
x
e)
( )
ò
-
3
2
9
2
1 x
dxx
f)
ò
+
4
1
2
)1( xx
dx

g)
ò
-
4

0
32
2
1
2699
32
xxx
dx
xx
-
-++
-+
ò
l)
3
2
3
2
333
32
xx
dx
xx
++
-+
ò
m)
1
2
3

x
c)
ò
+
+++
2
0
2
23
4
942
dx
x
xxx

d)
1
22
0
1
(2)(3)
dx
xx++
ò
e)
1
3
2
0
1

2
2008
2008
1
1
(1)
x
dx
xx
-
+
ò
i)
3
4
22
2
(1)
x
dx
x -
ò

k)
2
2
0
1
4
dx

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
0
1
1
x
dx
x
+
-
ò
b)
ò
+
+
3
7
0
3
13
1
dx
x
x
c)

2
1
11
dx
x
x

g)
ò
++
1
0
1 xx
dx
h)
ò
++
1
0
2
3
1
dx
xx
x
i)
ò
+
2
0

+
ò

n)
23
2
5
4
dx
xx
+
ò
o)
2
3
2
2
1
dx
xx
-
ò
p)
2
3
1
1
dx
xx
+

x+
ò

d)
2
2
1
2008
xdx
+
ò
e)
3
32
0
10
xxdx
-
ò
f)
1
2
0
1
xdx
+
ò

g)
1

23
0
(1)
dx
x-
ò
l)
2
2
2
2
0
1
xdx
x
-
ò
m)
5
4
2
1
1248
xxdx

ò

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
2

2
6
35
0
1cossincos
xxxdx
-
ò
p
e)
2
0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
+
+
ò
p
f)
3
0
cos
2cos2
xdx
x
+
ò

2
0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
p
+
+
ò

Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a)
ln3
0
1
x
dx
e
+
ò
b)
ln2
2
0
1
x
x
edx

-
++
ò
f)
ln2
3
0
(1)
x
x
edx
e +
ò

g)
ln3
0
(1)1
x
xx
e
dx
ee+-
ò
h)
1
0
x
xx
e

p
xdx c)
dxx
ò
p
0
2
sin

d)
ò
2
0
3
sin
p
xdx e)
2
33
0
(sincos)
xxdx
+
ò
p
f)
xdx
2
0
cos3

2
0
cos31
sin
p
dx
x
x
l)
dx
x
2
0
1
cos1
p
+
ò
m)
ò
+
2
0
cos1
cos2sin
p
dx
x
xx


p
ò

q)
3
2
2
0
sin
1cos
x
dx
x
+
ò
p
r)
4
3
0
tan
xdx
ò
p
s)
p
ò
3
4
0

3
4
2
cos1cos
tan
p
p

d)
2
44
0
cos2(sincos)
xxxdx
+
ò
p
e)
ò
+
4
0
sin
)cos(tan
p
dxxex
x
f)
( )
dxxx

+
ò
i)
3
22
3
1
sin9cos
dx
xx
p
p
-
+
ò

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
2
3
1
sin
dx
x
ò
p
p
b)
2
0

2
0
1
2sin
dx
x
+
ò
p
f)
2
0
sin
2sin
x
dx
x
+
ò
p

g)
2
0
1
sincos1
dx
xx++
ò
p

2
2
0
(1sin)cos
(1sin)(2cos)
xx
dx
xx
-
+-
ò
p
l)
p
p
p
æö
+
ç÷
èø
ò
3
4
sincos
4
dx
xx
m)
p
p

c)
ò
3
0
2
cos
p
dx
x
x

d)
2
3
0
sin
xdx
ò
p
e)
2
2
0
cos
xxdx
ò
p
f)
2
21

(21)cos
xxdx
-
ò
p

k)
22
0
sin
x
exdx
ò
p
l)
4
2
0
tan
xxdx
ò
p
m)
2
0
sincos
xxxdx
ò
p


VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
ò
+
1
0
1
x
x
e
dxe
b)
ò
+
2ln
0
5
x
e
dx
c)
1
0
1
4
x
dx

2ln
0
1
1
dx
e
e
x
x

g)
2
1
1
1
x
dx
e
-
-
ũ
h)
2
2
0
1
x
x
e
dx

1
x
x
e
dx
e
-
-
+
ũ
m)
ln3
0
1
1
x
dx
e +
ũ

Baứi 2. Tớnh cỏc tớch phõn sau:
a)
ũ
2
0
sin
p
xdxe
x
b)

f)
2
1
1ln
e
x
dx
x
+
ũ

g)
2
lnln(ln)
e
e
xx
dx
x
+
ũ
h)
ũ
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố

x
ũ
l)
3
2
6
ln(sin)
cos
x
dx
x
ũ
p
p
m)
1
0
ln(1)
1
x
dx
x
+
+
ũVN 9: Mt s tớch phõn c bit
Dng 1. Tớch phõn ca hm s chn, hm s l


Ifxdxfxdxfxdx

==+
ũũũ

0
0
();()
a
a
JfxdxKfxdx
-
ổử
ỗữ
==
ỗữ
ốứ
ũũ

Bc 2: Tớnh tớch phõn
0
()
a
Jfxdx
-
=
ũ
bng phng phỏp i bin. t t = x.
Nu f(x) l hm s l thỡ J = K
ị

0
()()()
111
xxx
fxfxfx
Idxdxdx
aaa

==+
+++
ũũũ
aa
aa

0
0
()()
;
11
xx
fxfx
JdxKdx
aa
-
ổử
ỗữ
==
ỗữ
++
ốứ

Dng 4. Nu f(x) liờn tc v
()()
fabxfx
+-=
hoc
()()
fabxfx
+-=-

thỡ t: t = a + b x
c bit, nu a + b =
p
thỡ t t =
p
x
nu a + b = 2
p
thỡ t t = 2
p
x
Dng 5. Tớnh tớch phõn bng cỏch s dng nguyờn hm ph
xỏc nh nguyờn hm ca hm s f(x) ta cn tỡm mt hm g(x) sao cho nguyờn hm
ca cỏc hm s f(x)

g(x) d xỏc nh hn so vi f(x). T ú suy ra nguyờn hm ca f(x).
Ta thc hin cỏc bc nh sau:
Bc 1: Tỡm hm g(x).
Bc 2: Xỏc nh nguyờn hm ca cỏc hm s f(x)

g(x), tc l:

cos
xxxx
dx
x
-
-+-+
ũ
p
p
b)
( )
p
p
-
++
ũ
2
2
2
cosln1
xxxdx
c)
1
2
1
2
1
cos.ln
1
x

f)
1
4
2
1
sin
1
xx
dx
x
-
+
+
ũ

g)
5
2
2
sin
1cos
x
dx
x
-
+
ũ
p
p
h)

4
1
21
x
x
dx
-
+
ũ
b)
1
2
1
1
12
x
x
dx
-
-
+
ũ
c)
1
2
1
(1)(1)
x
dx
ex

1
2
1
(41)(1)
x
dx
x
-
++
ũ

g)
2
2
sinsin3cos5
1
x
xxx
dx
e
-
+
ũ
p
p
h)
66
4
4
sincos

cossin
n
nn
x
dx
xx
+
ũ
p
(n
ẻ
N
*
) b)
7
2
77
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ũ
p
c)
2
0
sin

cossin
x
dx
xx
p
+
ò
f)
4
2
44
0
sin
cossin
x
dx
xx
p
+
ò

Baøi 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):
a)
2
0
.sin
4cos
xx
dx
x

p

d)
4
0
ln(1tan)
xdx
+
ò
p
e)
2
3
0
.cos
xxdx
ò
p
f)
3
0
.sin
xxdx
ò
p

g)
0
1sin
x

sin4ln(1tan)
xxdx
+
ò
p
l)
2
0
sin
94cos
xx
dx
x
+
ò
p
m)
4
0
sincos
xxxdx
ò
p

Baøi 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
2
0
sin
sincos

2
0
cos
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
e)
4
2
44
0
sin
sincos
x
dx
xx
+
ò
p
f)
4
2
44
0
cos
sincos

+
ò
p
i)
2
2
0
2sin.sin2
xxdx
ò
p

k)
2
2
0
2cos.sin2
xxdx
ò
p
l)
1
1
x
xx
e
dx
ee
-
-

1
x
xx
e
dx
ee
-
-
-
+
ò
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
Giả sử cần tính tích phân
(,)
b
n
a
Ifxndx
=
ò
(n
Î
N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta
thường gặp một số yêu cầu sau:

·
Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn I

=
ò
p
· Đặt
1
sin
sin.
n
ux
dvxdx
-
ì
=
í
=
î

b)
2
0
cos
n
n
Ixdx
=
ò
p
· Đặt
1
cos


=+-
d)
2
0
cos.
n
n
Ixxdx
=
ò
p

·
Đặt
cos.
n
ux
dvxdx
ì
=
í
=
î2
0
sin.
n

n
x
ux
dvedx
ì
ï
=
í
=
ï
î

f)
1
ln.
e
n
n
Ixdx
=
ò

·
Đặt
ln
n
ux
dvdx
ì
=

=
í
=
î

h)
1
2
0
(1)
n
n
dx
I
x
=
+
ò

·
Phân tích
22
222
11
(1)(1)(1)
nnn
xx
xxx
+
=-

+
î

i)
1
0
1.
n
n
Ixxdx
=-
ò

·
Đặt
1.
n
ux
dvxdx
ì
ï
=
í
=-
ï
î

k)
4
0

Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 96
1. Diện tích hình phẳng
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
là:
()
b
a
Sfxdx
=
ò
(1)
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
là:
()()
b
a
Sfxgxdx
=-
ò
(2)
Chú ý:

++
òòò

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

·
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.

()()
d
c
Sgyhydy
=-
ò

2. Thể tích vật thể
· Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm
các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (a
£
x
£
b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là:
()
b
a

Vgydy
=
ò
pVẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng

Baøi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) yxxyxx
2
45,0,2,4
= ==-=
b)
ln1
,0,,
x
yyxxe
xe
====

c)
1ln
,0,1,
x
yyxxe
x
+
====
d)

-
h)
1
lg,0,,10
10
yxyxx
====

Baøi 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
31
,0,0
1
x
yyx
x

===
-
b)
,2,0
yxyxy
==-=

c)
,2,1
x
yeyx
===
d)

i)
2
2,2210,0
yxxyy
=++==
k)
22
65,43,315
yxxyxxyx
=-+-=-+-=-

Baøi 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
1
,,0,
yxyyxe
x
====
b)
sin2cos,3,0,
yxxyxx
=-===p

c)
2
5,0,3,0
x
yyyxx
-
===-=

===

Baøi 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
22
4,2
yxyxx
=-=-
b)
2
43,3
yxxyx
=-+=+

c)
22
11
,3
42
yxyx
==-+
d)
2
2
1
,
2
1
x
yy