Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T
I. Đặt vấn đề
Trong công tác thiết kế công trình giao thông thờng hay gặp các bài toán thiết
kế tối u nh cần xác định các tham số của kết cấu xây dựng tối u theo tiêu chuẩn
khối lợng vật liệu, giá thành... Về tổng quát có thể nêu dạng bài toán thiết kế tối
u nh sau:
Xác định giá trị các biến độc lập (Các thông số độc lập của kết cấu): x1,
x2, x3 ... xn
Sao cho khi đó hàm mục tiêu của kết cấu
F = F (x1,x2, x3 ... xn)
là hàm phi tuyến của các biến độc lập có thể đạt giá trị cực tiểu (Hay cực
đại) với điều kiện các biến x1, x2, ... xn chỉ nhận các giá trị dơng, tức là:
xj >0 với j = 1... n
và thoả mãn các điều kiện ràng buộc cho dới dạng phi tuyến của các biến trên:
Ri = R(x1, x2, ... xn) <= 0; i = 1 ... n; n<m
Tổ hợp bao gồm các công thức xác định nên tập hợp các giá trị thông số
thiết kế x1, x2 ... xn và xác định tất cả các đặc tính của chúng, trong đó có giá
trị các ràng buộc và hàm mục tiêu, đợc gọi là mô hình toán học của đối tợng
thiết kế.
II. Bài toán
Đặt bài toán tối u hoá nh sau:
Xác định các thông số kích thớc hình học của dầm BTCT thờng mặt cắt
chữ T, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tải và hoạt tải rải đều, thoả mãn các điều
kiện về cờng độ biến dạng chung và các yêu cầu về cấu tạo, có giá thành vật
liệu nhỏ nhất.
Sơ đồ mặt cắt và mô hình toán học theo hình vẽ.
- Hàm mục tiêu:
F = Vb * Gtb + Ga* Gta ===> min
Trong đó:
Vb: Thể tích Bê tông
Ga: Trọng lợng thép

2
Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T
Gradient của hàm F(x) với x = (x
1
, x
2
, .... x
n
) là véc tơ mà các toạ độ
của nó là các đạo hàm riêng của hàm F(x) theo các biểu số

F
F F F
x x x
n
= ( , ,....... )
1 2
Về mặt hình học giải tích, gradient của hàm mục tiên chính là véc tơ chỉ h-
ớng tăng nhanh nhất giá trị hàm số đó. Nh vậy véc tơ F gọi là véc tơ ngợc
gradient sẽ chỉ ra hớng giảm nhanh nhất giá trị hàm mục tiêu. Nếu di chuyển
trong không gian n chiều của các biến số theo hớng - F (ở lân cận điểm đang
xét) đi một đoạn x nào đó sẽ giảm nhanh hàm mục tiêu hơn là di chuyển theo
bất kỳ hớng nào khác. Nh vậy có thể lợi dụng tính chất này để đề ra các ph-
ơng pháp giải bài toán tối u hoá.
Trong thực tế có thể nhiều hàm F(x) là khả vi nên có thể tính các đạo
hàm riêng F/x
i
. Nh vậy có thể tính gradient tại điểm bất kỳ. Nếu hàm F(x) quá
phức tạp và không thể tính các đạo hàm riêng bằng phơng pháp giải tích thì
có thể dùng phơng pháp sai phân để ớc lợng gần đúng gradient.

+
2
2
( ) ( )
2. áp dụng phơng pháp Gradient để giải bài toán
* Sử dụng phơng pháp Gradient để thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T
theo điều kiện giá thành kết cấu nhỏ nhất, hàm mục tiêu có biến là bc (Chiều
rộng bản cánh) và h (Chiều cao dầm).
* Thuật toán:
- Các công thức áp dụng
M(l/2) = qtt*l
2
/8; [M(l/2)] = Ra*Fa*(ho-a)
3
Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T
F(l/2) = (5/384)*(qtc*l
4
/Eb*Itd);[F(l/2)] = L/400
a = 3*(a
tc
/Ea)*2*Rr
1/2
; [a] = 0.02 cm
Vb=Fb*L;
Ga = fa*a; Fa = M/(Ra*ho*)
Xd = (Fa*a*(n-1)+bs*(h-hc)
2
/2+bc*hc*(h-hc/2))/Ftđ
Yt = h-xd
Ftđ = bc*hc+(h-hc)*bs+Fa*(n-1)

tc
Trong đó
q
tc
bảnthân
= Ftđ*b
q
tc
phủ
= bc*hphủ*phủ
q
tc
sẽ cho với bài toán cụ thể
qtt = q
tcbt
*1.1 + q
tc
phủ
*1.5+q
tc
*(1+à)
- Xét hàm mục tiêu là hàm 2 biến:
F = Vb * Gtb + Ga* Gta = F(x,y)
(Trong đó x=bc, y=h)
Hàm F(x,y) là hàm phi tuyến. Để sử dụng phơng pháp Gradient trên mặt
F(x,y) ta tìm cực tiểu theo hớng có độ dốc lớn nhất, nghĩa là theo hớng ngợc F
.
Nếu F(x,y) có cực tiểu tại (xt,yt) ta có quá trình lặp
Xi+1 = xi - ui*F
(x)