z
Luận văn tốt nghiệp
Đề tài
Thiết kế hệ thống kiểm
tra các quan hệ hình
học trong khơng gian
2D và 3D
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 1
Luận văn tốt nghiệp
MỤC LỤC
PH N II: N I DUNGẦ Ộ 10
Trong phần giới thiệu tơi đã trình bày những nội dung sơ lược mang tính tổng qt của
đề tài. Phần nội dung tơi trình bày chi tiết hơn theo thứ tự logic các vấn đề từ lý thuyết
tốn học đến các thuật tốn chương trình 10
I. LÝ THUY T C S TỐN H CẾ Ơ Ở Ọ 10
V. W = v i i = 1,… ,nớ 14
II. CÁC I T NG HÌNH H C VÀ S T NG QUANĐỐ ƯỢ Ọ Ự ƯƠ 23
• ng th ngĐườ ẳ 23
• ng th ngĐườ ẳ 24
III. CÁC THU T TỐN KI M TRA S T NG QUAN GI A CÁC I T NG HÌNH Ậ Ể Ự ƯƠ Ữ ĐỐ ƯỢ
H CỌ 26
D a vào hình v trên, ta có:ự ẽ 37
SUBJ_LIST: a, 1, b, 2, c, 3, 4, d, 5, 6 37
C s tốn h c:ơ ơ ọ 39
Begin 48
Ax + By + Cz + D = 0 58
Nhiệm vụ thực hiện của đề tài:
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong:
Khơng gian hai chiều (2D)
Khơng gian ba chiều (3D)
Với ngơn ngữ thể hiện trên mơi trường Visual C++.
Đề tài áp dụng các kiến thức về cơ sở tốn học và khơng gian vector trong đồ họa
máy tính, để xây dựng những thuật tốn kiểm tra các quan hệ hình học.
Để dễ dàng hơn tơi xin trình bày một ví dụ điển hình như sau:
Ví dụ: cho đường thẳng a qua hai điểm A và B và đường thẳng b qua hai điểm C
và D trong khơng gian 2D hay 3D thì hai đường thẳng này cũng có những sự tương
quan với nhau, như trùng nhau, cắt nhau với một góc nào đó, chéo nhau (trong khơng
gian 3D), hay song song… Sau khi đưa vào những điều kiện giả thiết ban đầu (Input),
thì chương trình thực hiện và đưa ra kết quả kiểm tra (output) của giả thiết trên là hai
đường thẳng a và b đã tương quan như thế nào với nhau? Cắt nhau một góc bao nhiêu
độ, song song, hay trùng nhau
Đó là về mặt thuật tốn chương trình kiểm tra, đây chỉ mới là một tác vụ thực hiện
của vấn đề này. Với bài tốn như trên nếu chỉ đưa ra được những kết luận với những
dòng thơng điệp thì chúng ta thấy rằng đề tài trở nên q đơn giản khơng phong phú và
hấp dẫn qua ý kiến của người đọc hoặc tham khảo. Một tác vụ cùng đồng thời với bài
tốn trên mà nhiệm vụ của đề tài u cầu thực hiện là khi đưa vào giả thiết bài tốn
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 3
Luận văn tốt nghiệp
chẳng hạn hai điểm A và B với những tọa độ xác định nào đó, qua hai điểm này sẽ
thực hiện vẽ lên một đoạn thẳng qua hai điểm A và B. Từ đó thấy vấn đề một cách trực
quan hơn, hay vẽ ra góc giữa hai đường thẳng, chính với những thể hiện này đề tài trở
nên hấp dẫn phong phú hơn, tất nhiên vấn đề này khơng ít những khó khăn cho người
thực hiện đề tài.
Trong phần nội dung tơi sẽ trình bày chi tiết hơn về đề tài “THIẾT KẾ HỆ
THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC TRONG 2D VÀ 3D“.
II. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC NGƠN NGỮ THỂ HIỆN ĐỀ TÀI
số các hàm trong thư viện các hàm thành viên của OPENGL là đáp ứng được u cầu.
Còn mọi việc thực hiện cài đặt theo lý thuyết đồ họa máy tính như các phép biến hình,
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 4
Luận văn tốt nghiệp
thiết lập chế độ màn hình, khởi tạo đồ họa, setviewport, tạo các Pallette màu, thiết lập
độ sâu hình ảnh, độ phản chiếu hình ảnh, độ tương phản … tất cả do OPENGL hỗ trợ
hầu hết.
OpenGL được định nghĩa là “giao diện phần mềm cho phần cứng đồ họa ”. Thực
chất, OpenGL là một thư viện các hàm đồ họa, được xem là tiêu chuẩn thiết kế cơng
nghiệp cho đồ họa ba chiều.
Với giao diện lập trình mạnh mẽ, OpenGL cho phép tạo các ứng dụng 3-D phức tạp
với độ tinh vi, chính xác cao, mà người thiết kế khơng phải đánh vật với các núi cơng
thức tốn học và các mã nguồn phức tạp. Và do OpenGL là tiêu chuẩn cơng nghiệp, các
ứng dụng tạo từ nó dùng được trên các phần cứng và hệ điều hành khác nhau.
Nhận xét về OPENGL tơi thấy rằng OPENGL là thư viện đồ họa trên WINDOWS
bởi vì ta có thể thấy rằng OPENGL khơng những thực hiện trên ngơn ngữ Visual C++
mà còn có thể cho phép thực hiện trên cả Visual Basis , Borland C++
II. 2. GIỚI THIỆU CÁC HÀM CỦA NGƠN NGỮ ĐƯỢC SỬ DỤNG
a. Các hàm của lớp CDC (Class Device Context)
Trong CDC có rất nhiều hàm thành viên phục vụ cho q trình kết xuất các hình ảnh
ra các thiết bị. Trong phần thực hiện đề tài, tơi xin đưa ra các hàm được sử dụng trong
đề tài
Vẽ điểm:
SetPixel ( int x , int y , int color );
Hàm này thuộc lớp CClientDC trong phần màu sử dụng macro RGB(red,green,blue)
Ví du: Để vẽ một điểm , ta thực hiện như sau:
CClientDC dc( this );
dc.SetPixel (100,100,GRB(0,0,0);
Để thể hiện tọa độ một điểm trong hệ trục tọa độ hai chiều, Visual C++ dùng lớp
CPoint, đối tượng thuộc lớp này được thể hiện bởi hai thành phần x và y. Ví dụ ta khai
CClientDC. Cú pháp vẽ hình Ellipse như sau:
CClientDC dc(this);
dc.ellipse(int x1, int y1, intx2, int y2);
Hàm loan vùng kín:
FloodFill(int x,int y, int color);
Hàm này dùng để tơ màu vùng được giới hạn bởi một đường biên khép kín. Hàm này
thuộc lớp CClientDC có tác dụng tơ màu với màu color tơ hết vùng có tọa độ (x,y) và
một vùng kín bao quanh điểm đó. Cú pháp hàm như sau:
CClientDC dc(this);
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 6
Luận văn tốt nghiệp
dc.FloodFill(x, y, color);
Tạo các đường vẽ:
CreatePen(typeline, width, color);
Để tạo đường vẽ trong các ứng dụng vẽ ta xét hàm CreatePen của lớp Cpen, hàm này có
dạng như sau:
Cpen *pPen=new Cpen;
pPen->CreatePen(typeline, width, color);
Trong đó :
• Tham số typeline là kiểu đường vẽ, nó có giá trị được định nghĩa như sau:
PS-SOLID Đường thẳng đồng nhất.
PS-DASH Đường thẳng gồm các gạch ngang đứt nét.
PS-DOT Đường thẳng gồm các nét chấm đứt.
PS-DASDOT Đường thẳng gồm các gạch ngang chấm đứt.
PS-DASHDOTDOT Đường thẳng gồm các gạch ngang chấm đứt.
PS-NULL Đường thẳng vơ hiệu lực khơng vẽ ra.
PS-INSIDEFRAME Đường thẳng nằm bên trong đường viền.
• Tham số width cho độ rộng của nét vẽ tính bằng pixel.
• Tham số color cho màu vẽ
b. Các hàm trong bộ thư viện OpenGL
Để chỉ sự bắt đầu những đỉnh của một primitive, tham số mode chỉ kiểu các primitive.
Tham số mode có các giá trị sau:
GL_POINTS : chỉ đỉnh được sử dụng là điểm.
GL_LINES : chỉ những đỉnh được dùng để tạo đoạn thẳng.
GL_LINE_STRIP : chỉ những đỉnh được sử dụng tạo đoạn thẳng nhẵn.
GL_TRIANGLES : những đỉnh được sử dụng tạo ra những tam giác.
GL_TRIANGLE_STRIP : những đỉnh được sử dụng tạo ra tam giác có
cạnh nhẵn.
GL_POLYGON : những đỉnh được sử dụng tạo ra đa giác lồi.
glEnd ( )
Hàm trên dùng để chấm dứt danh sách các đỉnh mà nó chỉ rõ primitive được khởi tạo
bởi hàm glBegin.
Ví du: Vẽ đường thẳng từ 2 điểm
glBegin(GL_LINES)
glVertex3f(0.0f, 0.0f, 0.0f);
glVertex3f(50.0f, 50.0f, 50.0f);
glEnd( );
Hàm chỉ ra tọa độ của điểm, đường, đa giác:
glVertex2f (Glfloat x,Glfloat y)
glVertex3f (Glfloat x,Glfloat y,Glfloat z)
Hàm biến đổi tọa độ:
• glLoadIdentity(); thay thế ma trận hiện hành bởi ma trận đơn vị.
• glMultMatrix(); nhân ma trận hiện hành với ma trận được chỉ định.
• gl PopMatrix(void); lấy ma trận hiện hành từ stack.
• glPushMatrix(void); đẩy ma trận hiện hành vào stack.
• glTranslatef (Glfloat x, Glfloat y, Glfloat z); nhân ma trận hiện hành bởi ma
trận tịnh tiến.
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 8
Luận văn tốt nghiệp
• gl Rotatef(Glfloat Angle, Glfloat x, Glfloat y, Glfloat z); nhân ma trận hiện hành
Luận văn tốt nghiệp
PHẦN II: NỘI DUNG
PHẦN II: NỘI DUNG
Trong phần giới thiệu tơi đã trình bày những nội dung sơ lược mang tính tổng
qt của đề tài. Phần nội dung tơi trình bày chi tiết hơn theo thứ tự logic các vấn đề từ
lý thuyết tốn học đến các thuật tốn chương trình.
I. LÝ THUYẾT CƠ SỞ TỐN HỌC
Các lý thuyết cơ sở tốn học được sử dụng cho các thuật tốn trong đề tài
“THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC“ bao gồm:
• Hình học giải tích trong mặt phẳng
• Hình học giải tích trong khơng gian.
Phần lý thuyết cơ sở tốn học này rất cần thiết cho việc thiết kế chương trình thực hiện
việc kiểm tra các quan hệ hình học, khơng gian vector là cơ sở lý thuyết tốn học tất
yếu để xây dựng các cấu trúc đồ họa máy tính.
I.1. Giới thiệu về vector:
I.1. Giới thiệu về vector:
Điểm (point): Mơ tả các vị trí của đồ hình và có nhiều cách để diễn đạt. Trong
hai chiều biểu diễn bằng cách dùng bộ-2 để cho các tọa độ theo hai trục. Hai dạng
thường được áp dụng nhiều đó là dạng Cartesian như (x,y) =(3,4) hay dạng tọa độ cực
(R, θ)=(2.4,45
0
).
Trong khi chúng được định nghĩa một cách đại số theo các thao tác nhất định trên đó,
chúng cũng cho phép một diễn dịch hình học theo các điểm, đường, chiều.
Vector: Nhìn một cách hình học, vector là một đoạn thẳng mà các điểm đầu và
điểm cuối đã được xác định . Vector là một đối tượng có độ dài và chiều tương ứng với
một số thực thể vật lý như lực, khoảng cách, và vận tốc. Vector thường được vẽ như
một mũi tên có chiều dài chỉ về một hướng.
Khi vector được chọn để chỉ định hệ tọa độ, các vector có một hàm số để đưa ra hai
hằng số, ba hằng số, Vì thế, một trong các thể hiện của một vector hai chiều a là một
(x
2
,y
2
) ta định nghĩa vector v với các thành phần là
vector v =(x
2
-x
1
, y
2
-y
1
). Đơi khi vector này được ghi là P
1
P
2
và gọi là vector từ P
1
đến
P
2
. Bản thân vector khơng bị buộc vào một vị trí, mặc dù để dễ hình dung thường vẽ
chúng xuất phát từ một điểm. Với điểm bất kỳ P = (P
x
, P
y
) trong một hệ tọa độ, vector
đi từ gốc tọa độ với các tọa độ v=(P
x
n
+ b
n
)
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 11
x
P
2
v
P
4
P
3
v
P
1
y
P
5
Hình a
Hình b
a
a-c
c
-c
Luận văn tốt nghiệp
Hình a: Các thành phần của tổng là tổng các thành phần của các vector tham gia.
Hình b: Tổng các vector là đường chéo hình bình hành.
Procedure AddVectors( vector a, vector b; vector &c );
{
Phép trừ hai vector:
Trên cơ sở cộng và định tỷ lệ, phép trừ dễ dàng định nghĩa:
a-c = a +(-c)
với thành phần thứ i là ai-ci.
Trị tuyệt đối (độ dài) của vector
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 12
Luận văn tốt nghiệp
Nếu một vector W được thể hiện trong khơng gian nhiều chiều (W
2
, W
2
, …, W
n
),
dựa theo định lý Pithagore ta có cơng thức sau:
) (
22
2
2
1 n
WWWW +++=
Vector có độ dài bằng zero thường được gọi là vector 0. Chương trình con minh họa
như sau: Function Length(vector v): Real;
•
Chuẩn hóa vector -Vector đơn vị
Việc định tỷ lệ một vector để kết qủa có độ dài bằng 1 gọi là chuẩn hố một
vector, và kết qủa gọi là vector đơn vị. Ví dụ dạng chuẩn hố u
a
của a như sau:
u
+ a
2
V
2
+ …+ a
m
V
m
Procedure Combo2D(float a,b vector u,v ,vector &W );
{
w.dx:=a*u.dx+b*v.dx;
w.dy:=a*u.dy+b*v.dy;
}
• Tổ hợp lồi của vector
Một lớp đặc biệt của tổ hợp tuyến tính có vị trí quan trọng trong tốn học và ứng
dụng số học trong đồ họa, đó là:Tổ hợp lồi (convex combination), hay tổ hợp tuyến tính
mà các hệ số khơng âm và tổng bằng 1. Vậy tổ hợp tuyến tính:
W = a
1
V
1
+ a
2
V
2
+ … +a
m
V
m
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 13
b
2
Một cách tổng qt cho vector n chiều như sau: Cho Vector V= (v
1
, v
2
, …, v
n
) và W=(
w
1
, w
2
, …, w
n
), tích vơ hướng củahai vector trên là:
V. W =
i
i
V
∑
W
với i = 1,… ,n
Tích vơ hướng của hai vector được thể hiện trong thủ tục sau:
Procedure Float Dot (vector a,b)
{
return Dot = a.d
x
* b.d
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 14
a.b>0 a.b=0 a.b<0
a
a
a
b
b
b
Luận văn tốt nghiệp
Đây là ứng dụng quan trọng của tích vơ hướng. Hình a dưới cho thấy góc θ giữa
hai vector a và b. Các vector này có thể có hai, ba, hay nhiều chiều. Chúng tạo thành
hai cạnh của tam giác, và cạnh thứ ba là a-b. Theo hệ thức lượng trong tam giác, ta có :
| a-b|
2
= |a|
2
+ |b|
2
- 2 |a||b|cos(θ)
Từ phương trình này và phương trình
| a-b|
2
= |a|
2
- 2ab + |b|
2
ta suy ra được: a.b = |a||b| cos(
θ
)
Nghĩa là cos(
) = u
a
.u
b
ta có góc giữa hai vector như sau:
Nhỏ hơn 90
o
nếu a.b >0
Bằng 90
0
nếu a.b = 0
Lớn hơn 90
o
nếu a.b < 0
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 15
a
b
Hình a
c
a
e
b
x
y
Luận văn tốt nghiệp
|b|
2
Ví dụ: trong hai chiều, chiếu của a = (6,4) lên b = (1,2) như hình dưới
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 16
Luận văn tốt nghiệp
Hình chiếu của c nằm dài hơn b kể từ gốc, từ phương trình trên ta có độ dài của
c là (2.8, 5.6), vector e = a-c = (3.2, -1.6 ).
c. Dạng điểm chuẩn cho đường và mặt phẳng
Dạng điểm chuẩn cho đường và cho mặt phẳng dùng nhiều trong đồ họa như việc
cắt loại bỏ đường bị che và tơ đa giác.
Xét đường L đi qua điểm A = (A
x ,
A
y
) theo chiều vector c = (c
x
,c
y
), ta có vector
n vng góc với vector c nghĩa là c.n = 0, cũng có nghĩa là c
x
.n
x
+ c
y
.n
y
=0, hay:
n
x
x + n
y
y = D
• Mở rộng dạng điểm cho mặt phẳng
Các mặt phẳng cũng có thể biểu diễn ở dạng chuẩn điểm. Một mặt phẳng hồn
tồn được xác định với một điểm S = (s
x
, s
y
, s
z
) nằm trong đó và hướng chuẩn của mặt
phẳng. Chuẩn cho mặt phẳng được hiểu là vng góc với mọi đường trong mặt phẳng.
Gọi hướng chuẩn là n= (n
x
, n
y
, n
z
). Với điểm R= (x, y, z) bất kỳ trong mặt phẳng, xây
dựng vector từ R đến S, vng góc với n.
n.(R-S) = 0
Thay R-S bằng r -s và dùng tính tuyến tính, ta được:
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 17
A
c
n
L
Góc
ϕ
giữa n và
Q -A < 90
0
, nếu Q nằm phía ngồi, vì vậy tích n.(Q - A) > 0. Tương tự, góc
ϕ
sẽ lớn
hơn 90
0
nếu Q nằm phía trong, vì vậy n.(Q -A) < 0. Cuối cùng,
ϕ
= 90
0
nếu Q nằm trên
E, và n .(Q - A) = 0. Nếu thay Q -A bằng vector q - a và gọi đặt a.n = D, thì đường E
được cho bởi phương trình n.p = D, và ta viết lại thủ tục kiểm tra điểm Q với vector
biểu diễn q sẽ nằm:
1. Ở nửa khơng gian phía ngồi của E nếu q.n > D.
2. Trên E nếu p.n = D.
3. Ở nửa khơng gian phía trong của E nếu q.n < D.
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 18
S
n
ϕ
n
E
E
A
inside
out
để giữ lại vùng của t mà đoạn có thể nằm trong cửa
sổ. Nghĩa là khơng thể thấy đoạn ở ngồi khoảng (t
in
, t
out
). Giá trị bắt đầu cho t
in
và t
out
là 0 và 1. Khoảng này liên tục được cắt xén khi xử lý xong mỗi cạnh. Nếu lúc nào
khoảng này thành rỗng, thốt ra khỏi thuật giải cắt, và đoạn L hồn tồn bị cắt. Còn
khơng thì khoảng (t
in
, t
out
) xác định phần của L nằm trong cửa sổ. Vì W lồi, mỗi cạnh
E của nó có thể cho là đường cho ở dạng điểm chuẩn:
n.p = D
Với n là chuẩn hướng ra của cạnh. Bây giờ E có thể có một số tình huống so với
đường L.
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 19
w
L
P
P
P
P
P
P
in
được gán là ti(nếu t
in
< ti). Ngược lại, thì phần với t > ti sẽ khơng thấy được, và t
out
được giảm về ti(nếu ti
< t
out
). Khi kết thúc, giá trị của t
in
và t
out
sẽ được thay vào P
1
+ ct, để có được các
điểm đầu của đường bị cắt.
Tích hai vector
Tích vector của hai vector là một vector. Một trong nhiều tính chất hữu dụng của nó
là nó trực giao với hai vector ban đầu. Tích vector chỉ được định nghĩa cho vector ba
chiều, nhưng nó cũng áp dụng trong một số vấn đề trong đồ họa liên quan đến đa giác
hai chiều.
Cho vector a=(a
x
, a
y
, a
z
) và b=(b
x
).k
• Từ định nghĩa suy ra các tính chất đại số sau:
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 20
Luận văn tốt nghiệp
1. i x j = k
j x k = i
i x k = j
2. a x b = -b x b
3. a x (b + c) = a x b +a x c
4. (sa) x b = s(a xb)
• Ý nghĩa hình học của tích vector:
1. ax b trực giao với cả a và b.
2. Độ dài a x b bằng diện tích hình bình hành xác định bởi a và b. Diện
tích này là:
|a x b| = |a||b|sin(
ϕ
)
với
ϕ
là góc giữa a và b, đo từ a đến b hay ngược lại miễn sao góc nhỏ
hơn 180
0
.
3. Chiều của a x b xác định từ quy tắc bàn tay phải khi làm việc trong hệ
tay phải.
Tích bộ ba vơ hướng
Cho ba vector a, b, c kết hợp chúng cho ra số vơ hướng như sau:
S = a.(b x c) = a
x
Tích bộ ba vơ hướng có ý nghĩa hình học đơn giản. Giá trị của nó là thể tích của khối
lăng trụ tạo bởi các vector a,b, c. Dấu của tích bộ ba vơ hướng tùy theo
cos (
ϕ
) dương nếu
ϕ
< 90
0
và âm nếu
ϕ
> 90
0
.
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 21
a x b
Thể tích a x b x c
a
b
c
ϕ
Luận văn tốt nghiệp
Phương trình mặt phẳng
Trong khơng gian, qua 3 điểm A (x
a
, y
a
, z
a
), B(x
, y
c
-y
a
, z
c
-z
a
)
Tích hữu hướng của hai vector AB và AC là pháp vector n của mặt phẳng mp(ABC).
Vector n có tọa độ như sau:
n = ((y
b
-y
a
)*(z
c
-z
a
) - (y
c
-y
a
)*(z
b
-z
a
),
(z
b
a
))
Nếu chúng ta đặt:
a
1
= (y
b
-y
a
)*(z
c
-z
a
) - (y
c
-y
a
)*(z
b
-z
a
)
b
1
= (z
b
-z
a
)*(x
c
d
1
= - x
a
a
1
- y
a
b
1
- z
a
c
1
thì vector n có thể viết lại như sau: n = (a
1
, b
1
, c
1
)
Phương trình mặt phẳng được xác định theo định thức cấp 3 như sau:
Phương trình mặt phẳng mp(ABC) ở dạng tổng qt:
a
1
X + b
1
Y+ c
1
- y
a
, z
b
-z
a
) là vector chỉ phương của đường thẳng qua hai
điểm A, B (để gọn hơn ta viết vector chỉ phương AB=(a
1
, a
2
, a
3
), phương trình của
đường thẳng có ba dạng như sau:
• Phương trình tham số:
X = a
1
t + x
a
Y = a
2
t + y
a
Z = a
3
t + y
a
• Phương trình dạng chính tắc:
1
( y - y
a
)
a
1
(z - z
a
) = a
3
( x - x
a
)
Hệ phương trình trên tương đương với hệ phương trình sau:
a
2
x - a
1
y + 0 + a
1
y
a
- a
2
x
a
= 0
a
3
x + 0 - a
a. Điểm - Đường thẳng
Kiểm tra điểm có thuộc đường thẳng?
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng nếu điểm khơng
thuộc đường thẳng.
b. Điểm - Đa giác
Kiểm tra điểm bên trong hay bên ngồi đa giác?.
c. Đường thẳng - Đường thẳng
Kiểm tra hai đường thẳng trùng nhau, cắt nhau hay song song.
Tính góc giữa hai đường thẳng.
Tính hình chiếu của đoạn thẳng trên đường thẳng.
d. Đường thẳng - Đa giác
Kiểm tra đường thẳng nằm bên trong hay bên ngồi đa giác.
Clip một đoạn thẳng vào đa giác.
e. Đa giác - Đa giác
Kiểm tra sự tương quan giữa hai đa giác.
• Cắt nhau?
• Lồng nhau hay rời nhau?
• Tính diện tích giao nhau của hai đa giác.
Kiểm tra đa giác lồi, lõm.
Tính diện tích của đa giác.
II.2. CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC TRONG 3D
1. Các đối tượng hình học cơ bản:
• Điểm
• Đường thẳng
• Mặt phẳng
2. Sự tương quan giữa các đối tượng hình học:
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 24
Luận văn tốt nghiệp
• Điểm - Đường thẳng.
• Điểm - Mặt phẳng.
Kiểm tra hai mặt phẳng song song?
Kiểm tra hai mặt phẳng vng góc?
Tính góc giữa hai mặt phẳng nếu hai mặt phẳng cắt nhau.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nếu hai mặt phẳng song
song nhau.
Tìm giao điểm của hai mặt phẳng.
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 25
Copyright: Tài liệu đại học ©