Luận văn tốt nghiệp

Trong lĩnh vực công nghệ máy tính cũng như công nghệ thông tin có những bước
phát triển nhảy vọt, nó đã hỗ trợ vào mọi lĩnh vực trong cuộc sống xã hội, sản phẩm của
công nghệ thông tin biến đổi hàng ngày, hàng giờ. Trong lĩnh vực tốn học, các sản phẩm
của công nghệ thông tin cũng hỗ trợ đắc lực cho việc học tập và nghiên cứu.
Đề tài tôi thực hiện là: “THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ
HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 2D VÀ 3D“. Đề tài sử dụng ngôn ngữ lập trình
Visual C++ để thể hiện. Về góc độ học tập, nghiên cứu tôi thấy đề tài có thể giúp hiểu rõ
thêm về kiến thức cơ bản của phần đồ họa máy tính và cho vấn đề kiểm tra thực hiện một
số bài tốn hình học thêm phong phú hơn, tạo thêm phần hấp dẫn trong môn học này.
Trong thời gian thực hiện đề tài tôi đã thực hiện được những yêu cầu của đề tài.
Việc thực hiện đề tài còn mang ý nghĩa đánh giá lại quá trình học tập, nghiên cứu
của tôi. Nên về mặt tinh thần tôi đã cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu, và chuẩn bị khá chu
đáo cho việc thực hiện. Nhưng sự tiếp thu cũng có những giới hạn nhất định, bởi trong
lĩnh vực máy tính cũng như cơ sở tốn học rộng lớn, không gian diễn dịch có thể vô hạn,
sự thực hiện một ý tưởng nào đó có thể trong tốn học thực hiện được, nhưng việc thể
hiện thuật tốn bằng máy tính thì có những vấn đề khó thể thực hiện, vì vậy đề tài chắc
chắn còn nhiều thiếu sót nhất định.
Mong quý Thầy cô, Anh chị và các bạn thông cảm, đóng góp ý kiến giúp đỡ. Tôi
thành thật cảm ơn …!
SINH VIÊN THỰC HIỆN
LÊ QUỐC THÁI
PHẦN I: GIỚI THIỆU
PHẦN I: GIỚI THIỆU
I. SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC
Để cho người đọc tham khảo đề tài “THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC
QUAN HỆ HÌNH HỌC“ dễ dàng hình dung được, tôi xin giới thiệu sơ lược về đề tài.
Nhiệm vụ thực hiện của đề tài:
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trong:
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 1

thực hiện trên môi trường ngôn ngữ Visual C++.
Visual C++ là một phần mềm lập trình hướng đối tượng được phát triển trên cơ sở là
ngôn ngữ lập trình C và C++. Ở đây tôi thể hiện đề tài trên ngôn ngữ Visual C++ bởi lẽ
hiện nay ngôn ngữ này được xem là một trong các ngôn ngữ hỗ trợ (support user) mạnh
và phổ biến nhất. Cùng mục đích sâu xa hơn nữa là để cho những đề tài sau này có thể
trên cùng ngôn ngữ xây dựng ý tưởng của đề tài “THIẾT KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA
CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC“ ngày thêm một đầy đủ, phong phú, hấp dẫn và ứng dụng
mang tính thiết thực hơn. Tôi đầu tiên nghiên cứu tìm hiểu tổng quát về ngôn ngữ như
Visual C++, thực hiện những chương trình điển hình trên ngôn ngữ lập trình hướng đối
tượng. Và phần tìm hiểu chính là phần thực hiện yêu cầu của đề tài, cụ thể là về phương
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 2
Luận văn tốt nghiệp
diện tính tốn trong những thuật tốn và thể hiện trực quan bằng đồ hoạ máy tính trên ngôn
ngữ Visual C++.
Trong Visual C++ phần đồ họa được thể hiện trong lớp CDC (Class Device
Context) với nhiều hàm thành viên hỗ trợ cho việc vẽ điểm, đường, đa giác, tô màu….
Đặc biệt hơn trong ngôn ngữ Visual C++ có sự hỗ trợ cho việc vẽ các đối tượng hình học
bằng chuột. Nhưng ngôn ngữ chỉ thực hiện được với các đối tượng hình học 2D, đối
tượng hình học 3D thì chưa có, cần phải tự thiết kế.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi nhận thấy trong ngôn ngữ Visual C++ có bộ thư viện
OPENGL là một thư viện API hỗ trợ cho việc thực hiện các chương trình đồ họa, trên cả
2D và 3D rất mạnh, chính vì thế ở phần kiểm tra các quan hệ hình học phần 3D tôi thực
hiện trên OPENGL. Từ đây tôi chuyển hướng sang nghiên cứu OPENGL để thực hiện
cho phần 3D. Để hiểu và thực hiện được trên nó cũng khó khăn không kém như ta bắt
đầu nghiên cứu và làm quen với ngôn ngữ mới như Visual C++. Sau khi nghiên cứu và
hiểu được những yếâu tố cơ bản của OPENGL tôi có nhận xét rằng OPENGL là một ứng
dụng để thực hiện các chương trình đồ họa máy tính hấp dẫn và đẹp mắt. Khi đã cài
được thì cách sử dụng có phần dễ dàng hơn, chỉ cần tìm hiểu một số các hàm trong thư
viện các hàm thành viên của OPENGL là đáp ứng được yêu cầu. Còn mọi việc thực hiện
cài đặt theo lý thuyết đồ họa máy tính như các phép biến hình, thiết lập chế độ màn

 Vẽ đường thẳng:
Line (int x1, int y1, int x2, int y2);
Hàm này thuộc lớp CClientDC
Ví dụ: Để vẽ đường thẳng ta thực hiện các bước sau đây
CClientDC dc(this);
dc.Line(x1,y1,x2,y2);
Ngồi ra trong việc vẽ đường thẳng còn có thể sử dụng hai hàm sau:
MoveTo(int x, int y);
Hàm này dùng để di chuyển con trỏ đến tọa độ x,y trong màn hình.
LineTo(int x, int y);
Hàm này dùng để vẽ đường thẳng từ điểm hiện hành đến điểm x, y.
Cả hai hàm này đều thuộc lớp CClientDC, việc sử dụng như sau:
CClientDC dc(this);
dc.MoveTo(x,y);
dc.LineTo(newx, newy);
 Vẽ hình chữ nhật:
Rectangle(int x1,int y1,int x2,int y2);
Hàm này thuộc lớp CclientDC. Dùng để vẽ hình chữ nhật có tọa độ trên góc trên trái là
(x1,y1) và tọa độ góc dưới phải là (x2,y2). Cú pháp vẽ hình chữ nhật như sau:
CClientDC dc(this);
dc.Rectangle(x1, y1, x2, y2);
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 4
Luận văn tốt nghiệp
 Vẽ hình Ellipse:
Ellipse(int x1,int y1,intx2,int y2);
Hàm này có các tham tương tự các tham số hình chữ nhật, hàm này cũng thuộc lớp
CClientDC. Cú pháp vẽ hình Ellipse như sau:
CClientDC dc(this);
dc.ellipse(int x1, int y1, intx2, int y2);
 Hàm loan vùng kín:

Luận văn tốt nghiệp
tạo các hiệu quả chiếu sáng, kết hợp antialiasing và gán cấu trúc, thực hiện biến đổi ma
trận…
Do các hàm cơ bản được thể hiện ở nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào loại dữ liệu
mà chúng tiếp nhận, nên trên thực tế có hơn 300 nguyên mẫu (prototype) các hàm cơ bản.
 Thư viện OpenGL utility gồm các hàm cao cấp. Các hàm này đơn giản hố
việc sử dụng hình ảnh cấu trúc, thực hiện việc biến đổi tọa độ mức cao, hỗ trợ tesselation
đa giác, và biểu diễn các đối tượng có cơ sở đa giác như hình cầu, hình trụ hình dĩa.
 Thư viện OpenGl auxiliary gồm các hàm đặc biệt dùng đơn giản hóa các ví dụ
lập trình trong sách chỉ dẫn lập trình OpenGL. Các hàm phụ thuộc platform này thực hiện
các nhiệm vụ như quản ký cửa sổ, điều khiển xuất/nhập, vẽ các đối tượng 3D nhất định.
Do các hàm này có mực đích thiết minh nên không được dùng trong các mã sản xuất.
 Các hàm “WGL”kết nối OpenGL với WINdows NT, cho phép người lập trình
xây dựng và chọn lựa các ngữ cảnh biểu diễn, tạo các bitmap font, các hàm này chỉ dùng
trên Windows NT.
 Cuối cùng, các hàm Win32 API được dùng giải quyết các định dạng điểm ảnh
và tạo bộ đệm đôi.
Trong phần này, tôi trình bày một số hàm được sử dụng trong đề tài.
 Hàm vẽ điểm, đường, đa giác:
Được bắt đầu bởi hàm:
glBegin (Glenum mode)
Để chỉ sự bắt đầu những đỉnh của một primitive, tham số mode chỉ kiểu các primitive.
Tham số mode có các giá trị sau:
 GL_POINTS : chỉ đỉnh được sử dụng là điểm.
 GL_LINES : chỉ những đỉnh được dùng để tạo đoạn thẳng.
 GL_LINE_STRIP : chỉ những đỉnh được sử dụng tạo đoạn thẳng nhẵn.
 GL_TRIANGLES : những đỉnh được sử dụng tạo ra những tam giác.
 GL_TRIANGLE_STRIP : những đỉnh được sử dụng tạo ra tam giác có
cạnh nhẵn.
 GL_POLYGON : những đỉnh được sử dụng tạo ra đa giác lồi.

• glLightf(Glenum light, Glenum pname, GLfloat param);
• glLighti(Glenum light, Glenum pname, GLint param);
Trong đó:
 Tham số light chỉ ra nguồn sáng có giá trị từ GL_LIGHT0 đến GL_LIGHT7.
 Tham số pname chỉ ra tham số light nào được lập như GL_AMBIENT,
GL_DIFFUSE…
 Tham số param chỉ có ý nghĩa đối với nguồn sáng điểm. Tham số này có các
giá trị như: GL_SPOT_EXPONENT, GL_SPOT_CUTOFF…
 Các hàm liên quan đến thuộc tính ánh sáng của vật liệu:
• glColorMaterialf(Glenum face,Glenum pname, GL float param);
• glMateriali(Glenum face,Glenum pname, GL int param);
• glMaterialfi(Glenum face,Glenum pname, const Glint* params);
• glMaterialfi(Glenum face,Glenum pname, const Glint* params);
Trong đó:
 face: là thuộc tính bề mặt trước ,sau của đa giác.
 pname: là thuộc tính của vật liệu: GL_AMBIENT,GL_DIFFUSE,…
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 7
Luận văn tốt nghiệp
 param : chỉ định giá trị mà tham số pname được lập.
 params: chỉ định dãy số nguyên hay thực chứa các thành phần thuộc tính được
lập.
• glFrontFace(Glenum mode); xác định bề mặt đa giác là mặt trước hay sau.
PHẦN II: NỘI DUNG
PHẦN II: NỘI DUNG
Trong phần giới thiệu tôi đã trình bày những nội dung sơ lược mang tính tổng quát
của đề tài. Phần nội dung tôi trình bày chi tiết hơn theo thứ tự logic các vấn đề từ lý
thuyết tốn học đến các thuật tốn chương trình.
I. LÝ THUYẾT CƠ SỞ TỐN HỌC
Các lý thuyết cơ sở tốn học được sử dụng cho các thuật tốn trong đề tài “THIẾT
KẾ HỆ THỐNG KIỂM TRA CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC“ bao gồm:

dx,dy: float;
} vector;
struct
{
dx,dy,dz : float;
} vector3D

Với hai điểm P
1
(x
1
,y
1
) và P
2
(x
2
,y
2
) ta định nghĩa vector v với các thành phần là
vector v =(x
2
-x
1
, y
2
-y
1
). Đôi khi vector này được ghi là P
1

Tổng hai vector a,b là vector c được định nghĩa như sau:
C = (c
1
, c
2
, …, c
n
) = (a
1
+ b
1
, a
2
+ b
2
, …, a
n
+ b
n
)
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 9
x
P
2
v
P
4
P
3
v

2
, …, sa
n
)
Với s là hệ số tỷ lệ và a là vector. Khi s âm, chiều của sa ngược lại với a.
Procedure Scalar(real s; vector a; vector &b)
{
b.d
x
= s
∗
a.d
x
;
b.d
y
= s
y
a.d
y
;
}
 Phép trừ hai vector:
Trên cơ sở cộng và định tỷ lệ, phép trừ dễ dàng định nghĩa:
a-c = a +(-c)
với thành phần thứ i là ai-ci.
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 10
Luận văn tốt nghiệp
 Trị tuyệt đối (độ dài) của vector
Nếu một vector W được thể hiện trong không gian nhiều chiều (W

:= v.d
x
/Length(v);
u.d
y
:= v.d
y
/Length(v);
 Tổ hợp tuyến tính của vector:
Để hình thành tổ hợp tuyến tính của hai vector V và W, định tỷ lệ mỗi vector theo các
tỷ số a và b rồi cộng kết qủa để thành vector mới av+bw.
Tổng quát, tổ hợp tuyến tính của m vector V
1
, V
2
, …, V
m
như sau:
W = a
1
V
1
+ a
2
V
2
+ …+ a
m
V
m

0, và cung “spline” thực ra là tổ hợp lồi của
một tập các vector.
 Tích vô hướng của hai vector:
Tích vô hướng của hai vector cho ta thông tin đáng giá về một cặp vector như góc giữa
chúng (cụ thể là khi nào chúng vuông góc) và chiếu vector lên vector khác. Nó cũng cho
ta phương trình của một mặt phẳng mô tả bằng một điểm và hai vector.
Cho hai vector, ví dụ hai chiều (a
1
,a
2
) và (b
1
,b
2
).
Tích vô hướng hai vector định nghĩa là:
a.b = a
1
b
1
+ a
2
b
2
Một cách tổng quát cho vector n chiều như sau: Cho Vector V= (v
1
, v
2
, …, v
n

1. Đối xứng : a.b = b.a
2. Tuyến tính: (a+c).b = a.b + c.b
3. Đồng nhất : (sa).b = s(a.b)
4. | b
2
| = b.b
Độ dài của hiệu và tổng hai vector được cho như sau:
| a-b|
2
= |a|
2
- 2ab + |b|
2
| a+b|
2
= |a|
2 +
2ab + |b|
2
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 12
Luận văn tốt nghiệp

Các ứng dụng của tích vô hướng:
a.
Góc giữa hai vector (hay hai đường)
Đây là ứng dụng quan trọng của tích vô hướng. Hình a dưới cho thấy góc θ giữa
hai vector a và b. Các vector này có thể có hai, ba, hay nhiều chiều. Chúng tạo thành
hai cạnh của tam giác, và cạnh thứ ba là a-b. Theo hệ thức lượng trong tam giác, ta có :
| a-b|
2

0
cos(
ϕ
) <0 nếu
ϕ
> 90
0
cos(
ϕ
) =0 nếu
ϕ
= 0
Do vậy từ phương trình:

cos(
ϕ
) = u
a
.u
b

ta có góc giữa hai vector như sau:


Nhỏ hơn 90
o
nếu a.b >0

Bằng 90
0

) và hệ thức lượng tam giác ta có

phương trình:
|c| = |a|
( )
ba
ba.
= a.u
b
(*)
Như thế độ dài của c chỉ phụ thuộc vào độ dài của a. Bây giờ ta hình thành vector
c, bằng cách thêm chiều của b.
c = |c|.u
b

Sau đó, kết hợp với phương trình (*) trên ta có:
c = ( a.u
b
)u
b
c =
a.b
b

|b|
2

Ví dụ: trong hai chiều, chiếu của a = (6,4) lên b = (1,2) như hình dưới
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 14
Luận văn tốt nghiệp

-n
x
/

n
y
Điều kiện n trực giao với c cho ta suy ra n có thể là bội số bất kỳ của (c
x
, c
y
), có
hai chiều đối nhau. Để có phương trình cho đường L, xét điểm bất kỳ R = (x,y) trên L.
Vector R phải vuông góc với n, nên n.(R-A) = 0. Ta có thể viết lại như sau: nR=nA,
nhưng không thể nhân điểm với vector được. Ta thay vector R bằng r đi từ gốc và thay A
bằng a. Như vậy, các tính tốn đều phụ thuộc vào việc chọn gốc tọa độ, còn phương trình
đường thẳng vẫn phụ thuộc vào gốc không có gì thay đổi. Như vậy ta có:
n.r = D Với D = n.a = n
x
Ax + n
y
Ay
Đây là phương trình điểm chuẩn cho đường. Phương trình này có thể viết dạng quen
thuộc như sau:
n
x
x + n
y
y = D
• Mở rộng dạng điểm cho mặt phẳng
Các mặt phẳng cũng có thể biểu diễn ở dạng chuẩn điểm. Một mặt phẳng hồn tồn

vô hướng với chuẩn. Nghĩa là mọi điểm có cùng hình chiếu lên n.
Phương trình mặt phẳng P thường viết là: Ax + By + Cz = D
Tư ø tích vô hướng của phương trình ta thấy rằng dạng điểm chuẩn thực ra là:
n
x
X + n
y
Y + n
z
Z = D
Với A = n
x
, B = n
y
, và C = n
z
. Điều này cho thấy (A, B, C) là chiều chuẩn của mặt
phẳng.
Điểm trên mặt gần gốc nhất là điểm chiếu vuông góc của gốc lên mặt. Như vậy nó tỉ lệ
với n, gọi là Kn, nên khoảng cách là| Kn |. Vì Kn nằm trên mặt nên n. (Kn)=D.
d.
Kiểm tra nửa không
gian trong và ngồi của một điểm
Xét điểm Q, giả sử đường E đi qua điểm A và có chuẩn hướng ra n như hình vẽ:
Góc
ϕ
giữa n và
Q -A < 90
0
, nếu Q nằm phía ngồi, vì vậy tích n.(Q - A) > 0. Tương tự, góc

c
n
n
E E
Luận văn tốt nghiệp
• Mở rộng cho mặt phẳng
Giả sử mặt P qua điểm A và có vector chuẩn hướng ra n thì điểm Q sẽ:
1. Ở nửa không gian phía ngồi của P nếu T=(q-a).n > 0
2. Trên P nếu (q-a).n=0
3. Ở nửa không gian phía trong của P nếu (q-a).n<0.
e.
Cắt đường thẳng với cửa sổ lồi
Ta dùng kiểm tra trong-ngồi để xây dựng công cụ cắt hữu hiệu với cửa sổ là đa giác
lồi bất kỳ. Cửa sổ W chứa một đa giác lồi cùng với đường thẳng L từ P
1
tới P
2
. Ta muốn
xác định phần thấy của L nằm trong W. Đa giác lồi nên phần trong cửa sổ được định
nghĩa là vùng nằm ở nửa không gian phía trong của mỗi cạnh của W. Đoạn L được kiểm
tra đối với mỗi cạnh của W, và phần nằm ở nửa không gian phía ngồi được loại ra. Sau
khi mọi cạnh đã được kiểm tra, phần còn lại của L sẽ nằm trong W.Ta biểu diễn L ở dạng
tham số:
P(t) = P
1
+ ct với c = P
2
- P
1
.

Luận văn tốt nghiệp
• E song song L: nếu n trực giao với c (nghĩa là: n .c= 0). Như vậy L sẽ nằm hồn
tồn ở trong hoặc ở ngồi cửa sổ. Để xét tiếp, chọn điểm bất kỳ trên L, là P
1
và kiểm tra
trong-ngồi. Đặt p
1
= P
1
- 0 là vector từ gốc tọa độ đến P
1
. L sẽ hồn tồn nằm trong nếu:
p
1
.n < D
Ngược lại L hồn tồn nằm ngồi.
• E không song song với L: L phải cắt cạnh E tại ti, để tính ti dùng phương trình:
ti=( D - n.p
1
) /n.c
Nếu chiều c của nó nhỏ hơn 90
0
kể từ n ( n.c > 0) thì đường sẽ đi ra. Ngược lại
sẽ đi vào. Nếu đi vào, thì phần với t < ti sẽ không thấy được, và t
in
được gán là ti(nếu t
in
<
ti). Ngược lại, thì phần với t > ti sẽ không thấy được, và t
out

y
.b
z
- a
z
.b
y
).i + (a
z
.b
x
- a
x
.b
z
).j + (a
x
.b
y
- a
y
b
x
).k
• Từ định nghĩa suy ra các tính chất đại số sau:
1. i x j = k
j x k = i
i x k = j
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 18
Luận văn tốt nghiệp

y
) + a
y
(b
z
c
x
- b
x
c
z
) + a
z
(b
x
c
y
- b
y
c
x
).
Ta co:ù S = a.(b x c) = b.(c x a) = c.(a x b)
Tích bộ ba vô hướng có ý nghĩa hình học đơn giản. Giá trị của nó là thể tích của khối lăng
trụ tạo bởi các vector a,b, c. Dấu của tích bộ ba vô hướng tùy theo
cos (
ϕ
) dương nếu
ϕ
< 90

-x
a
, y
b
-y
a
, z
b
-z
a
) và
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 19
a x b
Thể tích a x b x c
a
b
c
ϕ
Luận văn tốt nghiệp
AC = (x
c
-x
a
, y
c
-y
a
, z
c
-z

c
-z
a
)*(x
b
-x
a
),
(x
b
-x
a
)*(y
c
-y
a
) - (x
c
-x
a
)*(y
b
-y
a
))
Nếu chúng ta đặt:
a
1
= (y
b

b
-x
a
)
c
1
= (x
b
-x
a
)*(y
c
-y
a
) - (x
c
-x
a
)*(y
b
-y
a
)
d
1
= - x
a
a
1
- y

a
, z
a
), B(x
b
, y
b
, z
b
) sẽ xác định được
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A ,B như sau:
Vector AB = (x
b
- x
a
, y
b
- y
a
, z
b
-z
a
) là vector chỉ phương của đường thẳng qua hai điểm
A, B (để gọn hơn ta viết vector chỉ phương AB=(a
1
, a
2
, a
3

a
yY
a
−
=
3
a
zZ
a
−
(với điều kiện a
1
, a
2
, a
3
<> 0 )
• Phương trình dạng tổng quát:
a
2
(x - x
a
) = a
1
( y - y
a
)
a
1
(z - z

x
a
= 0
Phương trình tổng quát của đường thẳng qua 2 điểm trong không gian là hệ phương trình
bậc nhất 3 biến x, y, z như trên.
II. CÁC ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC VÀ SỰ TƯƠNG QUAN
Trong phạm vi của môn hình học thì không gian diễn dịch của nó rất lớn, chính vì vậy
tôi thiết kế thuật tốn trên các đối tượng hình học cơ bản. Và từ những thuật tốn này chúng
ta có thể mở rộng ra cho một diễn dịch rộng lớn hơn.
II.1. CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC TRONG 2D
1.
Các đối tượng hình học cơ bản:
• Điểm
• Đường thẳng
• Đa giác
2.
Sự tương quan giữa các đối tượng hình học:
• Điểm - Đường thẳng.
• Điểm - Đa giác.
• Đường thẳng - Đường thẳng.
• Đường thẳng - Đa giác.
• Đa giác - Đa giác.
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 21
Luận văn tốt nghiệp
3.
Kiểm tra sự tương quan giữa các đối tượng hình học:
a.
Điểm - Đường thẳng
 Kiểm tra điểm có thuộc đường thẳng?
 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng nếu điểm không

• Đường thẳng - Mặt phẳng.
• Mặt phẳng - Mặt phẳng.
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 22
Luận văn tốt nghiệp
3. Kiểm tra sự tương quan giữa các đối tượng hình học:
a. Điểm - Đường thẳng
 Kiểm tra điểm có thuộc đường thẳng?
 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng nếu điểm không
thuộc đường thẳng.
b. Điểm - Mặt phẳng
 Kiểm tra điểm có thuộc mặt phẳng?
 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nếu điểm không thuộc
mặt phẳng.
c. Đường thẳng - Đường thẳng
 Kiểm tra hai đường thẳng đồng phẳng, cắt, song song, chéo
nhau, vuông góc?
 Tính góc giữa hai đường thẳng.
 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
 Tính hình chiếu của đoạn thẳng trên đường thẳng.
d. Đường thẳng - Mặt phẳng
 Kiểm tra đường thẳng thuộc mặt phẳng?
 Kiểm tra đường thẳng vàø mặt phẳng cắt nhau?
 Kiểm tra đường thẳng và mặt phẳng song song?
 Kiểm tra đường thẳng và mặt phẳng vuông góc?
 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nếu đường thẳng và
mặt phẳng cắt nhau.
 Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng nếu đường
thẳng và mặt phẳng song song nhau.
e. Mặt phẳng - Mặt phẳng
 Kiểm tra hai mặt phẳng trùng nhau?


)
với
θ
:góc giữa vector a và vector b
Và từ biểu thức giải tích của tích vô hướng:
a.b = a
1
b
1
+ a
2
b
2
Ta có cos(
ϕ
) = a.b / |a||b|=
2211
baba +
/
))((
2
2
2
1
2
2
2
1
bbaa ++

A
B
B
’
’
A’
C
D
(b)
Luận văn tốt nghiệp
• Xác định PT đi qua 2 điểm C, D:
ax + by + c = 0
có vector chỉ phương VCF = (x
D
-x
C
, y
D
-y
C

) = (-b, a) và c = - a * x
C
- b * y
C
.
• Xác định PT đường thẳng ∆ đi qua điểm A và vuông góc với CD:
bx -ay + c’ = 0
có vector chỉ phương của ∆ =(a, b)
và c’= b*x

- Tìm giao điểm B’ của đường ∆2 đi qua điểm B và vuông góc với đường
thẳng CD.
- Khi đó A’B’ chính là hình chiếu của AB.
3. Xác định giao điểm giữa hai đoạn thẳng
Cơ sở tốn học:
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 25