1
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ, Hàm liên tục, Điểm
gián đoạn, liên tục, liên tục đều, hàm sơ cấp, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm
số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới,
vô cùng bé, vô cùng lớn, hàm số hợp, hàm số ngược, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi
phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital, tích phân không
xác định, tích phân, nguyên hàm, Phép thế Euler, Điều ki
ện khả tích, Hàm khả tích,
Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều
biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi
phân, Sự hội tụ.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục

Chương 1 Tập hợp và số thực 7
1.1 Khái niệm về tập hợp 7
1.2 Số thực 9
1.3 Ánh xạ 14
1.4 Bài tập chương 1 16

2.4.2 Các định nghĩa giới hạn 42
2.4.3 Giới hạn một phía 45
2.4.4 Giới hạn vô cùng 46
2.4.5 Các tính chất của giới hạn 47
2.4.6 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số 47
2.4.7 Vô cùng bé. Vô cùng lớn 48
2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ 51
2.5 Bài tập chương 2 54
Chương 3 Hàm liên tục một biến số 61
3.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm 61
3.1.1 Các định nghĩa 61
3.1.2 Hàm liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn kín 62
3.1.3 Các định lý về nh
ững phép tính trên các hàm liên tục 63
3.1.4 Điểm gián đoạn của hàm số 65
3.2 Các tính chất của hàm liên tục 68
3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm 68
3.2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn 68
3.3 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược 72
3.3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu 72
3.3.2 Tính liên tục của hàm ngược 73
3.4 Khái niệm liên tục đều 74
3.4.1 Mở đầu 74
3.4.2 Định nghĩa 74
3.4.3 Liên tục của các hàm số sơ cấp 76
3.5 Bài tập chương 3 77

3
Chương 4 Phép tính vi phân của hàm một biến 81
4.1 Đạo hàm và cách tính 81

4.8.3 Khảo sát đường cong trong tọa độ cực 114
4.9 Bài tập chương 4 117
Chương 5 Tích phân không xác định 123
5.1 Tích phân không xác định 123
5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm 123
5.1.2 Các tính chất 123
5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định 123
5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định 123
5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản 124
5.2 Cách tính tích phân không xác định 125
5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản 125
5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến 126
5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần 127
5.2.4 Công thức truy hồi 129
5.3 Tích phân các phân th
ức hữu tỉ 130

4
5.3.1 Tích phân các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất 130
5.3.2 Tích phân của các phân thức hữu tỉ 132
5.4 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác và các hàm hypebol 134
5.4.1 Tích phân các biểu thức chứa hàm lượng giác 134
5.4.2 Tích phân các biểu thức chứa hàm hypebol 136
5.5 Tích phân một vài lớp hàm vô tỉ 137
5.5.1 Tích phân dạng
(, )
m
ax b
IRx dx
cx d

+
với
0a
≠
139
5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất 140
5.6.2 Phép thế Euler thứ hai 140
5.6.3 Phép thế Euler thứ ba 141
5.6.4 Tích phân eliptic 142
5.7 Bài tập chương 5 143
Chương 6 Tích phân xác định 145
6.1 Định nghĩa tích phân xác định 145
6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong 145
6.1.2 Bài toán tính khối lượng 146
6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định 146
6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định 148
6.2 Điều kiện khả tích 148
6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích 148
6.2.2 Các tổng Darboux 149
6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux 150
6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định 151
6.3 Các lớp hàm khả tích 152
6.4 Các tính chất cơ bản của tích phân 154
6.4.1 Các tính chất của tích phân xác định 154
6.4.2 Các định lí giá trị trung bình 158
6.5 Nguyên hàm và tích phân xác định 159
6.5.1 Các định nghĩa 160
6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên 160
6.6 Tính tích phân xác định 162
6.6.1 Phép đổi biến trong tích phân xác định 162

7.2 Sự hội tụ trong
n

, các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số 211
7.2.1 Sự hội tụ trong
n

211
7.2.2 Dãy cơ bản 212
7.2.3 Nguyên lí Canto 213
7.2.4 Chú ý 213
7.2.5 Tập hợp compact 214
7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số 214
7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số 214
7.2.8 Đường mức và mặt mức 215
7.3 Giới hạn của hàm số trong
n

216
7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 216
7.3.2 Giới hạn lặp 217
7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 218
7.3.1 Chú ý 219
7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục 221
7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm 221
7.4.2 Hàm số liên tục đều 222
7.4.3 Liên tục theo từng biến 223
7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số 224
7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân c
ấp một 224
7

Chương 1
Tập hợp và số thực

∅
∈
(1.1.1)

)
)
⊆⊆⇒
⊂⊂⇒⊂
b
c
vµ = (1.1.2)
vµ (1.1.3)
A B B A A B
A B B C A C.

1.1.2 Một số tập hợp thường gặp
Trong các giáo trình đại số ở trường phổ thông trung học ta đã làm quen với tập hợp các
số tự nhiên
`
`
={ 0,1,2,…, n,…} (1.1.4)
`
*={1,2,… n,…}. (1.1.5)
Để xét nghiệm của phương trình
x+n = 0 trong đó
∈
`n ta đưa thêm tập các số nguyên
] :
{
}

của hai số hữu tỷ a,b lại là số hữu tỷ, nhưng với
các phép toán khác nếu chỉ xét trên tập các số hữu tỷ, ta thấy những điều nêu trên không còn
đúng nữa. Ví dụ phép lấy căn là phép toán như vậy. Ta hãy tìm căn bậc hai của số 2, tức là
tìm một số x mà bình phương của nó bằng 2. Ta khẳng định rằng không có số hữu tỷ nào mà
bình phương của nó bằng 2. Giả
sử rằng số hữu tỷ x như vậy tồn tại, ta có thể viết dưới dạng
phân số tối giản
p
q
, trong đó p và q chỉ có ước số chung là
1
±
. Khi đó
2
22
2
2; 2==
p
p
q
q
cho
nên p
2
là số chẵn và do đó p cũng là số chẵn, p = 2m, trong đó m là số nguyên, do đó
4m
2
=2q
2
, 2m

AB xxA∩= ∈ ∈vµ
x
B . (1.1.10)
c)
Hiệu =∈ ∉|{| vµ }AB xx A x B. (1.1.11)
Ta nói rằng các tập
A và B là rời nhau nếu AB
∩
=Φ.
d)
Bổ sung C
A
B của B trong A ( ⊆BA) là tập hợp định nghĩa bởi
=
∈∉{| vµ }
A
CB xx A x B (1.1.12)
Phép giao, hợp và bổ sung có các tính chất sau:
i) () ()
∩
∩=∩ ∩AB CA BC (1.1.13)
ii)
() ()∪∪=∪∪AB CA BC (1.1.14)
iii)
()()()
∩
∪= ∪ ∩ ∪AB C AC BC (1.1.15)
iv)
()()()
∩

b
.
Như vậy
A×B ={(x,y)| ,
x
Ay B
∈
∈ } (1.1.20)
Thay cho
A×A ta viết là A
2

Ví dụ: {1,2}
×{2,3,4} = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4)}
Ngoài ra {1,2}
2
={(1,1); (1,2); (2,1); (2,2)}.
1.1.5 Các kí hiệu lôgic
Bây giờ giả sử M là một tập hợp và t là một tính chất nào đó của các phần tử của tập M.
Nếu phần tử
x
M∈ có tính chất t ta viết t(x). Gọi c(t) là tập hợp của tất cả các phần tử của tập
M có tính chất t:
c(t) ={
x
M
∈
|x có tính chất t} (1.1.21)
hay
c(t) ={

và viết
:() hay ()
xM
x
Mtx tx
∈
∃∈ ∃
Ký hiệu
∃ gọi là ký hiệu tồn tại.
1.2 Số thực
1.2.1 Phép cộng và nhân các số thực
Xét tập hợp các số thực  . Ta có thể xác định phép cộng và nhân hai số thực bất kì a và
b. Phép toán cộng cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được ký hiệu là a+b, phép

10
nhân cho tương ứng hai số thực a và b với số thực được kí hiệu là
a.b sao cho thoả mãn các
tính chất sau: Với mọi số thực
a,b và c.
a)
a+b = b+a (tính chất giao hoán),
b)
a+(b+c) = (a+b)+c (tính chất kết hợp),
c)
a.b = b.a (tính chất giao hoán ),
d)
a(b.c) = (a.b).c (tính chất kết hợp),
e)
(a+b).c = a.c+b.c (tính chất phân phối),
f)

a = b (a bằng b), a
> b (a lớn hơn b) hay b > a (b lớn hơn a).
Mệnh đề “=” có tính chất: nếu a
=b và b=c thì a=c.
Mệnh đề “>” có tính chất sau: Với mọi số thực a,b và c.
a)
Nếu a > b và b > c thì a > c
b) Nếu a > b thì a+c > b+c.
c) Nếu a > 0, b > 0 thì ab > 0.
Mệnh đề
a≥b nghĩa là hoặc a=b, hoặc a>b.
Các mệnh đề
a < b, a ≤ b, a > b, a ≥ b được gọi là các bất đẳng thức. Các bất đẳng thức
a < b, a > b được gọi là các bất đẳng thức thực sự.
Số thực
a thoả mãn bất đẳng thức a>0 được gọi là số dương.
Số thực
a thoả mãn bất đẳng thức a<0 được gọi là số âm.
1.2.3 Tính liên tục của tập hợp số thực
Định lí 1.2.1 Giả sử X và Y là hai tập hợp các số thực thoả mãn điều kiện sau:
x
≤ y ,
x
XyY∀∈ ∀∈ . (1.2.1)
Khi đó tồn tại một số
c sao cho
≤≤ ∀∈ ∀∈
x
cy xX,yY. (1.2.2)


và
β
).
1.2.4 Cận của tập hợp số
Giả sử M là tập hợp số (tức là tập hợp mà các phần tử của nó là những số thực). Tập hợp
M được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực k sao cho

x
kxM
≤
∀∈ . (1.2.3)
Số
k bất kì có tính chất như vậy được gọi là cận trên của tập M. Do đó tập hợp M là bị
chặn trên nếu có ít nhất một cận trên. Nếu tập
M có một cận trên thì nó có vô hạn cận trên, bởi
vì nếu số
k là cận trên thì bất kì số l nào lớn hơn k là cận trên. Một câu hỏi được đặt ra là liệu
có tồn tại số nhỏ nhất trong các cận trên của tập
M. Số nhỏ nhất như vậy gọi là cận trên đúng
của tập
M và kí hiệu là sup M.
Cận trên đúng của tập
M có tính chất sau:
∀> ∃∈
ε
ε
0, sao cho > sup
x
M x M - .
Thật vậy, nếu số

1
1
n
ε
>−. Số n này, ví dụ là n = 1.
Ví dụ 2: sup(0,1) = sup[0,1] = 1.
Bây giờ ta có thể định nghĩa cận trên đúng của tập
M một cách khác như sau:
Số sup
M được gọi là cận trên đúng của tập M bị chặn trên nếu
a)
≤∀∈sup
x
MxM (1.2.4)
b)
∀> ∃∈
ε
ε
0, sao cho sup
x
M x> M - (1.2.5)

12
Tập hợp số
M được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số g sao cho

x
gxM ≥∀∈. (1.2.6)
Mọi số g có tính chất này gọi là cận dưới của tập hợp M. Do đó tập M bị chặn dưới, nếu
nó có ít nhất một cận dưới.

∀> , ta phải tìm được số tự nhiên n sao cho
<+
ε
1
0,
n
hay
<
⇒>
ε
ε
11
n
n
.
Điều này nghĩa là số 0 là cận dưới đúng của tập
M, tức là inf M = 0.
Ví dụ 5: inf(0,1) = inf[0,1] = 0.
Trong các ví dụ trên, ta thấy sup
M, inf M có thể thuộc M, cũng có thể không thuộc M.
Định lí 1.2.2 Tập hợp số không rỗng bất kì bị chặn trên (dưới) có cận trên (dưới) đúng.
Chứng minh: Giả sử
X là tập hợp số không rỗng bị chặn trên. Khi đó tập hợp Y các số là
cận trên của tập
X không rỗng. Theo định nghĩa của cận trên suy ra rằng đối với bất kì
∈
x
X
và bất kì
∈yY ta có bất đẳng thức.

c = sup X.
Theo tính chất của cận trên đúng, đối với
1
ε
=
, ta tìm được một số nguyên
x
X∈ sao
cho
x > c – 1
nhưng khi đó
x+1> c. Bởi vì 1
x
X+∈ , điều này có nghĩa là c không phải là cận trên đúng
của tập hợp
X, mâu thuẫn với điều nói ở trên.
Ví dụ 7: Giả sử X và Y là hai tập hợp số. Hãy chứng minh rằng nếu YX⊂ thì supX ≥ supY.
Giải: Giả sử sup
X = A, supY = B. Ta phải chứng minh B
≤
A. Giả sử ngược lại B > A. Khi
đó dựa vào tính chất cận trên đúng,
ε
ε
∀> ∃∈ −0, sao cho > yY y B .
Bởi vì:
B
−
A >0, nên ta có thể lấy
BA

x
Xy X và
≤
sup
y
Y .
Nhưng sup
Y là số thực nhỏ nhất trong các cận trên của Y và supX là một trong số cận trên
của
Y nên
sup
Y
≤
sup X.
Nếu tập
M đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trên, ta gọi là tập bị chặn.
Cuối cùng nếu tập
M không bị chặn trên, thì ta nói rằng cận trên đúng của tập đó là +
∞
,
sup
M = +
∞
. Tương tự nếu tập M không bị chặn dưới, ta nói rằng cận dưới đúng của tập đó là
−∞, inf M=− ∞ .
Ví dụ như sup(0,+
∞ ) = + ∞ , inf(−
∞
,0)= −
∞


không có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu, bởi vì đối với một số thực x bất
kì luôn luôn tồn tại hai số y và z sao cho
y< x< z (ví dụ y = x −1, z = x+1). Vì thế ta hãy bổ
sung vào tập
 hai phần tử mới mà ta ký hiệu là +
∞
, −
∞
và ta gọi chung là các điểm vô tận
của trục thực. Ta ký hiệu tập mới xuất hiện như vật là

*
. Như vậy là

*
=  ∪ {−
∞
, +
∞
}. (1.4.2)
Tập hợp R
*
ta sẽ gọi là trục thực mở rộng. Cuối cùng ta chú ý thêm là
−
∞
< a < +
∞
,
∀

yx=
cho tương ứng mỗi
x
A
∈
với một và chỉ một
∈
y
B
, nên là một ánh xạ
từ
A tới B
Để diễn tả
f là ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B ta viết f: A→ B hay
⎯⎯→
f
AB
và gọi
A là tập xác định của ánh xạ f.
Phần tử
yB∈ tương ứng với
x
A
∈
bởi qui luật f gọi là ảnh của x và x được gọi là
nghịch ảnh của
y và ta viết:
() hay ()yfx x yfx
=
= .

=
⇒= (1.3.4)
ví dụ như ánh xạ được cho bởi sin
x là đơn ánh từ tập hợp
{|0 }
2
∈<<xx
π
lên tập hợp
{|0 1}
∈
<<yy
.
Ví dụ 4: Xét ánh xạ cho bởi qui luật
2
y
x
=
. Vì phương trình
=
∈ 
2
, yxy có hai nghiệm
khác nhau
x
1
và x
2
nếu y > 0, có nghĩa là f(x
1

Ví dụ 7: Cho ∈ ,x [x] ký hiệu phần nguyên của x (nghĩa là [x] là số nguyên lớn nhất không
lớn hơn
x chẳng hạn [−4,5] = −4; [2] = 2; [2,5] = 2; [2,7] = 2). Ta có [x]
≤
x≤ [x]+1.
Ánh xạ →:f cho bởi qui luật
y=[x] không phải là song ánh.
1.3.3 Ánh xạ ngược
Giả sử f là một ánh xạ tập hợp A lên tập hợp B. Khi đó ứng với mỗi phần tử có một và chỉ
một
x
A∈
sao cho yfx()
=
. Ánh xạ cho tương ứng phần tử
y
B
∈
với phần tử
x
A∈
sao
cho yfx()= gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ
f kí hiệu là f
1
−
.
Như vậy
fBA
1

1.3.4 Hợp (tích) của hai ánh xạ
Cho hai ánh xạ:
: vµ :gM A f A B→→.
Xét ánh xạ từ tập
M tới tập hợp B được xác định như sau:
(())
x
MzfgxB
∈
→= ∈. (1.3.6)
Ánh xạ này gọi là hợp của ánh xạ g và ánh xạ
f (hay tích của g và f ), ký hiệu là fg
Như vậy
:fgM B→

() (()),fgx fgxxM
=
∈ . (1.3.7)
Ví dụ 9: Ánh xạ cho bởi qui luật sinx
2
,
∈
Rx là hợp của ánh xạ trong cho bởi qui luật x
2
,
∈ x và ánh xạ ngoài được cho bởi qui luật siny,
∈
y
Ánh xạ sin
2

4)
d(a,b) + d(b,c)
(,)≥ dac
.
1.3 Hãy chứng minh mệnh đề “tập hợp ⊂ M là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại số thực r>0
sao cho: |
x|≤ r
x
M∀∈ .
1.4 Cho
⊂ 
X
. Định nghĩa: (−X) = {−x|x
∈
X}
Hãy chứng minh:
1) inf(−
X) = −sup X
2) sup(−X)= −inf X
1.5 Cho ⊂ ,XY . Định nghĩa
X+Y = {
∈
∃∈ ∃∈ = +R| , ,axXyYaxy}
{R| , , }
X
Ya xXyYaxy= ∈∃∈∃∈ =
Nghĩa là
X+Y là tập hợp các số thực có dạng x+y với ,
x
Xy Y

*
M . Chứng minh rằng:
inf inf sup sup≤≤ ≤MM.
1.7 Cho ⊂ 
A
và {| : }FffAA
=
→ . Chứng minh rằng nếu f,g,h
∈
F và i là ánh xạ đồng
nhất trên tập
A, tức là i(x) =x, ∀ x
∈
A thì:
1)
() ()fghf gh= ,
2)
fi f= .
1.8 Cho F là tập hợp nói trên và

18
*
{| :FffAA=→ và f là đơn ánh}
Chứng minh rằng nếu
f,g∈F
*
thì
1) fg
 ∈ F
*
19

Chương 2
Giới hạn của dãy số và hàm số
2.1 Giới hạn của dãy số
2.1.1 Định nghĩa dãy số
Cho
*

={1,2,3,…} là tập hợp các số tự nhiên. Một ánh xạ f:
*

→  được gọi là
một dãy số thực. Nếu đặt x
n
= f(n) thì ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng:
123
,,, ,,
n
xxx x (2.1.1)
Phần tử
x
n
được gọi là số hạng thứ n của dãy số.
Để cho gọn ta sẽ ký hiệu dãy số bằng {

xx x
nn
(2.1.4)
123 21 2
11 1 1 1 1
, : , 1, , , , ,
22 1 2 4 2 2 1
−
⎧⎫
=== = =
⎨⎬
−−
⎩⎭
nn
xxx x x
nn n n
(2.1.5)
Ta thấy rằng các số hạng của dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) gần 0 tuỳ ý khi n tăng, các số
hạng của dãy (2.1.4) gần 1 tuỳ ý khi n tăng. Ta nói rằng dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) có giới hạn
0, còn dãy (2.1.4) có giới hạn 1.
Bây giờ ta đưa ra định nghĩa chính xác về giới hạn của dãy.
Định nghĩa 1: Ta nói rằng số a là giới hạn của dãy {x
n
} nếu đối với mọi số dương
ε
bé tuỳ
ý đều tìm được một số
∈ 
*
p sao cho ∀> ∈

ε
.

20
Khoảng mở (
a−
ε
, a+
ε
) có tâm tại điểm a được gọi là lân cận của điểm a. Như vậy, để a
là giới hạn của dãy {x
n
} thì với lân cận bé bất kỳ của điểm a tất cả các phần tử x
n
của dãy
bắt đầu từ một chỉ số nào đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận đó chỉ
có thể có một số hữu hạn các phần tử
x
n
).

Hình 2.1.1

Nếu dãy (2.1.1) có giới hạn, ta nói rằng nó hội tụ, nếu không có giới hạn được gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 1
Hãy chứng minh dãy
⎧⎫
⎨⎬
+

11
ε
⎡⎤
=−+
⎢⎥
⎣⎦
p
ε
(phần nguyên của (
1
1
ε
−
)) thì np
ε
∀
> ta có: |x
n
− 1|<
ε
.
Do đó
lim 1.
1
→∞
=
+
n
n
n

|= |(x
n
− a)+ ( a −x
n+1
)|
≤
| x
n
− a|+| x
n+1
− a|
n
< 1+1 = 2
điều này mâu thuẫn với tính chất của các số hạng của dãy (2.1.8) là: |
x
n
– x
n+1
|= 2 ∀∈
*
n .

21
2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ
a) Tính duy nhất
Định lý 2.1.1 Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử dãy: (2.1.1) có hai giới hạn khác nhau a và b với a< b
Ta lấy số
ε

2
sao cho với
n>p
2
ta có:
|
x
n
– b|<
ε

tức là
b –
ε
< x
n
< b+
ε
(2.1.10)
Nếu lấy
n > max(p
1
, p
2
) thì b –
ε
< x
n
< a+
ε

x
a ≤
n
−
x
a nên
n
x
< a + 1
Gọi
k = max {|x
1
|,|x
2
|,|x
3
|,…,|x
n
|,|a|+1}. Khi đó|x
n
|
≤
k
∀
n=1,2,3,…, tức là dãy {x
n
} bị chặn.
Ta chú ý rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ.
Ví dụ:
Dãy có số hạng tổng quát x

được gọi là dãy con của dãy (2.1.1). Hiển nhiên dãy con của dãy (2.1.12) cũng là dãy con của
dãy (2.1.1).
Ta chú ý rằng
n
k ≥ n
∀
n
∈

*
. (2.1.13)
Thật vậy
k
1
≥ 1, cho nên k
2
>1 và do đó k
2
≥ 2, bởi vì k
2
là số tự nhiên.
Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được
n
k ≥ n, ta nhận được
1n
kn
+
> và do đó
+
≥+

Chứng minh:
Giả sử dãy (2.1.1) có cùng giới hạn
a và {
n
k
x
} là một dãy con của dãy (2.1.1). Ta hãy
chứng minh dãy {
n
k
x
} cũng có giới hạn là a. Đặt y
n
=
n
k
x
.
Giả sử cho trước
ε
>0 vì lim ,
→∞
=
n
n
x
a nên tồn tại số p sao cho với n>p ta có
||
−
<

n
n
x
a
→∞
=
lim
n
n
y
b
Khi đó:
(i)
→∞
+
=+lim( )
nn
n
x
yab (2.1.18)
(ii)
→∞
=lim( )
n
n
cx ca;
→∞
+=+lim( )
n
n

a
yb
với
n
y ≠ 0, b
≠
0. (2.1.22)

23
Chứng minh:
(i) Vì ,
nn
x
ay b→→ nếu với
ε
>0 ta tìm được p
1
và p
2
sao cho: khi n>p
1
thì |x
n
–
a|<
2
ε
, khi n>p
2
thì |y

1
, p
2

sao cho:
khi
n>p
1
thì |x
n
− a|<
ε
, khi n>p
2
thì |y
n
−b|<
ε
.
Gọi
p =max(p
1
,p
2
) thì khi n>p ta có:
||||.||.,−<+ +
nn
xy ab a b
ε
εε

b
|<
1
||
2
b
,
suy ra
−
1
||
2
b
<|y
n
| −|b|<
1
||
2
b

Từ bất đẳng thức trên suy ra khi
n >m thì
|
y
n
| >
1
||
2

nn
yb
yb
yb by b
ε
, điều này chứng tỏ rằng
11
khi →→∞
n
n
yb
.
(v) Kết luận này là hệ quả của (iii) và iv
d) Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bất đẳng thức
Định lý 2.1.5 Giả sử lim lim
→∞ →∞
<
nn
nn
x
y . Khi đó tìm được một số p sao cho với n>p thì
<
nn
x
y .

24
Chứng minh: Đặt
lim , lim
nn

2
>np thì
−
<<+
n
byb
ε
ε
.
Nếu gọi
p =max(
12
,pp) thì bất đẳng thức:
,<+=−< ∀>
nn
x
abynp
ε
ε
được thoả mãn.
Do đó:
,<∀>
nn
x
ynp.
Chú ý:
Trường hợp đặc biệt khi
*
, =∀∈
n

>np ta có .>
n
ya
Định lý 2.1.6 Cho hai dãy số {x
n
} và {y
n
}. Khi đó:
(i)
Nếu
→→∞
≥==≥
∞
vµ lim , lim th×
nn n n
nn
x
yxaybab
(ii)
Nếu {z
n
} là một dãy thoả mãn
→∞ →∞ →∞
≤≤∀ = = = vµ lim lim th× lim .
nnn n n n
nn n
x
yzn x za ya

Chứng minh:

<r và y
n
>r, nghĩa là x
n
<y
n
, và điều này mâu
thuẫn với giả thiết.
(ii) Vì x
n
a→ nên với 0
ε
> cho trước tìm được p
1
sao cho khi n >p
1
thì:
|
| hay
nn
xa a xa
ε
εε
−< −< <+.
Tương tự, vì
n
za→ , ta tìm được p
2
sao cho khi n>p
2

a→ , điều phải chứng minh.
2.1.3 Giới hạn vô hạn
Định lý 2.1.7 Cho dãy số {x
n
}. Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p
sao cho
,np∀>
ta có x
n
>M, thì ta nói rằng dãy {x
n
} có giới hạn cộng vô cùng và ký hiệu là

25
lim
n
n
x
→∞
=
+∞ .
Nếu với mọi
M >0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p sao cho
,np∀>
ta có x
n
< –
M, thì ta nói rằng dãy {x
n
} có giới hạn trừ vô cùng và ký hiệu là

*
1

+
≥∀∈
nn
xx n (2.2.4)
dãy (2.2.1) là giảm.
Nếu như
*
1

+
>∀∈
nn
xx n (2.2.5)
thì ta nói rằng dãy (2.2.1) thực sự giảm.
Các dãy nói trên gọi chung là các dãy đơn điệu. Tất cả các dãy đơn điệu tạo nên một lớp
dãy rất quan trọng. Bây giờ đối với những dãy này ta có hai định lý quan trọng sau.
Định lý 2.2.1 Giả sử dãy (2.2.1) là không giảm. Nếu như dãy không bị chặn trên thì
lim
→∞
=+∞
n
n
x . (2.2.6)
Nếu như dãy bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn
1,2,
lim sup
→∞

(ii) Giả sử dãy(2.2.1) bị chặn trên, ta đặt