Môc lôc
i
ii
Lời nói đầu
Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích (theo
chúng tôi) hay nhất thế giới .
Trớc đây, hầu hết những ngờilàmtoáncủaViệtNamthờngsửdụnghaicuốn
sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đ đợc dịch ra tiếng Việt):
1.
Bài tập giải tích toán học
của Demidovich (
B. P. Demidoviq; 1969,
Sbornik Zadaq i Upraẳneniái po Matematiqeskomu Analizu, Izdatel~stvo
"Nauka", Moskva
)
và
2.
Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập
của Ljaszko, Bojachuk, Gai,
Golovach (
I. I. Lxko, A. K. Boquk, . G. Ga
á
, G. P. Golobaq; 1975, Matem-
atiqesk i
á
Analiz v Primerah i Zadaqah, Tom 1, 2, Izdatel~stvo Vixa
Xkola
).
để giảng dạy hoặc học giải tích.
Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai cho lời
giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác.

Real Numbers, Sequences and Series
, AMS, 2000.
4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak,
Problems in Mathematical Analysis II,
Continuity and Differentiation
,AMS,2001.
Sáchnàycócácuđiểmsau:
Các bài tập đợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay.
Lời giải khá đầy đủ và chi tiết.
Kết hợp đợc những ý tởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại.
Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng nh,
Americ an M athemati-
cal Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng Nga), Delta
(tiếng Balan)
. Vìthế,sáchnàycóthểdùnglàmtàiliệuchocáchọcsinh
phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh cho các sinh viên đại học ngành toán.
Cáckiếnthứccơbảnđểgiảicácbàitậptrongsáchnàycóthểtìmtrong
5. Nguyễn Duy Tiến,
Bài Giảng Giải Tích, Tập I
, NXB Đại Học Quốc Gia Hà
Nội, 2000.
6. W. Rudin,
Principles of Mathematical Analysis
,McGraw-HilBook
Company, New York, 1964.
Tuyvậy,trớc mỗi chơng chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc
nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong chơng tơng ứng.
Lời nói đầu v
Tập I và II của sách chỉ bàn đến
hàm số một biến số

+
-tậpcácsốthựcdơng
Z - tập các số nguyên
N - tập các số nguyên dơng hay các số tự nhiên
Q -tậpcácsốhữutỷ
(a; b ) -khoảngmởcóhaiđầumútlàa và b
[a; b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b
[x] - phần nguyên của số thực x
Với x 2 R,hàmdấucủax là
sgn x =
8
>
<
>
:
1 với x>0;
Ă1 với x<0;
0 với x =0:
Với x 2 N,
n!=1Â 2 Â 3 Â ::: Â n;
(2n)!! = 2 Â 4 Â 6 Â ::: Â (2n Ă 2) Â (2n);
(2n Ă 1)!! = 1 Â 3 Â 5 Â ::: Â (2n Ă 3) Â (2n Ă 1):
Ký hiệu
Ă
n
k
Â
=
n!
k!(nĂk)!

Cho S là tập các điểm tụ củ a dy fa
n
g.Cậndới đúng và c ận trên đúng của
dy,kýhiệulầnlợt là lim
n!1
a
n
và lim
n!1
a
n
đợc xác định nh sau
lim
n!1
a
n
=
8
>
<
>
:
+1 nếu fa
n
g không bị chặn trên;
Ă1 nếu fa
n
g bị chặn trên và S = ;;
sup S nếu fa
n

6=0với n á n
0
và
dy fa
n
0
a
n
0
+1
 :::  a
n
0
+n
g hội tụ khi n !1tới một giới hạn P
0
6=0.Số
P = a
n
0
a
n
0
+1
Â::: Â a
n
0
+n
 P
0

kéo theo
f(x
1
) f(x
2
)
(tơng ứng
f(x
1
) <f(x
2
)
,
f(x
1
) á f(x
2
)
,
f(x
1
) >f(x
2
)
). Hàm tăng h ay giảm
(tơng ứng, tăng thực sự hay giảm thực sự) gọi là hàm đơn điệu (tơng ứng,
đơn điệu thực sự)
Định nghĩa 2. Tập
(a Ă"; a + ") nfag
,ởđây

á
;a;b>0;
(d)
lim
x!0
[x]
x
;
(e)
lim
x!1
x(
p
x
2
+1Ă
3
p
x
3
+1);
(f)
lim
x!0
cos(
ẳ
2
cos x)
sin(sin x)
:

(f(x)+
1
f(x)
)=2
.
Chứng minh rằng
lim
x!0
f(x)=1
.
1.1.4.
Giả sử
f
đợc xác định trên lân cận khuyết của
a
và
lim
x!a
(f(x)+
1
jf(x)j
)=
0
.Tìm
lim
x!0
f(x)
.
1.1.5.
Chứng minh rằng nếu

lim
x!0
+
(x([
1
x
]+[
2
x
]+ÂÂÂ+[
k
x
]));k2 N
.
1.1.7.
Tính
lim
x!1
[P (x)]
P (jxj)
,ởđây
P (x)
làđathứcvớihệsốdơng.
1.1.8.
Chỉrabằngvídụrằngđiềukiện
lim
x!0
(f(x)+f(2x)) = 0(Ô)
không suy ra
f

f(x)
không tồn tại.
(b) Chứng minh rằng nếu trong một lân cận khuyết của
0
, các bất đẳng
thức
f(x) ájxj
đ
;
1
2
<đ<1;
và
f(x)f(2x) ájxj
đợc thoả mn, thì
lim
x!0
f(x)=0
.
5
1.1.10.
Cho trớc số thực
đ
,giảsử
lim
x!1
f(ax)
x
đ
= g(a)

a>1
và
đ 2 R
thì
(a)
lim
x!1
a
x
x
=+1;
(b)
lim
x!1
a
x
x
đ
=+1:
1.1.13.
Chứng minh rằng nếu
đ>0
,thì
lim
x!1
ln x
x
đ
=0


ả
x
= e;
(c)
lim
x!1
(1 + x)
1
x
= e:
1.1.16.
Chứng minh rằng
lim
x!0
ln(1+x)=0
. Dùng đằng thức n ày, suy ra hàm
logarit liên tục trên
(0; 1)
.
1.1.17.
Tính các giới hạn sau :
(a)
lim
x!0
ln(1 + x)
x
;
(b)
lim
x!0

lim
x!0
(cos x)
1
sin
2
x
;
(d)
lim
x!1
(e
x
Ă1)
1
x
;
(e)
lim
x!0
(sin x)
1
ln x
:
6 Chơng 1. Giới hạn và tính liên tục
1.1.19.
Tìm các giới hạn sau:
(a)
lim
x!0

(1 + x
2
)
cotg x
:
1.1.20.
Tính
(a)
lim
x!1
(tg
ẳx
2x +1
)
1
x
;
(b)
lim
x!1
x(ln (1 +
x
2
) Ă ln
x
2
):
1.1.21.
Giả sử rằng
lim

= e

.Trờng hợp
= 1
hoặc
= Ă1
,tagiảsử
e
1
= 1
và
e
Ă1
=0
.
1.1.22.
Biết rằng
lim
x!0
f(x)=1
và
lim
x!0
g(x)=1
. Chứng minh rằng nếu
lim
x!0
g(x)(f(x) Ă 1) =
,thì
lim

x
2
sin
1
x
4

e
1
x
2
,
(c)
lim
x!0

1+e
Ă
1
x
2
arctg
1
x
2
+ xe
Ă
1
x
2

lim
x!1
f(x)
có tồn tại không ?
1.1.26.
Cho
f :[0; +1) ! R
là hàm sao cho với mọi
a á 0
và mọi
b>0
,
dy
ff(a + bn)g;aá 0;
hội tụ tới không. Hỏi giớ i hạn
lim
x!1
f(x)
có tồn tại
không ?
7
1.1.27.
Chứng minh rằng nếu
lim
x!0
f(x)=0
và
lim
x!0
f(2x)Ăf(x)

f
xác đ ịnh trên
(a; +1)
,bịchặndới trên mỗi khoảng hữu
hạn
(a; b) ;a < b
. C hứng minh rằng nếu
lim
x!+1
(f(x +1)Ă f(x)) = +1
,thì
lim
x!0
f(x)
x
=+1
.
1.1.30.
Cho
f
xác định trên
(a; +1)
, bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn
(a; b) ;a<b
. Nếu với số nguyên khô ng âm
k
,
lim
x!+1
f(x+1)Ăf(x)

x!+1
f(x+1)
f(x)
tồn tại, thì
lim
x!+1
f(x)
1
x
cũng tồn tại và
lim
x!+1
(f(x))
1
x
= lim
x!+1
f(x +1)
f(x)
:
1.1.32.
Giả thiết rằng
lim
x!0
f

Ê
1
x
Ô

x!0
f
Ă
x
Ă
1
x
Ă
Ê
1
x
ÔÂÂ
=0
,thì
lim
x!0
f(x)=0
.
1.1.35.
Chứng minh rằng nếu
f
đơnđiệutăng(giảm)trên
(a; b)
,thìvới
mọi
x
0
2 (a; b)
,
(a)

Ă
0
)= inf
x<x
0
f(x));
(c) f(x
Ă
0
) f(x
0
) f(x
+
0
)(f(x
Ă
0
) á f(x
0
) á f(x
+
0
)).
1.1.36.
Chứng minh rằng nếu
f
đơnđiệutăngtrên
(a; b)
,thìvớimọi
x

khi
x ! a
, điều kiện cần và đủ là với mọi
">0
tồn tại
>0
sao cho
jf(x) Ăf(x
0
)j <"
bất cứ khi nào
0 < jx Ăaj <
và
0 < jx
0
Ăaj <
. Lập công
thức và chứng minh điều kiện cầ n và đủ tơng tự để
lim
x!1
f(x)
tồn tại.
1.1.38.
Chứng mi nh rằng n ếu
lim
x!a
f(x)=A
và
lim
y!A

x!a
g(f(x)) 6= B
.
1.1.40.
Giả sử
f : R ! R
là hàm tăng và
x 7! f (x) Ă x
có chu kì
1
.Kíhiệu
f
n
là phép lặp thứ
n
của
f
;tứclà,
f
1
= f
và
f
n
= f f
nĂ1
với
n á 2
. Chứng
minh rằng nếu

p
là số nguyên dơng cố định. Kí hiệu
f
n
là phép lặp
thứ
n
của
f
.Chứngminhrằngnếu
m
p
là số nguyên dơng nhỏ nhất sao cho
f
m
p
(0) > 0
,thì
p
m
p
lim
n!1
f
n
(0)
n
lim
n!1
f

f
n
kí
hiệu phép lặp thứ
n
của
f
.
9
1.2 Các tính chất của hàm liên tục
1.2.1.
Tìm tất cả các đ iểm li ên t ục của hàm
f
xác định bởi
f(x)=
(
0 nếu
x
vô tỷ,
sin jxj
nếu
x
hữu tỷ.
1.2.2.
Xácđịnh tập các điểm li ên tục của hàm
f
đợc cho bởi
f(x)=
(
x

nguyên tố cùng nhau,
(b)
f(x)=
8
>
<
>
:
jxj
nếu
x
vô tỷ hoặc
x =0
,
qx=(qx +1)
nếu
x = p=q; p 2 Z;q2 N
,và
p; q
nguyên tố cùng nhau,
(Hàm định nghĩa ở
(a)
đợc gọi là hàm Riemann.)
1.2.4.
Chứng minh rằng nếu
f 2 C([a; b])
,thì
jfj2C([a; b])
. Chỉ ra bằng ví
dụ rằng điều n gợc lại không đúng.

với
x 2 R
. Nghiên cứu tính liên tục của
f
.
1.2.7.
Biết
f(x)=[x]+(x Ă [x])
[x]
với
x á
1
2
:
Chứng minh rằng
f
liên tục và tăng thực sự trên
[1; 1)
.
10 Chơng 1. Giới hạn và tính liên tục
1.2.8.
Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau đây và vẽ đồ thị của chúng
(a)
f(x) = lim
n!1
n
x
Ăn
Ăx
n

q
4
n
+ x
2n
+
1
x
2n
;x6=0;
(e) f(x) = lim
n!1
2n
p
cos
2n
x +sin
2n
x; x 2 R:
1.2.9.
Chứng minh rằng nếu
f : R ! R
liên tục và tuần hoàn thì nó có giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
1.2.10.
Cho
P (x)=x
2n
+ a
2nĂ1

nhng không có giá tr ị nhỏ nhất
trên mọi đoạ n
[a; b] ẵ [0; 1];a<b
.
1.2.12.
Cho
f : R ! R;x
0
2 R
và
>0
,đặt
!
f
(x
0
;)=supfjf(x) Ă f(x
0
)j : x 2 R; jx Ă x
0
j <g
và
!
f
(x
0
)= lim
!0
+
!

f
1
;f
2
;f
3
2 C([a; b])
và với
x 2 [a; b]
,đặt
f(x)
là một trong ba giá trị
f
1
(x);f
2
(x)
và
f
3
(x)
mà nằm giữa hai giá t rị còn lại. Chứng minh rằng
f 2 C([a; b])
.
1.2.14.
Chứng minh rằng nếu
f 2 C([a; b])
,thìcáchàmđợc xác định bởi
m(x)=infff(): 2 [a; x]g
và

và
lim
x!1
f(x)
hữu hạn. Chứng minh rằng
f
bị chặn trên
[a; 1)
.
1.2.18.
Cho
f
là hàm liên tục trên
R
và đặt
fx
n
g
là dy bị chặn. Các bất
đẳng thức sau
lim
n!1
f(x
n
)=f( lim
n!1
x
n
)
và

(b)
lim
n!1
f(x
n
)=f( lim
n!1
x
n
):
1.2.20.
Cho
f : R ! R
là hàm liên tục, giảm và gọi
fx
n
g
là dy bị chặn.
Chứng minh rằng
(a)
lim
n!1
f(x
n
)=f(lim
n!1
x
n
);
(b)

(b)
g
có liên tục không ?
1.2.22.
Cho
f : R ! R
là hàm tuần hoàn liên tục với hai chu kì không thông
ớc
T
1
và
T
2
; tức là
T
1
T
2
vô tỷ. Chứng minh rằng
f
là hàm hằng. Cho ví dụ
hàm tuần hoàn khác hàm hằng có hai chu kì không thông ớc.
1.2.23.
(a) Chứng minh rằng nếu
f : R ! R
là hàm liên tục, tuần hoàn, khác hàm
hằng, thì nó có chu kì dơng nhỏ nhất, gọi là chu kì cơ bản.
(b) Cho ví dụ hàm tuàn hoàn khác hàm hằng mà không có chu kì cơ bản.
(c) Chứng minh rằng nếu
f : R ! R

Cho ví d ụ hai hàm tuần hoàn
f
và
g
sao cho mọi chu kì của
f
không
thông ớcvớimọichukìcủa
g
và sao cho
f + g
(a) không tuần hoàn,
(b) tuần hoàn.
1.2.27.
Cho
f;g : R ! R
là các hàm liên tục và tuần hoàn lần lợt với chu
kì cơ bản dơng
T
1
và
T
2
.Chứngminhrằngnếu
T
1
T
2
=2 Q
,thì

n
n
X
k=1
(Ă1)
k
f(
k
n
)=0:
1.2.31.
Cho
f
liên tục trên
[0; 1]
. Chứng minh rằng
lim
n!1
1
2
n
n
X
k=0
(Ă1)
k
à
n
k
ả

1
+(1Ă á)x
2
) áf(x
1
)+(1Ă á)f(x
2
)
với mọi
x
1
;x
2
2 I
và
á 2 (0; 1)
.Chứngminhrằngnếu
f
lồitrênkhoảngmở,
thì nó liên tục. Hàm lồi trên khoảng bất kì có nhất thiết liên tục không ?
1.2.34.
Chứng minh rằng nếu dy
ff
n
g
các hàm liên tục trên
A
hộitụđều
tới
f

b
sao cho
f(c)=v
.
1.3.1.
Cho các ví dụ các hàm có tính chất giá trị trung gian trên khoảng
I
nhng không liên tục trên khoả ng này.
1.3.2.
Chứng minh rằng hàm tăng thực sự
f :[a; b] ! R
có tính chất giá trị
trung gia n thì liên tục trên
[a; b]
.
1.3.3.
Cho
f :[0; 1] ! [0; 1]
liên tục. Chứng minh rằng
f
có điểm cố định
trong
[0; 1]
;tứclà,tồntại
x
0
2 [0; 1]
sao cho
f(x
0

x
0
sao cho
f
à
x
0
+
T
2
ả
= f(x
0
):
1.3.6.
Hàm
f :(a; b) ! R
liên tục. Chứng minh rằng, với
x
1
;x
2
;::: ;x
n
cho
trớc trong
(a; b)
,tồntại
x
0

0
<b
0
<a
1
<b
1
< ÂÂÂ <a
n
<b
n
, chứng minh rằng mọi nghiệm
của đa thức
P (x)=
n
Y
k=0
(x + a
k
)+2
n
Y
k=0
(x + b
k
);x2 R;
đều là thực.
1.3.9.
Giả sử
f

)=f(x
1
):
Giải thích ý nghĩa h ình học kết quả trên.
1.3.11.
Cho
f 2 C([0; 2])
. Chứng minh rằng tồn tại
x
1
và
x
2
trong
[0; 2]
sao
cho
x
2
Ă x
1
=1
và
f(x
2
) Ă f(x
1
)=
1
2

1.3.13.
Hàm liên tục
f
trên
[0;n];n2 N
,thoảmn
f(0) = f (n)
. Chứng minh
rằng với mọi
k 2f1; 2;::: ;nĂ 1g
, tồn tại
x
k
và
x
0
k
sao cho
f(x
k
)=f(x
0
k
)
,ở
đây
x
k
Ăx
0

0
k
= k
?
1.3.14.
6
Với
n 2 N
,gọi
f 2 C([0;n])
sao cho
f(0) = f(n)
. Chứng minh rằng
phơng trình
f(x)=f(y)
có ít nhất
n
nghiệm với
x Ăy 2 N
.
1.3.15.
Giả sử các hàm thực liên tục
f
và
g
xác định trên
R
giao hoán với
nhau; tức là,
f(g(x)) = g(f(x))

thì hoặc tăng thực sự,
hoặc giảm thực sự.
1.3.17.
Giả sử
f : R ! R
là dơn ánh liên tục. Chứng minh rằng nếu tồn tại
n
sao cho phép lặp thứ
n
của
f
là ánh xạ đồng nhất, tức là,
f
n
(x)=x
với
mọi
x 2 R
,thì
(a)
f(x)=x; x 2 R
,nếu
f
tăng thực sự,
(b)
f
2
(x)=x; x 2 R
,nếu
f

17
1.3.20.
Chứng minh rằng nếu
f : R ! R
có tính chất giá trị trung gian và
f
Ă1
(fqg)
đóng vớ i mọi
q
hữu tỷ, thì
f
liên tục.
1.3.21.
Giả sử
f :(a; 1) ! R
liên tục và bị chặn. Chứng minh rằng, với
T
cho trớc, tồn tại d y
fx
n
g
sao cho
lim
n!1
x
n
=+1
và
lim

i =1; 2;::: ;n
và
0=t
0
<t
1
<
ÂÂÂ<t
n
=1
, sao cho
f
đơnđiệutrênmỗikhoảngconđó.)Chứngminhrằng
f nhận một trong các giá trị của nó một số lẻ lần.
1.3.24.
Hàm liên tục
f :[0; 1] ! R
nhận mỗi gi á trị của nó hữu hạn lần và
f(0) 6= f(1)
. Chứng minh rằng
f
nhận một trong các giá trị của nó một số
lẻ lần.
1.3.25.
Giả sử
f : K ! K
liên tụctrên tập con compact
K ẵ R
. Ngoài ra,
giả sử

n!1
f
n
(0)
n
,thìtồntại
x
0
2 [0; 1]
sao cho
F (x
0
)=đ(f)
. Chứng minh thêm rằng
f
có điểm bất động
trong
[0; 1]
nếu và chỉ nếu
đ(f)=0
. (Xem các bài toán 1.1.40 - 1.1.42.)
1.3.27.
Hàm
f :[0; 1] ! R
thoả mn
f(0) < 0
và
f(1) > 0
,vàtồntạihàm
g