ÔN THI VÀO THPT
A-PHẦN ĐẠI SỐ
I-CĂN BẬC HAI –BẬC BA
A- Lí thuyết ( Đề cương ôn tập)
B- Bài tập
Bài 1: Không dùng máy tính hãy so sánh
a, 2
31
và 10 -3
26
và 15 -3
11
và -12
2
5
và 5
2

5335 va

23
.3 và
3
32
(căn bậc 3)
b,
3 3
7 15+
và 15 1 và
3
3 1−

+x
E=
14
2
−x

F=
12
2
+− xx
G=
542
2
++ xx
H=
105 −− x
I=
7
5
−−
−
x

J=
7
5
−−
−
x
x

U=
x
x
x 3
3
−++
Bài 3a, Cho A=
6 2 5+
và B=
6 2 5−
Tính A+B ;A-B ; A.B; A:B
3b, Cho C=
111036 +
và D=
111036 −
Tính C+D;C-D ; C.D ; C:D
Bài 4

Thực hiện phép tính
A=
423
2
423
2
+
−
−
B=
10067
1

.
3253 +−
G=(15
10:)4503200550 −+

I=
)154)(610)(154( −−+
J=(
)
32
1
:1(:)
12
22
23
323
++
+
+
+
+
Bài 5:Rút gọn các biểu thức sau
A=
549 −
-
5
B=
7823 −
-
7

-2
53−

I= 4
24057223 +−+
J=
−− 223
246 +
Bài 6: Tính A=
2062935 −−−
B=
4813526 +−+

C=
34710485354 +−++
D=
5122935 −−−
Bài 7: Rút gọn biểu thức
a, x-4-
42
816 xx +−
với x>4 d,
9696
22
+−+++ aaaa
với a bất kì
b,
12
12
++

ba
ba
−
−
−
−
−
33
với a
bab ≠≥≥ ;0;0
h,Tìm đk xác định của biểu thức sau đây rồi rút gọn
H
1
=
4444 −−+−+ xxxx
H
2
=
44
2
+−− xxx
Bài 8: Chứng minh đẳng thức
a,
1)).((
2
33
=
−
+
−

a
aa
−=
+
+
4)
1
với mọi a>0 ; a
≠
1
d,
3612 +++ xx
-
3612 +−+ xx
=6 với mọi x
≥
6
e, (
1
21
).
1
2
12
2
−
=
+
−
−

+
−
−
với mọi a
≥
0 ; a
≠
1
g,



>−
≤≤
=+−+++−−
622
624
224224
neuxx
xneu
xxxx
Bài 9:Tìm gía trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau
A=x
2
- 4x +1 B=4x
2
+4x+11
C=3x
2
-6x+1 D=2+x-x

++
+
xx
x

a,Rút gọn A
b,Tính gía trị của A tại x=3 ( KQ: A= =2)
10.2 B=(
)1
1
1
(:)1
1
1
2
+
−
−+
+
x
x
x
với -1<x<1
a,Rút gọn B
bTính gía trị của B tại x=4
52 −
( KQ: B=
x−1
= =2-
2

+
+
−
+
4
51
2
2
2
1
với mọi x
4;0 ≠≥ x
)
a,Rút gọn D
b,Tìm x để D=2
10.5 Đ =(
)
2
1
(:)
1
1
11
2 −
−
+
++
+
−
+ x

x
x
x
( với x>0 ;x
≠
1 và x
≠
4)
1; Rút gọn E
2; Tìm x để E=0
10.7 F=
x
x
x
x
xx
x
+
+
−
−
−
+−
−+
−
3
32
1
23
32

xx
xx

a,Rút gọn G
b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị đó
10.9 H=
4
12
+
−−
x
xx
,Rút gọn H ( KQ: H=3-
x
≤
3 vì
bTìm x để H có giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó
10.10 I=
x
x
x
x
xx
x 1
).
1
2
12
2
(

1
2
2
1
2
393
(với mọi x
1;0 ≠≥ x
).
a,Rút gọn J ( KQ J =
1
3
−
−
x
x
bTính gía trị nguyên của x để J có giá trị nguyên ( x=0;4;9)
10.12 K=
x
x
x
x
xx
x
−
+
+
−
+
+

1
1
1
1
1
2

a,Rút gọn M
bTính gía trị của M nếu x=28-6
3
( M=
1++ xx
x
= =
3328
133
−
−
= )
c, C/m rằng M <
3
1
(xét hiệu và c/m hiệu <0)
10.14 N =1+(
12
).
1
2
1
12

)3(3
33
2
−
−
−
−
+
−
−
+
+ x
x
x
x
x
x
x
x
với mọi x
9;0 ≠≥ x
)
a,Rút gọn P
b,Tìm x để P<-1 (KQ:
1
3
)3(3
−<
+
−

c,Tìm x đẻ Q=2
d,Tìm x đẻ Q có giá trị nhỏ nhất
HÀM SỐ Y=a x+b (a
≠
0) HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=(3-a) x+8
a, Với giá trị nào của a thì hàm số là hàm số bậc nhất
b,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R ?
c, Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R ?
d,Nếu a=5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến ?
e, Tính f(-4); f(0); f(5)
Bài 2: Cho hàm số y= k x+(k
2
-3)
(d)

a, Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ
b, Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng có phương trình y=-2x+10
Bài 3: Cho đường thẳng (d) có phương trình : y=k
2
x+(m+3),và đường thẳng (d’) có phương
trình : y=(3k-2)x+(5-m) .Xác định k và m để 2 đường thẳng trùng nhau
Bài 4:Cho 2 hàm số : y=(k-1) x+3 và y= (2k+1)x -4
a,Xác định k để 2 đường thẳng cắt nhau
b, Xác định k để 2 đường thẳng song song với nhau
c, Hai đường thẳng có trùng nhau được không? Vì sao?
Bài 5: Cho 3 đường thẳng: y=kx-2 (d
1
) ; y=4x +3 (d
2

c, Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=2-3x và cắt trục tung tại điểm có tung độ là
1
d,Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với trục hoành và trục tung
Bài 8:Cho 3 điểm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k)
a, Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
b, Tìm k để 3 điểm A;B;C thẳng hàng
Bài 9: Cho 3 đường thẳng: y=2x-7 d
1
) ; y=x +5 (d
2
) ; y=k x+5 (d
3
)
a,Tìm toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
)
b, Tìm k để 3 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 10: a,Vẽ đồ thị của 3 hàm số sau trên cùng 1 hệ trục toạ độ : y=-x+5
(1)
; y=4x
(2)
; y=
4
1
x
(3)
b, Gọi giao điểm của đường thẳng có phương trình (1) với các đường thẳng có phương
trình (2) và (3) là A và B .Tìm toạ độ các điểm A và B

c
1
. Vuông góc vớiđường thẳng có phương trình x-2y=3
c
2
. Song song với đường thẳng có phương trình 3x+2y=1
c
3
.Trùng với đường thẳng có phương trình y-2x+3 =0
Bài 13: Cho hàm số y=(2m-1)x+ n -2 (1)
a) Xác định m;n để đường thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=
3
và cắt
trục tung tại điểm có tung độ y=-
2
b) Xác định m;n để đường thẳng (1)đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đường thẳng có
phương trình 2x-5y=1
Bài 14: Cho hệ phương trình



=+
=−
1
2
byax
bayx
a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=(
)3;2

Bài 17:Cho hệ phương trình



=+
=+
12
12
ymx
myx
b) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số nguyên
KQ:( Với m
2±≠
hệ có ng duy nhất: x=y=
2
1
+m
; x=y
∈
Z <=>1

m+2 <=>
Bài 18:Cho hệ phương trình



=+
−=+
4

m
∈
N<=>
2
10
1
2
10)2(
+
+−=
+
++−
mm
m
∈
N<=>10

m+2 )
Bài 19:Cho hệ phương trình



+=−
−=−−
52
13)1(
myx
mmyxm
a)Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S=x

=+
12
2
ymx
myx
a)Giải hệ khi a=2
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y<0
c)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số dương
KQ: ( hệ có ng vơi mọi m : x=
2
12
;
2
4
22
+
−
=
+
+
m
m
y
m
m
; )
Bài 22: Giải các hệ phương trình sau
a)



yx

c)





=−+−
=−−−
1222
32423
yx
yx
(đk x;y
≥
2 ) d)





=+
=
−
+
+
+
−
5

5
yx
x
y
y
x
tương tự câu c đặt ẩn phụ
t
x
y
=
+
−
12
1
(t>0) Khi đó
ty
x 1
1
12
=
−
+

Bài 23: Giải các hệ phương trình sau ( Nâng cao)
)






=−+
=+



=−
=+
03
31
0
31
2
2
yx
yx
yx
yx
b)





=++
=++
2
4
22
yxyx




=+
=++
84
19
22
xyyx
xyyx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u và v là 2 nghiệm của pt k
2
-19k+84=0
=> k
1
=7; k
2
=12 <=>



=+
=
7
12
yx
xy

e)


22
xyyx
xyyx
tương tự câu d
h)





=+
=+
6
13
5
x
y
y
x
yx
đk x; y
0≠
Bài 24:a) cho hệ ph /t



=+
−=−
25
43

myx
mxy
2
212
22
Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt .Tìm nghiệm đó
( đưa về dạng



−=
=−
122
1)(
2
mxy
yx
thì xảy ra 2 hệ rồi giải )
Bài 26: Cho hệ ph /t





++−−=+−
−+=+−+
kkxyxyy
yykyxx
22)1(422
484)42(

1
−
); m=-
2
thì hệ có nghiệm (-
2
1
;
2
1
)
HÀM SỐ Y=a x
2
(a
≠
0)
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y=ax
2
và Y=a x+b
Bài 1: Cho Parabol (P): y=
2
1
x
2
và đường thẳng (d) có phương trình : y=2x-2
Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất.Xác định toạ độ
điểm chung đó
Bài 2: Cho Parabol (P): y=
4
1

2
và điểm N(m;0) và I(0;2) với m
≠
0 .Vẽ (P)
a)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm N; I
b)C/m rằng (d)và (P) luôn cắt nhau tại 2 diểm phân biệt A và B với mọi m
≠
0
c) Gọi H;K là hình chiếu của A và B lên trục hoành . c/m rằng tam giác HIK vuông tại I
Bài 7: Cho Parabol (P): y=x
2

a) Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lượt có hoành độ là -1 và 2.C/m
∆
OAB vuông tại A
b) Viết phương trình đường thẳng (d
1
) // AB và tiếp xúc với (P)
c) Cho đường thẳng (d
2
) : y=mx+1 (với m là tham số )
+C/m rằng đường thẳng (d
2
) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
+Tìm m sao cho đường thẳng (d
2
)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là x
1
và
x

-2,5x -1=0 6)
0324
4
1
2
=−−++ xx
2) -x
2
+4x+3=0 7)
0347144 =−−++ xx
3) x
2
-2(1+
3
)x +2
3
+1=0 8)
15 =−− xx
( Lập bảng xét dấu)
4) x
2
–(
06)32 =++ x
9)
x
x
x
x
x
x

2
-6=0
2)
1
1
1
1
+
−
+
−
+
x
x
x
x
=3 Đặt
t
x
x
=
−
+
1
1
(đk x
≠
±
1)
3) (x

+b
2
= 0 <=>



=
=
0
0
b
a

7) (x-
)
2
x
2
+x-
x
2
- 2=0 Đặt x-
x
2
=t (đk x
≠
0)
8) (x+
05)
1

xxx
MTC: x(x-2)(x+2) => ng x=3 lưu ý ĐKXĐ
(x+
2
)
2
1
+6x +11=0 Tách 11=
2
6
+8 rồi Đặt x +
2
1
=t
Bài 3; Giải phương trình (có nhiều phương pháp)
1)
xx =++ 11
(đk ; dùng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phương 2 vế hoặc
2) x-1=
1+x
Vận dụng t/c đại số :
2 2 2 2
0
; 0
a
a b a b a b
b o
=

= ⇔ = ± + = ⇔

=
2
3
(đk t>0 ; x>1 hoặc x<-1)
6)
121 =+−− xx

7)
341 =++− xx
8)
24
2
−=− xx
9)
513416123
22
=+−++− yyxx
(ta có
44)2(316123
22
≥+−=+− xxx
Nên
216123
2
≥+− xx
;
3134
2
≥+− yy
10)

≠
0)
-Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải
-Nếu a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
- Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích
-Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ước của
hạng tử tự do , giả sử 3 nghiệm là x
1
;x
2
;x
3
thì x
1
+x
2
+x
3
=-b/a
x
1
.x
2.
x
3
=-d/a
x
1
.x
2

-29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x
2
+5x-24 )=0
Bài 4.2 Giải phương trình sau 4x
4
– 109x
2
+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phương trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0
( x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ;a
≠
0 )
(Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng
nhau )
phương pháp giải gồm 4 bước
-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x
2
(đk x
≠
0) rồi
nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được phương trình
mới
-Đặt ẩn phụ : (x+

-27x - 110 -
2
1027
xx
+
= 0
Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được PT
10( x
2
+
)
1
()
1
2
x
x
x
+−
) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+
)
1
x
=t (3) => x
2
+
2
1
x

1
=-2 ; x
2
=-1/2
+Với ; t
2
=
5
26
 (x+
)
1
x
=
5
26
 5x
2
-26x+5 =0 có nghiệm là x
3
=5 ; x
4
=1/5
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là S=







Chú ý :Khi
a
e
=1hay a=e thì d=
±
b; lúc đó (1) có dạng a x
4
+ bx
3
+ cx
2

±
bx +e =0
Cách giải:
-Do x=0 không phải là nghiệm của phương trình (1)nên chia cả hai vế cho x
2
ta được
a x
2
+bx +c +
2
x
c
x
d
+
= 0 (2)
Nhóm hợp lí a (x
2

2
=t
2
-2. d/b
Khi đó ta có phương trình a (t
2
- 2
b
d
) bt +c =0
Ta được phươnmg trình (3) trung gian như sau : at
2
+ bt +c=0 (3)
-Giải (3) ta được nghiệm của phương trình ban đầu
Giải phương trình : x
4
-4x
3
-9x
2
+8x+4=0 (1)
Nhận xét 4/1=
2
)
4
8
(
−
; Nên phương trình (1) là phương trình hồi quy
• x=0 không phải là nghiệm của (1)

2

+
)
4
2
x
=t
2
+4 thay vào (2)
Phương trình (1) trở thành t
2
-4t -5 =0 có nghiệm là t
1
=-1 ; t
2
=5
nhận xét : tương tự như giải phương trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bước đặt ẩn phụ
Đặt x+
bx
m
=yb => x
2
+
b
m
y
xb
m 2
2

2
+8y +15 =0 nghiệm y
1
=-3 ; y
2
=-5
Thay vào (3) ta được 2 phương trình
1/x
2
+8x +7 = -3  x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4
±
6
2/ x
2
+8x +7 = -5  x
2
+8x +12 = 0 có nghiệm x
3
=-2; x
4
=-6
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S =
{ }
64;6;2 ±−−−
Bài 4.6:Phương trình dạng; (x+a)
4

–c =0
Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải
Giải phương trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phương trình  (t+2)
4
+ (t - 2)
4
=626
 9t
4
+8t
3
+24t
2
+32t +16) +( 9t
4
- 8t
3
+24t
2
- 32t +16)=626
t
4
+24t
2

∉
R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phương trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0
Đặt x
2
+ 3x =t (2)
Ta có PT <=> t
2
-4t +3 = 0 có nghiệm là t
1
=1 ;t
2
=3
Bài 4.8 Phương trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phương trình 2x
5
+3x

Giải phương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
• nhận xét 1+7 =3+5
• Nhóm hợp lý  (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0
 (x
2
+8x +7 ) (x
2
+ 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x
2
+8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2)  t( t+ 8) + 15=0
y
2
+8y +15 =0 nghiệm y
1
=-3 ; y
2
=-5
Thay vào (3) ta được 2 phương trình
1/x
2
+8x +7 = -3  x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4
±
6
2/ x
2

+2 (
2
ba +
)
2
t
2
+ 2(
2
ba +
)
4
–c =0
Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải
Giải phương trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phương trình  (t+2)
4
+ (t - 2)
4
=626
 9t
4
+8t
3
+24t

(nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho ) sẽ là
nghiệm của phương trnh (1)
Ví dụ : Giải phương trình x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0 (1)
TXĐ :
∀
x
∉
R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phương trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0
Đặt x
2

4
+x
3
-6x
2
+x+2 =0(2) là phương trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải
Giải (2) ta được x
1
=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x
1
=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5 ;x
5
=-1
Bài tập VN : Giải các phương trình sau
1) x
3
- 4x

2
-28 x-15=0
4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x
2
7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x
2
nhóm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) rồi chia 2 vế cho 4x
2

và đặt t=x+7/x (đk x
≠
0)
8) 3x
5
-10x
4
+3x
3
+3x
2
-10x+3=0 9) x
5
+2x
4
+3x
3
+3x
2
+2x+1=0
10) 6x

2
-3x-4) (x
2
-3x-10)=-30
14) 3(x
2
+x) -2(x
2
+x ) -1=0 15) (x
2
-4x+2)
2
+4x
2
-4x-4=0
16) (x
2
-x+1)
4
-6x
2
(x
2
-x+1)
2
+5x
4
=0 17) (x+6)
4
+(x+4 )

b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm là 1. Khi đó tìm nghiệm còn lại (thay x=1
Bài 2: Cho phương trình x
2
+(2m+1) x +m
2
+3m =0
(1)
( m là tham số)
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm mà tích 2 nghiệm bằng 4 .Tìm 2 nghiệm đó
Bài 3: Cho phương trình x
2
+(2m-5) x +3n =0
(1)
Tìm m và n để phương trình (1) có 2 nghiệm là x
1
=2; x
2
=-3
Bài 4: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
a) x
1
=1/2 và x
2
=2 b) x
1
=2+
3
và x
2
=2-

c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
d) Chứng minh rằng biểu thức M=x
1
(1-x
2
)+(1-x
1
) x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 7: Cho phương trình x
2
- (m- 1)x – m
2
+m-2 =0
(1)
( m là tham số)
a) Giải phương trình khi m=-1
b) Chứng minh rằng phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao cho S=x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 8: Cho phương trình x
2
- (m +2)x +m+1 =0
(1)

(1)
( m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có nghiệm x
1
;x
2
với mọi m
b) Gọi A=2(x
1
2
+x
2
2
)-5 x
1
.x
2
.; b
1
)

c/m rằng A=8m
2
-18m +9 ; b
2
)Tìm m sao cho A=27
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
Bài 11: Cho phương trình 2x
2
– (2m+1)x +m


≥
10
c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm là x
1
;x
2
sao cho E=x
1
2
+ x
2
2
đạt GTNN
Bài 14: Cho phương trình x
2
–(2m+1)x +m
2
+m -6 =0
(1)
( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm đều âm
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao cho / x
1
3
- x
2
3
/ =50
a) (1) có 2 nghiệm đều âm t/m:

51±−
Bài 15: Cho phương trình x
2
-6x +m =0
(1)
( m là tham số)
a)Tìm m để (1) có 2 nghiệm phân biệt
b)Tìm m để (1) có 2 nghiệm sao cho x
1
3
+ x
2
3
=72
(Với
∆
≥
0 <=> m
≤
9 ta có x
1
3
+ x
2
3
=72 < => (x
1

+ x
2

Bài 17: Cho phương trình x
2
–2(m+1)x +2m+10 =0
(1)
( m là tham số)
Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x
1
;x
2
. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao
cho E=x
1
2
+ x
2
2
+10 x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó
Bài 18: Cho phương trình x
2
–(m-1)x +1=0
(1)
( m là tham số)
Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x
1
;x
2

1
x
=1
b) Lập một biểu thức giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m
Bài 20: Cho phương trình 2x
2
+(2m-1)x +m-1=0
(1)
( m là tham số)
a)C/m rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b)Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm là x
1
;x
2
sao cho -1<x
1
<x
2
<1
c) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
;x
2
Lập một biểu thức giữa x
1
và x

Bài 22: Cho 2 phương trình : x
2
– a
1
x+b
1
=0 (1) ; x
2
– a
2
x+b
2
=0 (2)
Cho biết a
1
.a
2

≥
2(b
1
+b
2
) . C/m rằng ít nhất một trong 2 phương trình đã cho có nghiệm

∆
1
+
∆
2

0 với mọi m Thì phải có ít nhất
∆
1
≥
0hoặc
∆
2
≥
0=> đpcm
Bài 23: Cho 3 phương trình : ax
2
+ 2bx+c=0 (1) ; bx
2
+2cx+a=0 (2) ; cx
2
+2ax+b=0 (3)
Cho biết a

;b;c
≠
0 . C/m rằng ít nhất một trong 3 phương trình đã cho có nghiệm

∆
1
’+
∆
2
’+
∆
3

4
.Chứng minh rằng x
1
x
2
+x
3
.x
4
≥
2
c) Giả sử (1) và (2) cùng vô nghiệm. C/m rằng a+c>b
+Vì a;c>0 nên (1) và (2) đều là bậc 2 và có chung
∆
=b
2
-4ac => đpcm
+áp dụng Viét x
1
x
2
=
a
c
; x
3
x
4
=
c

+ mx+n=0 (1)
a) Giải phương trình khi m=-(3+
3
) n=3
3
(kq:
∆
=(3-
3
)
2
>0)
b)Tìm m;n để (1) có 2 nghiệm là x
1
=-2; x
2
=1
c) C/m rằng (1) có 2 ng/ dương x
1
;x
2
thì ph/tr: n x
2
+mx+1=0 (2) cũng có 2 ng/ dương
x
3
;x
4
x
1

)
Hay x
3
=
1
1
x
là ng dương của (2). T.tự x
4
=
2
1
x
là ng dương của (2) (vì x
1
;x
2
>0 nên
1
1
x
và
2
1
x
>0 ) là đpcm
Bài 26; Cho phương trình (m-1)x
2
–2(m+1)x +m=0
(1)

/
≥
2<=>
(x
1
-x
2
)
2
≥
4
e) m
≠
1 khi đó
∆
=3m+1 <=>(x
1
+x
2
)
2
- 4 x
1
x
2
≥
4
+) nếu m<-1/3 thì (1) Vô ng <=>
+) nếu m=-1/3 thì (1) có ng kép ; +) nếu m>-1/3 thì (1) có 2 ng
Bài 27; Cho phương trình x

x
x
=
2
5−
Bài 28; Cho phương trình x
2
–ax –
2
1
a
=0
(1)
( a là tham số)
Tìm min P=x
1
4
+x
2
4
( min P=2
2
+4 <=> a
8
=2)
Bài 29; Cho phương trình x
2
–mx +m–1=0
(1)
( m là tham số)

+
+
m
m
m
m
rồi tìm ma x Q= =1<=> m=1)
Bài 30; Cho phương trình x
2
–ax –
2
2
1
a
=0
(1)
( a là tham số)
C/m rằngx
1
4
+x
2
4
22 +≥
dấu (=) xảy ra khi nào? ( dấu đẳng thức xảy ra a
4
=
4
2
1

>∆
0)2(2
072
0'
21
21
att
att
<=> -7/2<a<-3
Bài 32: Cho phương trình bậc ba :x
3
- (2m-1)x
2
+ (m
2
-3m-2)x +2m
2
+2 m=0
(1)
(m tham số)
a)C/m rằng phương trình (1) có nghiệm x=-2 với mọi m
b)Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm ; c) Tìm m để (1) có 3 ng sao cho x
1
2
+x
2
2
+x
3
2

+/x
2
-x
3
/ đạt GTNN.Tìm
min K và các nghiệm x
1
;x
2
;x
3
đó
b) E
min
=1+
32
xx −
<=>
32
xx −
min <=>E
2
=(x
2
-x
3
)
2
-4x
2

. Biết người đó đến B lúc 12 giờ 50 phút
B i 4à :M t ô tô i t A->B trong m t th i gian d nh ,n u i v i v n t c trung bình l ộ đ ừ ộ ờ ự đị ế đ ớ ậ ố à
35km/h thì n B ch m 2 gi ,n u i v i v n t c trung bình l 50km/h thì n B s m 1 đế ậ ờ ế đ ớ ậ ố à đế ớ
gi Tính Sờ
AB
v th i gian d nh ban u ?à ờ ự đị đầ
S (km) v (km/h) t (A->B)
quãng đường AB x (đk: x>0)
Thay đổi 1 x 35
Thay đổi 2 x 50

35
x
- 2 =
50
x
+1 Kq: 8 giờ ; 350 km
B i 5à :M t chi c thuy n kh i h nh t b n A .Sau 5h 20 phút M t chi c ca nô c ng kh i ộ ế ề ở à ừ ế ộ ế ũ ở
h nh t b n A u i theo v g p thuy n cách A 20km Tính v n t c c a thuy n à ừ ế đ ổ à ặ ề ậ ố ủ ề

. Bi t v n ế ậ
t c c a ca nô l n h n v n t c c a thuy n ố ủ ớ ơ ậ ố ủ ề

12km/h.
S (km) v (km/h) t (A->B)
Thuyền 20 x (đk: x>0)
Ca nô

20 x+12
Bài 6:Hai chiếc ca nô cùng khởi hành từ 2 bến A và B cách nhau 85 km và đi ngược chiều

AB
Gọi độ dài qũãng đường AB là x (>0) Kq: S
AB
= 45km
Bài 10 : Một chiếc ca nô khởi hành từ bến A - B dài 120 km rồi từ B quay về A mất tổng cộng
11 giờ Tính vận tốc của ca nô.Biết vận tốc của dòng là 2km/h và vận tốc thật không đổi
Bài 11 : Một chiếc ca nô chạy trên sông 7h , xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km .Một lần
khác ca nô cũng chạy trong 7h ,xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km.Tính vận tốc của dòng
nước chảy và vận tốc riêng của ca nô. (Có thể chọn 2 ẩn Kq: vận tổc riêng x=24km/h ;vận
tốc dòng y=3km/h
Bài 12:Lúc 7h30 phút một ôtôđi từ A-B nghỉ 30phút rồi đi tiếp đến C lúc 10h 15phút .Biết
quãng đường AB=30km;BC=50km, vận tốc đi trên AB nhỏ hơn đi trên BC là 10km/hTính vận
tốc của ôtô trên quãng đường AB, BC (Gọi vận tốc quãng đường AB là x, trên BC: (x+10)
kq: 30km/h ; 40km/h
Dạng 2: Toán có nội dung hình học
Bài 1:Một khu vườn hcn có chu vi 280m . người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc
đất của vườn ) rộng 2m , diện tích còn lại là 4256m
2
.Tính các kích thước của vườn (rộng
x=60m, dài =80m)
Bài 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài đi15m thì ta
được hcn mới có diện tích = diện tích hcn ban đầu .Tính các cạnh của hcn đã cho (rộng
x=15m, dài =30m)
Bài 3:Một hcn .Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng 100m
2
. Nếu
cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m
2
.Tính diện tích thửa rộng đó
(Kq:22m;14m)

Bài 8:Trong tháng đầu 2 tổ sản xuất được 800 chi tiết máy .Sang tháng 2 tổ I vượt mức 15%,
tổ II vượt mức 20%,, dó đó cuối tháng cả 2 tổ sản xuất được tổng cộng 945 chi tiết máy .Tính
xem trong tháng đầu , tháng hai mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy
Bài 9 Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ .Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản
xuất nên xí nghiệp I đã vượt mức 12% kế hoạch xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch ,do
đó cả 2 đã làm được 400 dụng cụ . Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp làm theo kế hoạch và
thực tế làm
Dạng 4: Toán có nội dung công việc-năng xuất ;phân chia sắp xếp
Bài 1:Hai công nhân nếu cùng làm chung thì hoàn thành 1 công việc trong 4 ngày .Nếu làm
riêng thì người thứ nhất làm hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 6 ngày .Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi người làm hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày ?.
Bài 2: 2 công nhân làm chung1công việc thì hoàn thành trong 4 ngày.Khi làm người thứ nhất
làm một nửa công việc , sau đó người thứ hai làm tiếp nửa còn lại thì toàn bộ công việc hoàn
thành trong 9 ngày .Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người làm hoàn thành công việc trong bao nhiêu
ngày ?.
Một mình ng T
1
làm x(ngày) xong -> 1/2 c.v là x/2 (ng)
Tg ng T
2
làm cv trong 9- x/2(ng) -> cả cv là 2(9-x/2)=18-x (ng)
Phương tr: 1/x -1/18-x =1/4
Bài 3: Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm .Trong 8 ngày đầu họ đã thực
hiện được đúng kế hoạch , những ngày còn lại họ đã dệt vượt mức mỗi ngày 10 tấm ,nên đã
hoàn thành kế hoạch trước kế hoạch 2 ngày .Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải dệt
bao nhiêu tấm?
Số thảm Số thảm dệt /ngày Sỗ ngày dệt
Kế hoạch 3000 x 3000/x
8 ngày đầu 8x x///////////////// 8/////////////////
Những ngày còn lại 3000-8x x+10 (3000-8x):(x+10)

phải đặt thêm 1 dãy ghế nữa mới đủ .Hỏi lúc đầu trong phòng có bao nhiêu ghế ?
Số dãy Số người Số người /1dãy
Lúc đầu x 320 320/x
Lúc sau

x+1 420 420/ (x+1)
Bài 8; 2 đội công nhân làm chung 1 công việc dư định xong trong 12 ngày .họ làm chung với
nhau 8 ngày thì đội 1 nghỉ đội 2 làm tiếp với năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã hoàn thành
phần việc còn lại trong 3 ngày rưỡi .Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải làm trong bao lâu
thì xong công việc trên?

PHẦN HÌNH HỌC
(CẦN BỔ XUNG LÍ THUYẾT CÁC CHƯƠNG )
CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC 9 ĐIỂN HÌNH
*************&*************
Bài 1: cho(o) đường kính AB =2R trên OA lấy một điểm bất kì kẻ đường thẳng d vuông góc
ABtại I .Cắt (O) tại hai điểm M;N trênIM lấy một điểm E (E khác M;I) nối AE cắt (O) tại K,
BK cắt d tại D.
a) CMR : IE. ID = MI
2
b) Gọi B’ là điểm đối xứng củaB qua I . CMR tứ giác B’AED nội tiếp
c) CMR : AE.AK + BI. BA =4R
2
d) Tìm vị trí I để chu vi tam giác MIO lớn nhất
Bài 2: cho nửa đường tròn (O) đường kính AB =2R. Clà trung điểm của AO đường thẳng Cx
vuông góc với AB tại C , Cx cắt nửa đường tròn tại I , K là điểm bất kì trên CI (K khác C,I )
.Tia AK cắt (O) tại M ,cắt Cx tại N .Tia BM cắt Cx tại D .
a) CMR: 4 điểm A,C,M,Dcùng nằm trên một đường tròn
b) CMR: tam giác
∆

a) CMR: Tứ giác CDEF nội tiếp.
b) Gọi I là trung điểm của BF .Chứng minh DI là tiếp tuyến của nửa đường tròn
c) Giả sử CD cắt Bx tạiG , phân giác của
·
CGE
cắt AE,AF lần lượt tại M,N .Chứng minh
∆

AMN cân.
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . M thuộc cung
»
AB
, H là điểm chính giữa
của cung
¼
AM
, BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến Ax tại K . AH cắt BM tại E
a)
∆
ABE là tam giác gì?.
b) Xác định vị trí tương đối của KE với (B;BA)
c) Đường tròn ngoại tiếp
∆
BIE cắt (B;BA) tại điểm thứ 2 là N . Chứng minh khi M di
động thì MN luôn đi qua một điểm cố định .
d) Tìm vị trí của M để MK
⊥
Ax
e) Với vị trí M tìm được . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác EHQ tiếp xúc với
(O) , ( Q là giao của BM và Ax).

2
= KB.KC
d) BC cắt HD tại I .CMR: IH = ID
Bài 10: Cho
∆
ABC nội tiếp (O;R) .H,G lần lượt là trựctâm ,trọng tâm của
∆
ABC. I,K là trung
điểm của BC,CA. CMR:
a)
HAB OIK
∆ ∆
:
b) AH = 2OI
c) H,G,O thẳng hàng
d) Gọi AH cắt BC tại M ,cắt (O) tại điểm thứ hai là D , có E,F là hình chiếu của D trên
AB ,AC .Chứng minh EF đi qua M.
Bài 11: Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp (O).Có H là trực tâm , BH cắt AC tại D
cắt (O) tại M. CH cắt AB tại E cắt (O) tại N. CMR:
a) ED// MN
b) OA
⊥
ED
c) Gọi P là điểm chính giữa cung nhỏ
»
BC
. CMR: AP là phân giác của
·
HAO
d) Cho BC cố định A di động trên cung lớn

∆
CMN lớn nhất .
e) CMR:
2 2 2
1 2 3
R R R= +
. Trong đó
1 2 3
; ;R R R
lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp
∆
ABC;
∆
CHA;
∆
CHB.
Bài 13: Cho (O;R) đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C;D , điểm M tuỳ ý trên d kẻ tiếp tuyến
MA, MB , I là trung điểm của CD.
a) CMR: 5 điểm M,I,A,O ,B cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi H là trực tâm của
∆
MAB. Tứ giác OAHB là hình gì?
c) Khi M di động trên d. CMR: AB luôn đi qua một điểm cố định.
d) đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB ,AD lần lượt tại E,K.CMR: EC = EK.
Bài 14: Cho (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB ; AC và cát
tuyến AMN với đường tròn (B,C,M,N nằm trên đường tròn và AM<AN). Gọi E là trung điểm
của dây MN. I là giao điểm thứ hai của của đường thẳng CE với đường tròn . CMR:
a) bốn diểm A,O,E,C cùng nằm trên một đường tròn.
b)
·

c) Gọi H là trực tâm của
∆
MAB . CMR : Khoảng cách HA không phụ thuộc vào vị trí
của M
d) Xác định vị trí của M để tứ giác AMBC là hình bình hành.
Bài 17: Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A,B các tiếp tuyến tại Acủa (O) , (O’) cắt (O’), (O) lần
lượt tại E;F . gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
EFA . CMR:
a) Tứ giác OAO’I là hình bình hành và OO’ // BI.
b) OBIO’ nội tiếp.
c) kéo dài AB về phía B một đoạn CB=AB . CMR tứ giác AECF nội tiếp.
Bài 18: Cho (O;R) và dây cung AB . Từ P tuỳ ý trên AB vẽ các đường tròn (C; r)và (D;R’),đi
qua P và tiếp xúc (O) theo thứ tự tại A,B . Hai đường tròn (C); (D) cắt nhau tại N.
Chứng minh:
a) tứ giác OCPD là hình bình hành từ đó suy ra R = r +R’
b)
·
0
90PNO =
c) P di động trên AB thì N trên đường nào?
d) NP luôn đi qua một điểm cố định khi P di động trên AB.
e) Xác định vị trí của P để tích PN.PK lớn nhất . Tính giá trị đó.
Bài 19: Cho 2 đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại hai điểm A;B . Kẻ tiếp tuyến chung
của hai đường tròn (tiếp điểm là D và E ), DE cắt tia AB tại M .CMR:
a)
MDB MAD∆ ∆:
.