www.saosangsong.com.vn
1

Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghóa

PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ
Phương trình
lượng giác
trong đề thi ĐH 2003-2010
các ban A-B-D
www.saosangsong.com.vnwww.saosangsong.com.vn

tan( )
1 tan . tan
ab acosb a b
ab a b b a
ab
ab
ab
±=
±= ±
±
±=
∓
∓Công thức nhân ba Công thứ hạ bậc 3
3
sin 3 3sin 4sin
cos 3 4 cos 3cos
aa
aa
=−
=−
a
a
x = 1 -
2
1
sin 2x
2
; sin
6
x + cos
6
x = 1 – 3sin
2
xcos
2
x = 1 -
2
1
sin 2x
3ính sinx ; cosx ; tanx theo t = tan(x/2) 4 .Công thức biến đổi tích thành tổng
3. Công th
ức t

[]
[]
[]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2

cos
1
2
tan
1
tx
xt
t
t
x
t
t
x
t
==
+
−
=
+
=
−

5 .Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
22
cos cos 2sin sin
22
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin

Phương pháp:
Sử dụng cơng thức lượng giác để thực hiện các phép biến đổ nhằm đưa phương trình về một trong các
dạng sau: www.saosangsong.com.vn
3
Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản :
2
sin sin
2
2
cos cos
2
tan tan ( )
2
cot cot ( )
π
ππ
π
π
π
π
π
ππ
=+
⎡
=⇔
⎢
=−+

=⇔ = + =−⇔ =− +
XXk
XXk X X k

•
cos 0 ;
2
cos 1 2 ; cos 1 2
=⇔ = +
=⇔ = =−⇔ = +
XXk
XXk X Xk
π
π
π
ππ

Dạng 2 . Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
at
2
+ bt + c = 0 với t là một ẩn số phụ lượng giác như t = sinx , t = cosx (|t| ≤ 1), t = tanx . . .
• Giải để tìm t .
• Suy ra x
Trong dạng 2 này, ta có các tiểu dạng chuẩn sau:
2.1. . acosx + bsinx = c
Cách giải 1:Chia hai vế cho
22
ab+ và tìm góc
α
thỏa

+
β
cos(x ) cos
, ta được :
α
β
=

+
Cách giải 2 :
• x =
k.2
π
π
+ là nghiệm nếu - a + c = 0
• x
≠
k.2
π
π
+ : Đặt t = tan(x/2), thế sinx =
2
2
2t 1 t
,cosx
1t 1t
2
−
=
+

π
±2sin(x /4)
=> |t| 2≤
Và thế sinxcosx =
2
t1
2
−
±
, ta được PT bậc 2 theo t. Giải để tìm t thỏa |t| 2≤ . Suy ra nghiệm x.
www.saosangsong.com.vn
4
Dạng 3. PT lượng giác dạng tích số.
• Biến đổi PT về dạng f(x). g(x) = 0
• PT Ù f(x) = 0 hay g(x) = 0 Các ví dụ về dạng 1:
D2009. GPT : 3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 (1)
Giải
(1) Ù
3 cos5x – (sin5x + sinx) – sinx = 0 (cơng thức biến tích thành tổng)
Ù 3 cos5x – sin5x = 2sinx Ù
31
cos5 sin 5 sin
22
x

Ù sinx(1 – 2sin
2
x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x
cos3x = 2cos4x (Thay 1 – 2sin
2
x = cos2x) Ù (sinxcos2x + cosxsin2x) + 3
Ù (sin3x) + 3 cos3x = 2cos4x (cơng thức cộng)
Lại gặp biểu thức quen thuộc: sina +
3 cosa. Giải tiếp . . .
Các ví dụ về dạng 2
A2006. GPT:
66
2(cos sin ) sin cos
0
22sin
xxxx
x
+−
=
−
(1)

k
=
0, 2, 4

2n
k
=
1

Ù sin2x = 1 Ù x = π/4 + kπ www.saosangsong.com.vn
5
Xét (2) : sin(π/4 + kπ) ≠
2
/ 2
Nhận xét : sin(π/4 + kπ) =
sin / 4 2 / 2 2
sin(5 / 4) 2 / 2 2 1
khi k n
khi k n
π
π
⎧
==
⎪
⎨
=
−=
⎪
⎩
+
; do đó phương trình có nghiệm x =
5π/4 + 2nπ (n
Z
∈ )
Ghi chú: Ta có thể giải điều kiện theo cách sau:
sinx ≠

x
x
+=

x
Đk: sin2x ≠ 0
Phương trình thành: cos2x + 2sin
2
2x = 1 Ù cos2x + 2(1 - cos
2
2x) = 1
Ù 2cos
2
2x – cos2x – 1 = 0 (PT bậc 2 theo t = cos2x)
Ù cos2x = 1 hay cos2x = - ½.
Nhận xét rằng cos2x = 1 => sin2x = 0 do đó giá trị này bị loại . Còn cos2x = – ½ => sin2x ≠ 0 nên
nhận.
Cuối cùng ta được : 2x =
2
.2
33
kxk
π
π
π
π
±+ <=>=±+

Nhận xét : Thêm một cách giải điều kiện bằng giá trị của hàm số liên quan


[4cos
3
(2x/3) – 3cos(2x/3)] + 4[2cos
2
(2x/3) – 1] – 5 = 0
Ù 4cos
3
(2x/3) + 8cos
2
(2x/3) – 3cos(2x/3) – 9 = 0
Đặt t = cos(2x/3); |t| ≤ 1: 4t
3
+ 8t
2
– 3t – 9 = 0
Ù t = 1, t = - 3/2 (loại)
Ù cos2x = 1
Ù x = kπ.

Các ví dụ về dạng 3 (dạng tích số).
Sử dụng các kỹ thuật đại số phân tích ra nhân tử một biểu thức, trong đó phép đặt nhân tử
chung, nhóm các số hạng, dùng các hằng đẳng thức . Các công thức sau thường được sử dụng:
• cos2x = cos
2
x – sin
2
x = (cosx + sinx)(cosx –sinx)
• 1 + sin2x = (sinx + cosx)
2


(x/2 - π/4) =
22
22
22
1 cos( / 2) 1 sin sin 1 cos 1 cos
;tan ;cos( /2)
22 cos1sin 2
x
xxx x
xx
xx
π
−− − − +
=== =
−
, ta được :
2
2
1sin 1cos 1cos
.0
21sin 2
xxx
x
−− +
−=
−
1±

Đk: sinx ≠
Đơn giản, khử mẫu, ta được : (1 – cos

Cả hai giá trị này đều thoả điều kiện nên là nghiệm của phương trình . www.saosangsong.com.vn
7
D10 GPT: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0
Giải
Thay sin2x = 2sinxcosx; cos2x = 1 – 2sin
2
x, ta được :
2sinxcosx – (1 – 2sin
2
x) + 3sinx – cosx – 1 = 0
Ù cosx(2sinx – 1) + (2sin
2
x + 3sinx – 2) = 0
Chú ý biểu thức (2sin
2
x + 3sinx – 2) là tam thức bậc 2 theo sinx, tương tự như 2x
2
+ 3x – 2 , ta có thể
phân tích chúng dễ dàng bằng bấm nghiệm của phương trình 2x
2
+ 3x – 2 = 0 bằng máy tính, được x1
= - 2 và x2 = ½ , như vậy (2sin
2
x + 3sinx – 2) = (2sinx – 1)(sinx + 2), và phương trình thành:
cosx(2sinx – 1) + (2sinx – 1)(sinx + 2) = 0
Ù (2sinx – 1)(cosx + sinx + 2) = 0 Ù
sin 1/ 2

2
x – 3 sin
2
xcosx
8. B2006. cotx + sinx(1 + tanxtan(x/2)) = 4
9. B2005. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
10. B2004. 5sinx – 2 = 3(1 – sinx).tan
2
x
11. A2010.
(1 sin cos 2 )sin( / 4) 1
cos
1tan
2
xxx
π
x
x
++ +
=
+

12. A2009.
(1 2 sin ) cos
3
(1 2 sin )(1 sin )
xx
xx
−
=

sin sin 2
1tan 2
x
x
x
x
+−
+

17. CĐ.
sin 4 3 cos 4 3 cos 2 sin 2 (4 cos 1)xx xxx−=+ −

18. cosx + 2sin
2
xcosx + 2 = 3 sin3x + 2(2cos
2
2x + cos
3
x)
.

GIẢI VẮN TẮT
1
. 2sinx(2cos
2
x) + 2sinxcosx = 1 + 2cosx
Ù 2sinxcosx(2cosx + 1) = 1 + 2cosx Ù (2cosx + 1)(2sinxcosx – 1) = 0 . . .
Thay 1 + cos2x = 2cos
2
x: 2sinxcosx(2cosx + 1) – (2cosx + 1) = 0

2
x – 1) + cos2xcosx + 2cos2x = 0
Ù sinxcos2x + cos2xcosx + 2cos2x = 0
Ù cos2x(sinx + cosx + 2) = 0
7. (sin
3
x – sinxcos
2
x) – ( 3 cos
3
x - 3 sin
2
xcosx) = 0
Ù sinx(sin
2
x – cos
2
x) – 3 cosx(cos
2
x – sin
2
x) = 0
Ù (cos
2
x – sin
2
x) ( 3 cosx – sinx ) = 0
Ù cos2x. ( 3 cosx – sinx ) = 0 . . .
x + sin
2
x = 4sinxcosx
Ù sin2x = ½ Ù x = π/12 + kπ hay x = 5π/12 + kπ (thỏa điều kiện )
9. (1 + cos2x) + (sinx + cosx) + sin2x = 0
Ù 2cos
2
x + (sinx + cosx) + (2sinxcosx) = 0
Ù (2cos
2
x + cosx) + (sinx + 2sinxcosx) = 0
Ù cosx(2cosx + 1) + sinx(1 + 2cosx) = 0
Ù (2cos + 1)(cosx + sinx) = 0
10.
2
2
sin
5sin 2 3(1 sin )
1sin
x
xx
x
−= −
−

Ù
2
sin
5sin 2 3
1sin

xnhan
==> =
⎡
⎢
=−
⎣

Ù
12. Đk: sinx ≠ - ½; 1
(1 – 2sinx)cosx = 3 (1 + 2sinx)(1 – sinx)
Ù
2
cos 2sin cos 3(1 sin 2sin )
x
xx x x−=+−
Ù cosx – sin2x =
3 cos2x + 3 sinx
Ù cosx – 3 sinx = 3 cos2x + sin2x
Ù 2.cos(x + π/3) = 2. cos(2x - π/6) ) (dạng 1) www.saosangsong.com.vn
10
13. Thay sin(x - 3π/2) = sin(x + π/2) = cosx và sin(7π/4 – x) = sin(- x - π/4) =
2
.(sin cos )
2
x
x−+
,

2

Ù (sinx + cosx)( 1 + sinxcosx – sinx – cosx) = 0
Ù (sinx + cosx)(1 – sinx)(1 – cosx) = 0 (dạng 3)
15. (1 + cos6x)cos2x – (1 + cos2x) = 0 (CT hạ bậc)
Ù cos6xcos2x – 1 = 0 Ù cos8x + cos4x – 2 = 0 (CT biến tích thành tổng)
Ù 2cos
2
4x + cos4x – 3 = 0 (PT bậc 2 theo cos4x)
16.
22
2
cos cos sin
1sinsincos
sin
sin
1
cos
xxx
x
xx
x
x
x
−
−= + −
+

Ù
22

(2) Ù 1 – ½ sin2x + sin
2
x = 0 . Vì vế trái luôn dương do (sin2x ≤ 1 )nên (2) VN.
Hoặc nhận ra đây là phương trình dạng 2.2.:
asin
2
x + bsinx cosx + ccos
2
x + d = 0: chia hai vế cho cos
2
x ,
ta được : (1 + tan
2
x) – tanx + tan
2
x = 0
Ù
2tan
2
x – tanx + 1 = 0 (VN)

17. Khai triển và nhóm lại:
(sin4x + sin2x) – 3 (cos4x + cos2x) = 4sin2xcosx
Ù 2sin3xcosx – 2 3 cos3x.cosx = 4sin2xcosx (CT biến tổng thành tích)
Ù 2cosx(sin3x – 3 cos3x – 2sin2x) = 0 www.saosangsong.com.vn
11
cos 0 (1)

x+
Ù cos(4x + π) =
Ù cos(4x + π) = cos(3x - π/3) . . .