PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
A. NHẬN DẠNG :
* Là phương trình có dạng : a.sinx+b.cosx=c
B. CÁCH GIẢI
1. Chia hai vế phương trình cho :
2 2
0a b+ >
2. Phương trình có dạng :
2 2 2 2 2 2
sinx+ osx=
a b c
c
a b a b a b+ + +
3. Đặt :
2 2 2
2 2 2 2 2 2
sin ; os = ; os = ;d/k:c
a b c
c c a b
a b a b a b
ϕ ϕ α
= ≤ +
+ + +
.
4. Khi đó phương trình trở thành :
( )
sinx.sin +cosx.cos =cos cos x- osc
ϕ ϕ α ϕ α
⇔ =
5. Giải :

3
1 2sin 1 sinx
x c
x
−
=
+ −
c.
( )
3
sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x
d.
3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a.
( )
4 4
4 sin os 3 sin 4 2x c x x+ + =
b.
( )
2 2 sinx+cosx osx=3+cos2xc
c.
( )
cos2 3 sin 2 2 sinx+cosxx x= +
d.
4 4
sin os 2 3sinxcosx+1x c x− =
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a.
2 4

ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. ĐỊNH NGHĨA :
*Là phương trình có dạng :
2
2
2
2
.sin sin 0
. os sin 0
.tan tan 0
.cot .cot 0
a u b u c
a c u b u c
a u b u c
a u b u c
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
. (1). Với u=u(x)
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
II. CÁCH GIẢI :
- Đặt :
( )
2
sin 1
osu=t t 1
0 2

 ÷
+
 
b.
2 2
cos 3 . os2x-cos 0x c x =
b.
4 4
3
cos sin os x- .sin 3 0
4 4 2
x x c x
π π
   
+ + − − =
 ÷  ÷
   
d.
2
4.sinxcosx+3sin 6sinx x=
Bài 2. Giải các phương trình sau
a.
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = −
b.
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x
x c

1
1 sin 2
c x
x
− −
=
+
c.
x 3x x 3 1
cos . os . os sinx.sin .sin
2 2 2 2 2
x
x c c − =
d.
3
4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a.
( )
cos 2 os 2x- 4sin 2 2 1 sinx
4 4
x c x
π π
   
+ + + = + −
 ÷  ÷
   
b.
( )
2 2

6
2cos 1 3cos
5 5
x x
+ =
d.
3
tan t anx-1
4
x
π
 
− =
 ÷
 
Bài 6. Giải các phương trình sau :
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
a.
4 4
4
sin 2 os 2
os 4
tan tan
4 4
x c x
c x
x x
π π

a.
sin 2 2 tan 3x x+ =
b.
2
cot t anx+4sin2x=
sin2x
x −
c.
( ) ( )
1 t anx 1 sin 2 1 t anxx− + = +
d.
sin 4 t anxx =
Bài 8. Giải các phương trình sau :
a.
4 4 4
9
sin sin sin
4 4 8
x x x
π π
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
b.
( )
2
sinx 3 2 2cos 2sin 1
1
1 sin 2

x x
+ =
c.
2
3cos 4 2cos 3 1x x− =
d. 3tan2x-4tan3x=
2
tan 3 .tan 2x x
Bài 10. Giải các phương trình sau :
a.
6 6 2
13
os sin os 2
8
c x x c x+ =
b.
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
c.
6 6
2 2
os sin 1
tan 2

(2)
- Giải phương trình (2) tìm t . Sau đó kiểm tra điều kiện đối với t , chọn t thích hợp .
- Cuối cùng giải :
0
sin osx= 2 sin
4
x c x t
π
 
+ + =
 ÷
 
III. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1. Giải các phương trình sau :
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 3
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
a.
2 3
sinx+sin os 0x c x+ =
b.
3 3
3
sin os 1 sin 2
2
x c x x+ − =
c.
( )
2 sinx+cosx t anx+cotx=
d.

2sin cot 2sin 2 1x x x
+ = +
c. Cho phương trình :
( )
sinx+cosx+1 1 sin 2m x= +
.
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
Bài 4. Cho phương trình :
3 3
os sin sin cosc x x m x x+ =
a. Giải phương trình khi m=
2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
Bài 5. Cho phương trình :
( )
1 1 1
sinx+cosx 1 t anx+cotx+ 0
2 sinx osx
m
c
 
+ + + =
 ÷
 

d.
2 2 3 3
tan cot tan cot tan cot 6x x x x x x+ + + + + =
Bài 8. Cho phương trình :
3 3
cos sinx x m− =
a. Giải phương trình với m=1
b. Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn
;
4 4
π π
 
−
 
 
Bài 9. Cho phương trình :
( )
2 2
2cos 2 sin cos sinxcos sinx+cosxx x x x m+ + =
a. Giải phương trình với m=2
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 
Bài 10. Cho phương trình :
( )
2

sin 2 1x
=
+
Bài 12. Giải các phương trình sau :
a.
3
3
1 os2x 1 os
1 os2x 1 sin
c c x
c x
− −
=
+ −
b.
( ) ( )
5 sinx+cosx sin3 os3x=2 2 2 sin 2x c x+ − +
c.
2 2
sin cos os2x+sinx=cos sin osxx x c x x c− +
d.
3
4sin 1 3sin 3 os3xx x c− = −
Bài 13. Cho phương trình :
( )
2
2
3
3tan t anx+cotx 1
sin

3 3 2 2
sin 3 os sinxcos 3 sin cosx c x x x x− = −
b.
( ) ( )
2
sin t anx+1 3sin osx-sinx 3x x c= +
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a.
3
8cos os3x
3
x c
π
 
+ =
 ÷
 
b.
3
sin osx-4sin 0x c x+ =
c.
2 2
cos 3 sin 2 1 sinx x x− = +
d.
3 3 2
cos 4sin 3cos sin sinx=0x x x x− − +
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a.
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0x x x x− + =

tan sin 2sin 3 os2x+sinxcosxx x x c− =
Bài 5. Cho phương trình :
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
4 6 sin 3 2 1 sinx+2 m-2 sin cos 4 3 osx=0m x m x x m c− + − − −
a. Giải phương trình với m=2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn
0;
4
π
 
 
 
Bài 6. Giải các phương trình sau :
a.
3 2
os sinx-3sin cos 0c x x x+ =
b.
1 t anx=2 2 sinx+
Bài 7. Giải các phương trình sau :
a.
3 3
sin os sinx-cosxx c x+ =
b.
( )
[ ]
2
sin 1 t anx 3sin osx-sinx 3x x c+ = +
c.
3 2 2 3

+ = ⇔


=



=



+ + + = ⇔




=


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.
2 2
4sin 2 3 t anx+3tan 4sin 2 0x x x− − + =
b.
2 2 2
tan tan 2 cot 3 1x x x+ + =
c.
2 2
4cos 3tan 4 3 osx+2 3 t anx+4=0x x c+ −

x
+ + =
B. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 6
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
I.NHẬN DẠNG :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x M g x f x M
f x g x x D g x M
≤ ≤ =
 
⇔ ⇒
 
= ∀ ∈ =
 
II. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG :
1. Dạng 1.
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a.
( )
2 2
os3x+ 2-cos 3 2 1 sin 2c x x= +
b.
3 3 4
sin os 2 sinx c x x+ = −
b.
3 osx osx+1 2c c− − =
d.

2
os4x-cos2x 5 sin3c x= +
Bài 4. Giải các phương trình sau "
a.
( )
sin osx= 2 2 sin3x c x+ −
b. tanx+tan2x=-sin3xcos2x .
b. sin4xcos16x=1 d.
2sin t anx+cotx
4
x
π
 
+ =
 ÷
 

Bài 5. Giải các phương trình sau :
a.
2 2
2 2
2 2
1 1 1
os sin 12 sin
os sin 2
c x x y
c x x
   
+ + + = +
 ÷  ÷

)cot(tan
2
1
2sin
cossin
44
xx
x
xx
+=
+
c)
xxx cos2sin1sin1 =−++

Bài 2. Giải các phương trình sau
a)
2
7
24
sin42sin4cossin
22
−






−=−
x

4
=− xx
d)
2
cos2sin2cos1
2
x
xx =++
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011
Trang 7
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN
Bài 4. Giải các phương trình sau
a)
2
3
4sin2sin
22
=+ xx
b)
xxxx cos3sin2tantan =+
c)
)cos3(sin4cot3tan xxxx +=−
d)
xxx 2coscossin
33
=+
Bài 5. Giải các phương trình sau
a)
xx tan4sin
=

4466
xxxx +=+
Bài 7. Giải các phương trình sau
a)
x
xx
xx
4cos
4
tan
4
tan
2cos2sin
4
44
=






+






−

c)
01cos2sin2cos
2
=+++ xxx
Bài 8. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
x
x
x
2sin1
tan1
tan1
+=
+
−
b)
xx
x
sin
1
cos
1
4
sin22 +=







;0
π
Bài 10. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
xxxxx 2cos
4
5
)cos(sin2cossin
101088
++=+
b)
xxx 2cos222cos22sin3
2
+=−
c)
2
3
3sin2sinsin
222
=++ xxx
d)
x
xx
cos
1
cossin3 =+
Bài 11. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
1
2tan22tan2cot

3
=






+
π
d)
01cos263sinsin22cos28
436
=−−+ xxxx
Bài 13. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
xxxxx cossin2sinsincos
33
++=+
b)
)1sin2(sincos43
2
+=− xxx
c)
xxxx 8sin2coscossin34 =
d)
xxxxxx 3cot2cottan3cot2cottan
2222
+−=
Bài 14. Giải các phương trình lượng giác sau:



− xxx
4
sin2sin
4
3sin
ππ
c)
xxx 2coscossin =+
Bài 15. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
0239
cotcot
=−+
xx
b)
01sincos
2
=++ xx
c)
022cos23sin =−+ xx
d)
02sinsin3sin =+− xxx
Bài 16. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
02cos32cos
=++
xx
b)

a)
8
9
)
4
(sin)
4
(sinsin
444
=++−+
ππ
xxx
b)
0cos2
sin1
2sin
=+
+
x
x
x
c)
0cossin3sincos
23
=−+ xxxx
d)
xxx sin2cossin2
3
=+
Bài 19. Giải các phương trình lượng giác sau:





−−
+
+−
x
x
x
xx
π
Bài 21. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
xx 3sincos2
3
=
b)
04cossin32sin32cos =+−−− xxxx
c)
xxx tan1cos2cos
2
+=
d)
xxx cos)232(sin22cot3
22
+=+
Bài 22. . Giải các phương trình sau:
a)
0

2
cos
1
48
24
=+−− xx
xx
g)
xxx 4coscossin
66
=+
c)
02sin2coscos
23
=−++ xxx
d)
2
tan2cos2
x
x =+
Bài 24. . Giải các phương trình sau:
a)
)2sin1(23cos23cos
22
xxx +=−+
b)
03sin2sinsin =++ xxx
c)
xxxx cossintancot
+=−

b)
1coscossinsin2
22
−=−− xxxx
c)
0
cossin
12cos2sin
42
=
−+
xx
xx
Bài 27. . Giải các phương trình sau:
a)
0cos2cossin2
3
=+− xxx
b)
xxx 2sinsincos1
33
=−+
c)
03cos2coscos1
=+++
xxx
d)
04cos3cos2coscos
=+++
xxxx

π

Bài 29. Giải các phương trình sau:
a)
2|cossin||cossin| =++− xxxx
b)
12sin2cotsin2
+=+
xxx

c)
xxx 2cos
8
13
sincos
266
=−
d)
xx 2sin2tan31
=+

Bài 30. Giải các phương trình sau:
a)
)2tan(tan2coscos3sin
2
xxxxx +=
b)
1099
22
cossin

f )
5
5sin
3
3sin xx
=
HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các hệ phương trình lượng giác sau:
a)
3
3
1
tantan
π
=+
=
yx
yx
b)
yx
yx
tantan3
4
1
cossin
=
=
c)
6tantan
3tantan

g)






−=+






+=+
4
sin2cottan
4
sin2cottan
π
π
xyy
yxx
h)
4
5
sincos
2
3
cossin

2
sin
2
sin2sinsinsin
CBA
CBA =−++
.
Chứng minh rằng số đo của góc C là 120
o
.
Bài 5. Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
1
2
tan
2
A
tan =+
B
. Chứng minh rằng:
1
2
tan
4
3
<≤
C
.
Bài 6. Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT:
|1||1|cos2sin2
22


−
4
;
4
ππ
.
Bài 11. Cho phương trình:
xm
xm
xm
xm
sin2
2cos
cos2
2sin
−
−
=
−
−
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Khi
0
≠
m
và
2±≠m
, phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn
]30,20[

∈x
sao cho
02cossincos
>−−
xxx
.
Bài 16. Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm
],0[
π
∈x
:
t
x
x
=
+
+
2sin
1sin2
.
Bài 17. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
S
cba
CBA
4
cotcotcot
222
++
=++
.

)8cos4(cos
2
1
)4cos2sin1(2 xxxxy −−+=
.
Bài 21. Giải phương trình sau:
0239
cotcot
=−+
xx
.
Bài 22. Cho tam giác ABC thoả mãn:
CB
a
C
c
B
b
sinsincoscos
=+
. Chứng minh tam giác ABC
vuông.
Bài 23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có:
1coscoscos
>++
CBA
.
Bài 24. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi
BbAaAbBa sinsincoscos
−=−

+=
.
Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
1
1
4
cos
1
2
sin
22
+
+
+
+
=
x
x
x
x
y
.
Bài 30. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong






4

;0
π
x
.
Bài 34. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn:
0
2
5
)2cos2(cos32cos =+++ CBA
.
Bài 35. Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
BA
b)tan(abtanBAtan
+
+=+a
. Chứng minh tam giác
ABC cân.
Bài 36. Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi
1coscoscos
222
>++ CBA
.
Bài 37. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn
a
cb
CB
+
=+ coscos
thì tam giác ABC

;0(
π
∈∀x
ta có:
6
cos
1
sin
1
cottansincos >+++++
xx
xxxx
Bài 42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
xxy
2020
cossin +=
.
Bài 43. Chứng minh rằng nếu
2
cot,
2
cot,
2
cot
CBA
theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì
3
2
cot.
2

thì nó cân.
Bài 46. Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x:
xxmxxxf cossin2cossin)(
44
−+=
.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCTRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC
KD-2002: Tìm
[ ]
0;14x∈
nghiệm đúng pt:
os3 4 os2 3cos 4 0c x c x x− + − =
KB-2002:
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = −
KA-2002: Tìm nghiệm thuộc
( )
0;2
π
của pt:
os3 sin3
5 sinx os2 3
1 2sin 2
c x x
c x
x
+
 
+ = +
 ÷

2cos 1 2sinx cos sin 2 sinxx x x− + = −
KB-2004:
( )
2
5sin 2 3 1 sinx tanx x− = −
KA-2004: Không hỏi về giải pt LG (thay bởi bài hệ thức lượng trong tam giác)
KD-2005:
4 4
3
os sin os .sin 3 0
4 4 2
c x x c x x
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
KB-2005:
1 sinx cos sin 2 os2 0x x c x+ + + + =
KA-2005:
2 2
os 3 . os2 os 0c x c x c x− =
KD-2006:
os3 os2 cos 1 0c x c x x+ − − =
KB-2006:
cotx sinx 1 tanx.tan 4
2
x
 
+ + =

1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
CĐ-2008:
cos3 3 cos3 2sin 2x x x− =
KD-2008:
( )
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x+ + = +
KB-2008:
3 3 2 2
sin 3cos sin .cos 3sin .cosx x x x x x− = −
KA-2008:
1 1 7
4sin 4
3
sin 4
sin
2
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
CĐ-2009:
( )

cos
1 tan
2
x x x
x
x
π
 
+ + +
 ÷
 
=
+
KD-2011:
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+
KB-2011:
sin 2 .cos sin .cos cos2 sin cosx x x x x x x+ = + +
KA-2011:
2
1 sin 2 cos2
2 sin .sin2
1 cot
x x