GV: Nguyễn Thị Tố Nga
Tổng hợp các chuyên đề về hàm số lượng giác, phương trình lượng giác
Dạng 1) Tìm TXĐ của hàm số lượng giác:
Phương pháp:
 Sử dụng phương pháp đã biết về tìm TXĐ của hàm số
 Sử dụng các kết quả sau:
( )
siny f x=
xác định khi f(x) xác định
( )
cosy f x=
xác định khi f(x) xác định
( )
tany f x=
xác định khi
( )
( )
0
¸c ®inh
cosf x
f x x


≠


( )
coty f x=
xác định khi
( )
( )

cos 0
sin 0
x
x
≠


≠

Dạng 2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Phương pháp:
 Xuất phát từ các BĐT:

1 sin 1x− ≤ ≤
Mở rộng
( )
1 sin 1f x− ≤ ≤
1 cos 1x
− ≤ ≤
Mở rộng
( )
1 cos 1f x− ≤ ≤
2
0 sin 1x≤ ≤
Mở rộng
( )
2
0 sin 1f x≤ ≤
0 sin 1x≤ ≤
Mở rộng

Dạng 3) Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác:
 Bước 1.Tìm TXĐ của hàm số: D
 Bước 2. Kiểm tra điều kiện
x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈
(1)
- Nếu (1) sai ( Tức là tồn tại
o
x D∈
nhưng
o
x D− ∈
.Kết luận HS không chẵn,không lẻ
- Nếu (1) đúng, chuyển sang bước 3:
 Bước 3. Tính f(-x), so sánh với f(x)
- Nếu
( ) ( )
f x f x− =
. Kết luận hàm số chẵn
- Nếu
( ) ( )
f x f x− = −
. Kết luận hàm số lẻ.
- Nếu
( ) ( )
µ
o o o
x m f x f x∃ − ≠
thì hàm số không là hàm số chẵn;
Nếu
( ) ( )

Chú ý: Có thể giải theo cách ngắn gọn như sau:
VD:
( )
2
sin 1
sin 3sin 2 0 2
sin 2
2

(Lo¹i)
x
x x x k k Z
x
π
π
=

− + = ⇔ ⇔ = ∈

=

Dạng 7) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
a) Định nghĩa: Là pt có dạng:
( )
2 2
sin sin cos cos 1a x b x x c x d+ + =
b) Cách giải:
 Nếu
cos 0
2

, ta có pt:
( )
( )
2
tan 1 tan 2
2
atan x b x c d x+ + = +
Giải phương trình (2)
 Kết luận:
Dạng 8) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
a) Định nghĩa:
( )
( )
2 2
sin cos 1 0a x b x c a b
+ = + ≠
b) Cách giải:
( ) ( )
2 2
1 sina b x c
α
⇔ + + =
Trong đó
2 2 2 2
sin ,cos
a b
a b a b
α α
= =
+ +

Trong đó
2 2 2 2
sin ,cos
a b
a b a b
α α
= =
+ +
(Chọn giá trị cho
α
nếu
sin ,cos
α α
rơi vào trường hợp đặc biệt )
GV: Nguyễn Thị Tố Nga
Khi đó pt
( )
2 2
sin
c
x
a b
α
⇔ − =
+
(2)
Dạng 9) Phương trình đối xứng với sinx và cosx:
a) Định nghĩa:
( )
sin cos sin osx + c = 0a x x b xc+ +

(2)
 Giải phương trình (2) theo t, đối chiếu với điều kiện
 Thay vào chỗ đặt, giải phương trình
sin cosx x t+ =
 Kết luận:
Dạng 10) Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu:
a) Phương pháp: Phân tích đồng thời điều kiện của pt, giá trị của x tìm được thành hợp của những
nghiệm thành phần và đối chiếu
Một số giá trị của x và các nghiệm thành phần của nó:
1)
( )
2
2 1
x k
x k
x k
π
π
π
=

= ⇔

= +

2)
2
2
x k
k


= ⇔ = +



= +

4)
4
2
4
4
3
4
x k
x k
k
x
x k
x k
π
π
π
π
π
π
π
π
=


x k
x k
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
=



= +


= +


= ⇔

= +




x y
x y x y
x y
+ −
+ =
+ −
+ =
+ −
− = −
− +
− =
Dạng 12) Áp dụng công thức nhân đôi, nhân 3, hạ bậc để giải PTLG:
Các công thức áp dụng:
GV: Nguyễn Thị Tố Nga
2
sin
1
2
2
2
sin2x = 2 sinxcosx
cos2x=cos
= 2cos
=1- 2cos
x x
x
x
−
−


1 2
1
. ... 0
0
...
0
n
n
f x f x f x
f x
f x
=
 =

⇔


=

b) Chú ý: Sử dụng một số kĩ năng biến đổi sau:
( ) ( )
2 2
cos2 cos sin cos sin cos sinx x x x x x x= − = + −
( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin cos sin
2
x x x x x x x x
− = − + = −
( )

 Cho x thoả mãn điều kiện cho trước
 Giải bất phương trình tìm k ( chú ý k nguyên ). Suy ra giá trị của x tương ứng
 Kết luận: Các nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện là: ......
a) Ví dụ
( )
;x x
π π π π
∈ − ⇔ < <
Với
x k
π
=
ta có
1 1k k
π π π
− < < ⇔ − < <
Vì
k Z∈
nên k = 0
0x
⇒ =
Một số phương trình có nghiệm gọn:
sin 0x x k
π
= ⇔ =
cosx = 1 x=k2
π
⇔
cosx=0 x=
2