Cac chuyen de ve ham so
Chuyên đề 1: Sự tơng giao của hai đồ thị
I . Bài toán cơ bản :
VD
1
: Cho hàm số y =
1
1

+
x
x
có đồ thị là ( C )
a) Tìm m để đờng thẳng (d): y = mx + 1 cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt.
b) Tìm m để (d) cắt ( C ) tại 2 điểm thuộc hai nhánh của ( C).
VD
2
: Cho hàm số y = mx
3
x
2
2x + 8m có đồ thị là ( C).
Tìm m để ( C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn: x < -1.
VD
3
: Cho hàm số: y = x
4
(3m + 4 )x
2
+ m
2

Phơng trình tiếp tuyến là: y y
o
=
f

(x
o
)(x x
o
) ( y
0
= f(x
o
) ).
Dạng 2 : Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trớc.
Cách giải 1: - Giải phơng trình
kxf
=

)(
để tìm hoành độ tiếp điểm x
o
- Thế x
o
vào công thức dạng 1.
Cách giải 2: - PT đờng thẳng (d) có hệ số góc k là : y = kx + b
- (d) tiếp xúc với ( C )

hệ


xkxf
)(
)()(

(1) có nghiệm.
- Giải hệ ta tìm đợc k từ đó ta có phơng trình tiếp tuyến.
Chú ý: Số nghiệm của (1) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua M
Cách giải 2: - Gọi tiếp điểm là (x
o
,y
o
) khi đó PT tiếp tuyến là: y y
o
=
f

(x
o
)(x - x
o
)
- Vì tiếp tuyến qua M nên ta có
000
))(( yxxf
+

=

(2)
- Giải (2) để tìm x

2
+ x + 2 . CMR trên đồ thị của hàm số không thể có hai tiếp tuyến vuông góc với
nhau.
VD
4
: Tìm trên đồ thị của hàm số y = x
3
+ 3x + 2 những điểm mà từ đó kẻ đợc đúng một tiếp tuyến với đồ thị của
hàm số.
VD
5
: Cho hàm số y =
22
232
2
2
+
+
x
xx
có đồ thị là ( C ). CMR tại các giao điểm của ( C ) với trục hoành , các tiếp
với ( C ) vuông góc với nhau.
VD
6
: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y =
1
2
2

+

: a) CMR tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị của hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 3 có hệ số góc nhỏ nhất.
b) CMR tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị của hàm số y = - x
3
+ 3x + 2 có hệ số góc lớn nhất.
VD
9
: Cho hàm số y =
2
2

+
x
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b) CMR trên ( C ) có vô số cặp điểm mà ở đó tiếp tuyến song song với nhau và các cặp điểm này đối xứng
nhau qua tâm của ( C ).
VD
10
: Cho hàm số y = x
3
3x + 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b) Tìm trên đờng thẳng y = 4 các điểm sao cho từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến với ( C )
c) Tìm trên đờng thẳng y = 4 các điểm sao cho từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến với ( C ) vuông góc với nhau.
VD
11

+
mx
mx

VD
3
: Tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị hàm số: y = 2x
3
- 3(m -2)x
2
- (m - 1)x + m
VD
4
: Cho hàm số y =
2
32
2

+
x
mxx
với m là tham số.
a) Tìm m để hàm số có cực trị.
b) Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị của hàm số.
VD
5
: Cho hàm số y =
2
34
2






2
1
,1
.
VD
3
: (ĐHQG Hà Nội 95): Xác định hàm số y = f(x) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm số y =
g(x) =
2
)1(
2


x
x
qua điểm M(1,1).
VD
4
(ĐHBK Hà Nội 90) : Tìm m để đồ thị của hàm số y =
12
3
22
3
+++
mmxx

và đối xứng với nhau qua đờng thẳng y = x 1.
chuyên đề 5 : khoảng cách
1) Khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng.
VD
1
(HVKTQS-95). Tìm trên đồ thị của hàm số y =
2
3
2


x
x
điểm M có tổng các khoảng cách từ M đến hai trục toạ
độ là nhỏ nhất.
VD
2
(HVQY-95). Tìm điểm M thuộc đồ thị của hàm số y =
2
2
+

x
x
sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục
toạ độ là nhỏ nhất.
VD
3
(ĐHAN-97).Tìm M trên đồ thị của hàm số y =
3

sao cho khoảng cách từ M đến trục
hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung.
VD
6
(ĐHQG-HCM-2000). Tìm điểm M trên đồ thị y =
1
1
2

+
x
xx
sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đ-
ờng tiệm cận là nhỏ nhất.
VD
7
(ĐH Ngoại Ngữ-2000). CMR tích các khoảng cách từ điểm K tuỳ ý thuộc đồ thị của hàm số y =
2
13
2

+
x
xx

tới hai đờng tiệm cận luôn là một hằng số.
VD
8
(HVKTQS-2000). Tìm điểm M trên đồ thị y = f(x) =
2

có cực đại , cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó
đến đờng thẳng x + y + 2 = 0 (d) bằng nhau.
2)Khoảng cách giữa hai điểm.
VD
1
(ĐH Luật 95). Tìm hai điểm E , F thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị của hàm số y =
1
1
2

+
x
xx
sao cho
đoạn EF ngắn nhất.
VD
2
(ĐH Nông Nghiệp 2000). CMR đờng thẳng (d) đi qua điểm I(0,k) có hệ số góc bằng (-1) luôn cắt đồ thị y =
2
12
+
+
x
x
tại 2 điểm phân biệt E và F . Tìm k để đoạn EF có độ dài nhỏ nhất.
3)Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 đồ thị.
VD
1
(ĐH Mỏ ĐC 99) . Cho đờng cong ( C ) : y = 2x
4

2
1
1
x mx m m
y
mx m m
+ +
=
+ +
. Tỡm cỏc im trờn Oy sao cho khụng cú bt k th no ca hm
s i qua.
GV: Nguyen Canh Chien Truong THPT Thanh Chuong 1