Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
 Vấn đề 1: Phép biến đổi đồ thò :

Phương pháp:
1) Dạng 1: Từ đồ thò (C): y = f(x) suy ra đồ thò (C
1
):
( )
xfy
=
, với các ghi nhớ:
* (C): y = f(x) và (C’): y = – f(x) đối xứng nhau qua Ox
* Viết
( )



<
≥
==
0
0
f(x) - f(x) khi
(x) f(x) khi f
xfy

* Đồ thò (C

+ Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại của (C)
+ Hợp 2 phần đồ thò ta có đồ thò (C
2
):
( )
xfy
=
3) Dạng 3: từ đồ thò (C): y = f(x) suy ra đồ thò của hàm (C
3
):
( )
xfy
=
bằng cách
kết hợp dạng 1 và dạng 2
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục qua Oy (sau khi bỏ đi phần bên trái Oy.
Giữ nguyên phần bên phải, hợp của nó và phần lấy đối xứng là đồ thò (C
2
)
( )
xfy
=
+ Lấy đối xứng tất cả các phần đồ thò (C
2
) vừa kết hợp nằm dưới trục Ox lên
trên Ox
+ Giữ nguyên phần bên trên, lúc đó ta có đồ thò của hàm (C
3
):
( )

++
=
0)a;(x
0)a;(x
a
b
bax
CBxAx
a
b
bax
CBxAx
bax
CBxAx
y
2
2
2

Qua các bước :

---1
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
+ Vẽ (C), và bỏ đi nhánh đồ thò của (C) bên trái tiệm cận đứng (d):
a
b
x
−=
+ Lấy đối xứng phần (C) bên trái tiệm cận đứng (d):
a

( ) ( )
...xQxPy
=
5) Dạng 5:Từ đồ thò (C): y = f(x) suy ra đường cong biểu diễn (C
5
):
( )
xfy
=
hay (C
5
):
( )
( )
( )( )
0
≥



−
=
xf:đk
xf
xf
y
qua các bước
+ Vẽ (C): y = f(x) và bỏ phần ở dưới trục Ox
+ Lấy đối xứng phần giữ lại qua trục Ox, (xuông phía dưới trục Ox)
Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)

5
6
x
y
x=1
y=x+1
Đồ thò (C
1
)

---2
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
Bài toán 2: (Phép suy thứ hai)
Vẽ đồ thò
( )

−
=
x
x
yC

---3
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Đồ thò (C
3
)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
x=-1
x=1
y=-x+1
y=x+1
Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)
Vẽ đồ thò
( )
1
:
2
4
−


---4
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
 Vấn đề 2: Biện luận tương giao của hai đường:

Phương pháp : Cho hai đường cong (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y= g(x)
Biện luận sự tương giao của (C
1

hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4
(C) : y = x
3
– 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)
x
3
– 3x + 2 = m(x – 2) + 4
 (x – 2)( x
2
+ 2x + 1 – m) = 0 (1)

---5
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)
- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2
- Xét phương trình g(x) = x
2
+ 2x + 1 – m = 0 (2)
Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0
⇔
m = 9
Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4
Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2
Ta có
m
=∆
′
m < 0

(C)
Tìm tất cả các giá trò m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thò
(C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thò (C)
Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) :
x
2
+ 4x + 1 = mx
2
+ 2x + mx + 4 – 2m (với x ≠ – 2)
⇔
(1 – m)x
2
+ (2 – m)x + 2m – 3 = 0 (*)
(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thò (C)
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho x
1
< x
2
< – 2 V – 2 < x
1
< x
2

(
)

⇔
m) (
m m
013
01624
2
9

---6
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08





>
≠
⇔
1.
3
4
m
m

Kết luận :






Ta có
∆
= (m + 1)
2
– 8m > 0
⇔
m
2
– 6m + 1 > 0




+>
−<
⇔
53
53
m
m
Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:







−
=+−=

mm
⇒
m = – 1
Lúc đó (*) thành trở thành : 2x
2
– 1 = 0
⇔
x =
2
1
±
Vậy








+−
−
2
2
1;
2
1
A



2
– 4x – 3 – m = 0
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
⇔
∆
′
= 7 + m > 0
⇔
m > –7
Lúc đó gọi x
A
, x
B
là 2 nghiệm của (1) ta có
S = x
A
+

x
B
= 4
P = x
A
x
B
= – 3 – m
a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc  f’(x
A
)f’(x
B

2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (y
B
– y
A
)
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (2 x
A
–2 x
B
)
2
= 100

Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và
( )
∆
:

( ) ( )
111
1
1
2
−≠++=
+
++
x:đk xa
x
x
( )
11233
22
++++=++⇔
xxxaxx
( ) ( ) ( ) ( )
* 02121
2
=−+−+−=⇔
axaxxxg
( )
∆
cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu



≠−
≠−
<−
⇔
a
aaa
aa
a
g
ga
 Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến :

Phương pháp :
1)Loại 1: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
)
Tính y’ = f’(x)
⇒
y’(x
0
) = f’(x
0
)
Phương trình Tiếp tuyến (C) tại M(x

* Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm
* Phương trình tiếp tuyến (D) tại M: (y – y
0
) = f’(x
0
)(x – x
0
)
* (D) đi qua điểm A nên : (y
A
– y
0
) = f’(x
0
)(x
A
– x
0
) (1)
Giải (1) tìm được x
0
, từ đó tìm được phương trình của (D)
3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và có hệ số góc cho trước
- Cách 1:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) và có hệ số góc k
(D) : y = kx + m (1)

Bài toán 1: Cho hàm số (C)
22
43
2
−
+−
=
x
xx
y
. M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B .
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M
Giải:
( )
(C) 1x
≠
−
+−=
−
+−
=
1
1
1
222
43
2
x

b
( )
( )
1
1
1
2
1
1
2
1
2
−
+−+−






−
−=⇔
a
a
ax
a
y
Tiệm cận đứng của (C) là (d
1
) : x = 1

;121
2
2
aaBdd
x
y
Ta có :
( ) ( )
MBA
xaaxx
==−+=+
121
2
1
2
1

( )
MBA
y
a
a
a
a
yy
=
−
+−=




−
2
1
2
1
;1

222.
1
2
.
2
1
=−
−
=
a
a
Vậy S
IAB
không phụ thuộc vào M
Bài toán 2: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 5 (C) .
Tìm tiếp tuyến của đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Giải : Gọi M(x
0

Bài toán 3: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 (Cm)

---10
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao
cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)
x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1
⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
( )




CB
CB
xxP
mxxS
Tiếp tuyến tại B và C vuông góc
( ) ( )
1
−=
′′
⇔
BC
xfxf
( )( )
12323
−=++⇔
mxmxxx
CBCB
( )
[ ]
1469
2
−=+++⇔
mxxmxxxx
CBCBCB
( )
[ ]
14691
2
−=+−+⇔
mmm

) thuộc (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M
( )
( )
( )
( ) ( )
12132313
32
00
3
0
2
0
+−−=−−+−−=
xxxxxxxxyd

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H)
( ) ( )
121323
32
0
3
+−−=−−
xxxxx
( ) ( )
02
0
2
0
=+−⇔
xxxx