Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a.
2sin 3x 3
6
π
 
− =
 ÷
 
b.
( ) ( )
0 0
sin 2x 45 c x 60 0os− + + =
c.
tan3x cot 2x
=
d.
( )
x
cot c
2
0
os 2x-30= −
e.
1
cosx.cos2x.cos4x.cos8x=
16
g.

os os x-
2 4
 
π π
 
=
 ÷
 
 
 
b.
( )
sin c 1os2xπ =
c.
( )
tan c 1
4
osx+sinx
π
 
=
 
 
c. 3sinx + 4cosx = 5
Bài 4*. a. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
(
)
2
c 3x 9x 160x 800 1
8

3 4 3 0− + =cot x cot x
Bài 6. Giải các phương trình
a.
cos2x - sinx +2 =0
b.
2 2 2 3+ =tan x cot x
c.
2
2
cos2x + sin x cosx +1 = 0+
d.
2
4 2 8 9 0
2
sin x cos x+ − =
Bài 7. a. Tìm các nghiệm của phương trình
2
3 3 0sin x sin x+ =
thỏa mãn
2 4
3 3
x ;
π π
 
∈
 
 
b. Tìm m để phương trình
( )
2


Bài 9. Giải phương trình:
a.
2 2
cos 2 3 sin cos 3sin 1x x x x+ + =
.
b.
3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3 cos4 3x x x x x+ + =
. (HV CNBCVT-2001).
c.
cos7 sin 5 3(cos5 sin 7 )x x x x− = −
.
d.
2
4sin ( ) sin 2 1
6
x x
π
+ + =
e.
2
2sin(2 ) 4sin 1
6
x x
π
+ + =
Bài 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
a.
2 2

+ +
. b.
sin
cos 3
x
y
x
=
+
c.
2
4sin
2 sin(2 )
6
x
y
x
π
=
+ +
.
Bài 11’. Tìm các giá trị của x để
1 sin
2 cos
x
y
x
+
=
+

   
+ + − =
 ÷  ÷
   
Bài 13. Giải các phương trình
a.
( )
2
3 8 9 0
2
sin x s inxcosx + 8 3 cos x+ − =
b.
2
1
2
2
2
sin x sin2x - cos x+ =
c.
( ) ( )
2
2 3 3 1 1
2
sin x s inxcosx + 3 cos x+ + − = −
d. 4sinx + 6cosx =
1
cosx
Bài 14. Giải các phương trình
a.
2

Bài 15. Giải các phương trình
a.
2 3 6
3
sin x sin x sin x cos x+ =
b.
3
4 0sin x sin x cosx− + =
c.
3
4 3
3 2
cos x sin x cosxsin x s inx=0− − +
d.
3 2
sin 3cos 3sin cos 2sinx x x x x+ = +
e.
3
cos2 sin cos cos sinx x x x x+ = +
g.
3
sin 3 cos cos sinx x x x+ = +
Trang -2-

V. Phương trình đối xứng với sinx và cosx, đối xứng với tanx và cotx
Bài 16. Gải các phương trình
a.
( )
3 2 2 3 0s inx+cosx sin x+ + =
b.

s inx
+ cosx +
1
cos x
=
10
3
Bài 17. Giải các phương trình
a.
sin cos 4sin 2 1x x x− + =
b.
sin 1 cos 1 1x x+ + + =
c.
sin 2 2 sin 1
4
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
. d.
2 sin3 cos3 sin cosx x x x+ − = +
.
e.
3 3
sin cos sin 2 sin cosx x x x x+ = + +
.g.
cos sin sin cos 1x x x x+ + =
.(ĐH QGHN 97)

a. cos5xcos3 = cosxcos7x b. sin2x - cos5x = cosx - sin6x
c. cosx + cos11x = cos6x d. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x
e. tanx + tan2x = tan3x g.
2
sinx+sin3x+sin5x
tan 3
osx+cos3x+cos5x
x
c
=
Bài 20. Giải các phương trình
a.
2 2 2
5 2 3sin x sin x sin x+ =
b.
3
3 4 5
2
2 2 2
cos x cos x cos x+ + =
c. 8cos
4
x = 1 + cos4x d. sin
4
x + cos
4
x = cos4x
e. 3cos
2
2x - 3sin

h. sin
2
xtanx + cos
2
xcotx - sin2x = 1 + tanx + cotx
i. sin
2
x + sinxcos4x + cos
2
4x =
3
4
.
Trang -3-

VII. Tổng hợp các phương pháp giải phương trình lượng giác
1. Đặt ẩn phụ
Áp dụng cho các loại phương trình :
• Phương trình bậc hai, bậc ba… với một hàm số lượng giác
• Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Đặt t = tanx)
• Phương trình đối xứng với sinx, cosx (đặt t =
sinx cosx
±
) ; đối xứng với tanx và cotx (đặt t
=
tanx cotx±
)
• Một số phương trình khác…….
VD1. Giải phương trình :
x

os
os
c x
c x
−
)
VD4 . GPT :
6 6
sin cos sin 2 1x x x+ + =
(đặt t sin2x)
VD5.
3
8 os os3x
3
c x c
π
 
+ =
 ÷
 
(Đặt t =
3
x
π
+
).
VD6.
2 2
sin 2 sin sin 2 sin 1 0x x x x+ − + − + =
Bài tập vận dụng :

cos cos 3 0
cos 3 cos
x x
x x
 
+ − + − =
 ÷
 
7.
( )
2 2
2
4
4 tan 10 1 tan tan 0
cos
x x x
x
+ + + =
8.
2
cos cos cos sin 1x x x x+ + + =
9.
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷

3 4
1 2cos 3cos
5 5
x x
+ =
VD4:
3
2sin cos 2 cos 0x x x+ + =
VD5:
2sin cot 2sin 2 1x x x
+ = +
VD6:
2 2
7
sin cos 4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x
π
 
− = − −
 ÷
 
Trang -4-

Bài tập vận dụng
Bài 23 : Giải các phương trình
1.
3 3 3
cos 4 cos3 .cos sin sin 3x x x x x= +

( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x+ + − + =
3.Phương pháp không mẫu mực
Vd1 :
4 4
sin cos cos2x x x+ =
Vd2 :
2008 2009
sin cos 1x x+ =
Vd3 :
( )
sin 3 cos sin 3 2x x x+ =
Vd4 :
8 8
1
sin 2 cos 2
8
x x+ =
Vd5 :
2
8cos 4 cos 2 1 sin3 1 0x x x+ − + =
Bài tập vận dụng
Bài 24 : Giải các phương trình
1.
2
cos4 3cos 4sin
2
x
x x− =

x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
(ĐH A-2008)
2.
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin .cosx x x x x x− = −
(DH B-2008)
3.
( )
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
(ĐH D-2008)
4.
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
(ĐH A - 2007)
5.
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =

+ + =
 ÷
 
(ĐH B - 2006)
9.
cos3 cos 2 cos 1 0x x x
+ − − =
(ĐH D - 2006)
10.
2 2
cos 3 cos 2 cos 0x x x− =
(ĐH A - 2005)
Trang -5-

11.
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x
+ + + + =
(ĐH B - 2005)
12.
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
(ĐH D - 2005)

x
− + =
(ĐH B - 2003)
18.
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
(ĐH D - 2003)
19. Tìm các nghiệm thuộc (0;2π) của pt:
cos3 sin 3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
(ĐH A - 2002)
20.

cos sin
x x
x x
x x
+ = −
26.
2 2 sin cos 1
12
x x
π
 
− =
 ÷
 
27.
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
= −
28.
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
tan 1

2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π
 
− − −
 ÷
 
=
−
Trang -6-