CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV. Đỗ Văn Thọ
Năm 2012
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ

2

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 cot ;
sin
a a k
a

  

2
2
1
1 tan ;
os 2
a a k
c a


   

 tan .cota=1 ;
2
a a k


a. Cung đối:


 
 
 
cos cos

 
  
  
  

c. Cung phụ
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ

3

sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
a a
a a
a a
a a




 
 
 
 




 
 
  
  

e. Cung hơn kém
2


sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
a a
a a
a a
a a




 
 

a b a b a b
a b
a b
a b
  
 

 



g. Công thức nhân
 Nhân đôi
2 2 2 2
2
sin2 2sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan2
1 tan
a a a
a a a a a
a
a
a

     




cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
a
a
a
a








 Chia đôi:
Đặt tan ;
2 2 2
a a
t k


 
  
 







 Công thức biến đổi tổng thành tích
 
 
 
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin
tan tan
cos .cos
sin
cot cot
sin .sin
sin
cot cot
sin .sin
a b a b
a b
a b a b

   
   
   
1
sin .cos sin sin
2
1
cos cos cos cos
2
1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
   
 
 
   
 
 
   
 

Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ

6

 Một số công thức khác



Nếu
1
a

thì phương trình vô nghiệm
Nếu
1
a

thì
cos os 2 ,
x c x k k
  
     


2.
sin
x a


Nếu
1
a

thì phương trình vô nghiệm
Nếu
1


4.
cot cot cot ,
x a x x k k
  
      


5. Phương trình bậc 2 của một hàm số lượng giác
2
cos cos 0
a x b x c
  
. Đặt
cos ; 1
t x t
 

2
sin sin 0
a x b x c
  
. Đặt
sin ; 1
t x t
 

2
tan tan 0
a x b x c

a b c
 
thì phương trình vô
nghiệm. Nếu
2 2 2
a b c
 
thì thực hiện bước 2
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ

7

- Bước 2: Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b

. Khi đó (*) trở
thành
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
 
  
(**)
- Bước 3: Đặt
2 2 2 2
sin ;cos
a b

cos
x

2 2
sin sin .cos cos
a x b x x c x d
  

- Xét trường hợp
cos 0
x


- Xét trường hợp
cos 0
x

. Chia hai vế phương trình cho
2
cos
x

đưa về phương trình theo
tan
a



2 2 2
tan tan 1 tan tan tan 0

 
 
 
    
 
 

Bài 2.
cos7 .cos5 3sin2 1 sin7 sin5
x x x x x
  
ĐS: ;
3
x k x k

 
 
   
 
 

Bài 3.


4 4
4 sin cos 3sin4 2
x x x
  

ĐS: ;

  
ĐS:
2 2
; 2
9 3
k
x x k
 
 
 
    
 
 

Bài 6. (Khối A - 2009)


  
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x


 
ĐS:
2
18 3
k


2
sin tan 1 3sin cos sin 3
x x x x x
   

Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ

9

ĐS: ;
4 3
x k x k
 
 
 
     
 
 

Bài 10. (Khối B - 2008)
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cos
x x x x x x
  
ĐS: ;
3 4
x k x k
 
 

x x
x

  ĐS:
4
x k


  

Bài 13.
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x

 
  
 
 
ĐS:
4
x k


  
Bài 14. (ĐHQG – Khối D - 1999)
sin cos sin cos 2
x x x x
   

2
4
x k


 
Bài 17.
2
4
cos cos
3
x
x
 ĐS:
3
3 ;
4 2
k
x k x
 

 
   
 
 

Bài 18. (Khối B - 2002)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x

x x x k
   

 
     
 
 

Bài 20. (ĐH Dược 1999)


2 2
sin 4 cos 6 sin 10,5 10
x x x

  
ĐS: ;
20 10 2
k
x x k
  

 
   
 
 

Bài 21.
2 2
5 9

x x
   
 
    
 
 

Bài 23. (ĐH Mở - 2000)
3 3
2
cos .cos3 sin sin3
4
x x x x 
ĐS:
8
x k


 
  
 
 

Bài 24. (Dự bị - Khối A - 2006)
3 3
2 3 2
cos3 .cos sin3 .sin
8
x x x x


8 2cos 2 2sin .sin3 6 2cos 1 0
x x x x
   
ĐS:
8
x k


 
  
 
 

Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ

11
Bài 27. (ĐHNT - 2000)
 
8 8 10 10
5
sin cos 2 sin cos cos2
4
x x x x x
   
ĐS:
4 2
k
x
 
 


Bài 30. (ĐHGT - 1999)
4 4
7
sin cos cot .cot
8 3 6
x x x x
 
   
   
   
   

ĐS:
12 2
k
x
 
 
  
 
 

Bài 31. (ĐHCĐ – 1999 + Khối B - 2005).
1 sin cos sin2 cos2 0
x x x x
    

ĐS:
2



cos sin sin cos cos cos2
x x x x x x
 
ĐS: ;
2 4
x k x k
 
 
 
   
 
 

Bài 34. (HVKTQS - 1999)
3 3
2sin sin 2cos cos cos2
x x x x x
   

ĐS: ; 2 ; 2
4 2 2
k
x x k x k
  
  
 
      
 

2
x k x k

 
 
  
 
 

Bài 37. (ĐHYHN - 1995)




2
2sin 1 2cos2 2sin 1 3 4cos
x x x x
    
ĐS:
5
2 ; 2 ;
6 6 4 2
k
x k x k x
   
 
 
     
 
 


0,14
của
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
   
ĐS:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
   
 
   
 
 

Bài 41. (ĐH Luật - 1999)




4 sin3 cos2 5 sin 1
x x x
  

ĐS: 2 ; 2 ; 2
2
x k x k x k


ĐS:
2
k
x

 

 
 

Bài 44. (ĐHQG – Khối D - 2000):
1 3tan 2sin2
x x
 

ĐS:
4
x k


 
  
 
 

Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ

13
Bài 45. (HVNHHCM – 1998).
2 cos 2tan

 

Bài 47. (ĐHQG - Khối A - 1999)
3
8cos cos3
3
x x x

 
 
 
 

ĐS:
2
; ;
6 3
x k x k x k
 
  
 
     
 
 

Bài 48. (HVKTQS - 1998)
cos2 3sin2 cos 3sin 4 0
x x x x
    


 

Bài 50* (Dự bị - Khối D - 2007)
2 2 sin cos 1
12
x x

 
 
 
 

ĐS: ;
4 3
x k x k
 
 
 
   
 
 

Bài 51. (Khối D - 2009)
3cos5 2sin3 cos2 sin 0
x x x x
  

ĐS: ;
18 3 16 2
k k

sin 2
x
x
x

 
 
 
 

Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ

14
ĐS:
2
2
3
x k


 
  
 
 

Bài 54.
sin3 sin
sin2 cos2
1 cos2
x x


  ĐS: ;
4 2 4
k
x x k
  

 
    
 
 

Bài 56. (NN1 - 1998)
2 4
sin 2 cos 2 1
0
sin .cos
x x
x x
 

ĐS:
4
x k


 
 
 
 

 

Bài 58. (Dự bị - Khối B - 2003).


2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x

 
  
 
 



ĐS:
4
2
3
x
x k

 
 

3
cos cos2 cos3
x x x
x x x
 

 

ĐS:
7 5
2 ; 2 ; 2
6 6 3
x m x m x m
  
  
 
     
 
 

Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ

15
Bài 61. (Khối B - 2003)
2
cot tan 4sin 2 0
sin2
x x x
x
   

48 8
k
x
 
 
  
 
 

Bài 64. (ĐHYHP - 2001)
3tan 2cot2 tan2
x x x
 

ĐS:
2
x k


 
  
 
 
với
1
cos
3




2
k
x

 

 
 

Bài 67.


2 sin cos
3
2tan2 sin 2 1
2 sin cos
x x
x x
x x


 
   
 

 
ĐS:
2
x k


x


Bài 70.
 
2
cos 2
2
x
x

 
ĐS: Vô nghiệm
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ

16