Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

1
CHUYÊN ĐỀ:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM
1. Hệ thức cơ bản giữa các ham số lượng
giác:
22
2
2
2
2
cos sin 1
sin
tan ( , )
cos 2
cos
cot ( , )
sin
tan .cot 1
1
1 tan ( , )
2
cos
1
1 cot ( , )
sin

Cung
0
0
0

0
30
6


0
45
4


0
60
3


0
90
2
0

0

2
1

2
2

2
3

1
0
cosx
1
2
3

2
2

2
1

0

-1
tgx
0


ab
ab



tana tanb
cot(a b)
1 tana tanb



4. Công thức nhân đôi, nhân ba
 cos(x  ) = - cosx
 tan(x  ) = tanx
 cot(x  ) = cotx
6. Biểu diễn cosa , sina , tga theo
t =
a
tan
2
(tham khảo)
2
2 2 2
1 2 2
cos ;sin ,tan
1 1 1
t t t
a a a
t t t


22
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin
22
sin( )
tan tan
cos .cos
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b
ab
ab
ab
ab



  








sin3a 3tana tan a
tan3a
cos3a
1 3t









2
an a
4 4 2
6 6 2
1
sin cos 1 sin 2
2
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x
x x x
  
  

sina cosa 2cos(a ) 2sin( a)
44

tgx tga x a k (x,a k )
2

       


cotgx cotga x a k (x,a k )      

Các phương trình đặc biệt
sinx = 0  x = k; sinx = -1 
x k2
2

   
; sinx = 1 
x k2
2

  

cosx = 0 


 k
2
x
; cosx = -1 

2kx 
; cosx = 1 


kx 
4


         
1 3 1 3
sin cos ; cos sin
2 2 2 2
x x x x


       sin 0 cos 1; sin 0 cos 1x x x x

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
asinx + bcosx = c (a, b, c ≠ 0)
Phương pháp:
* Cách 1: Dùng góc phụ
Điều kiện để phương trình có nghiệm: c
2
≤ a
2
+ b
2

Ta có: asinx + bcosx = c
 sinx +
bc
cosx
aa


* Cách 2: (Tham khảo)
Đặt
x
t tg
2

(với x ≠  + k2 )
Ta có: a.sinx + b.cosx = c
sin(x + α) = sinβ
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

5

2
1t
2t
a. b. c
22
1 t 1 t



 (b + c)t
2
– 2.a.t + c –b = 0 (2)
Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t
0
, ta sẽ có phương trình

3. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác
Các dạng phương trình:
 asinx = b (acosx = b)
 atgx = b (acotgx = b)
- Thông thường ta gặp các phương trình mà phải qua một số phép biến đổi lượng giác
cơ bản ta mới đưa được về một trong các dạng phương trình trên.
- Cách giải:
+ Đưa chúng về dạng PTLG cơ bản
+ Chú ý: |sinu|  1, |cosu|  1
4. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
 PT dạng: asin
2
x + bsinx + c = 0 (hay acos
2
x + bcosx + c = 0) với a ≠ 0
Phương pháp:
Đặt t = sinx, -1≤ t ≤ 1 (Hay t = cosx)
Phương trình trở thành:
a.t
2
+ b.t + c = 0
Nếu PT này có nghiệm t
0
(-1≤ t
0
≤ 1), ta được PT cơ bản:
sinx = t
0
(hay cosx = t
0

Phương pháp giải: (Nếu cho ở dạng: asin
2
x + bsinxcosx +ccos
2
x = d  0
thì thay d = d(sin
2
x +cos
2
x) đưa về dạng (1) )
* Cách 1: Thay sin
2
x =
1 cos2x
2

; sinx.cosx =
1
.sin2x
2
; cos
2
x =
1 cos2x
2

;
Ta có: a.
2
1

6. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx =
2cos(x )
4


 -
2t2 

Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

7
 sinx.cosx =
2
t1
2

: Phương trình trở thành: bt
2
+ 2.a.t +2c – b = 0
Nếu phương trình có nghiệm t
0
, ta giải phương trình:

2cos(x )
4


= t

Bài 2: Giải các phương trình sau:

6 6 4 4 2
2 2 2 2
1) 4(sin x cos x) 2(sin x cos x) 8 4cos 2x
2) sin x + sin 3x = cos x + cos 3x
3) 16cosx cos2x cos4x = 3sin8x
cos2x 3
4) cosx
sinx cosx 2
    



Bài 3: Giải các phương trình sau:
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

8

2 2 2
22
66
22
1) sin x + sin x tg x 3
cos x sin x
2) 8cotg2x = .sin2x
cos x sin x
3) 5cos x + sin x = 4
4) sinx tg2x 3(sinx 3tg2x) 3 3

33

    

Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 5sin
2
x – 4sinx – 1 = 0
2) cos2x – 3cosx – 4 = 0
3) 3tg2x – 3tgx -
5
2
= 0
4) 4cotg2x =
22
66
cos x sin x
cos x sin x



5) 2tgx + cotg2x = 2 sin2x +
1
sin2x

Bài 3: Giải các phương trình sau:
1) 2cos7x cosx = 2cos6x cos2x + cos
2
2x + sin
2

2
2x = 2
5)
2
2
4x
cos cos x
3
0
1 tg x


PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
THEO SIN VÀ COS (a.sinu + b.cosu = c)
Giải các phương trình sau:

3
2
1) 3sin x cosx 2 0
2) 3sinx + 1 = 4sin x 3cos3x
3) 3sin x cosx 2cos(x ) 2
3
4) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin x
5) 1 cosx sin3x cos3x sin 2x sin x
  



4
x + 2sin
2
xcos
2
x – 14sin
2
x - 8sinxcosx – 1 = 0
4) 2cosx
3
x + 3cosx – 8sin
3
x = 0
5) 6sinx – 2cos
3
x =
5sin4xcosx
2cos2x

6) sin
3
(x +
4

) =
2
sinx
7) 3
2
cosx – sinx = cos3x + 3

x = cos2x
7) (1 - sin2x)(sinx + cosx) = cos2x
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PTLG ĐẶC BIỆT
I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ PTLG THƯỜNG GẶP
II. BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1
2
12
A = 0
A = 0
A .A A = 0

A = 0
n
n








III. ĐẶT ẨN SỐ PHỤ ĐƯA VỀ PTLG THƯỜNG GẶP
Chú ý:
 Các dạng phương trình bậc ba: Đã biết cách giải
 Các dạng phương trình bậc bốn:
Dạng 1: Phương trình bậc bốn trùng phương: ax
4
+ bx

Ta chia hai vế phương trình cho x
2
(x  0), đặt t = x 
1
x

VD: Giải các phương trình:
a) (sin
2
x + 3)
4
+ cos
8
x =
1201
8

b)
22
sin x cos x
9 9 6

c) tg2x – 2tgx + sin2x = 0

IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
 Phương pháp: Giải phương trình f(x) = g(x):
- Ta đi chứng minh MGT của f(x) và g(x) chỉ chứa 1 số A chung duy nhất.
- Hay đi CM: f(x)  g(x) (hoặc f(x)  g(x))
 Ví dụ: Giải phương trình:
a) sin

sin x cos x
3cos x cos x cos2x

V. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
 Phương pháp:
- Sử dụng các hằng đẳng thức (a  b)
2
, (a  b c)
2

để đưa phương trình về dạng: A
2
+ B
2
+ C
2
= 0 
A0
B0
C0








- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m)
- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)
- PTLG có nghiệm  g(m)  MGT của f(t)
(Chú ý: Tính bị chặn, MGT của các hàm số: sinu, cosu, tgu  cotgu)
2. BÀI TOÁN 2: Tìm tham số (m…) để PTLG có n nghiệm
 Phương pháp:
Cách 1: Dùng PP giải tích:
- Đặt t = h(x) - biểu thức nào đó trong PTLG, Tìm MGT của t.
- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m) (1)
- Từ PT: t = h(x): Ta lý luận quan hệ về số nghiệm giữa t và x.
- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)
Từ đó suy ra số nghiệm của (1)  giá trị m cần tìm.
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Cho phương trình: cos
4
x + (cosx – 1)
4
= m
3
(1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm x 
2π
[0; ]
3

Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác


Bài 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 7 nghiệm x 
π
(- ; 2 )
2


cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 (ĐH Y DƯỢC TP.HCM 2000) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
THEO SIN VÀ COS (a.sinu + b.cosu = c)

Bài 5: Cho phương trình:
3
m.sinx + (2m – 1)cosx = 3m + 1 (1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm x 
π
(0; )
2

Bài 6: Cho phương trình: 2(m - 1)sinx + 4m
2
cosx =
3
cosx
(1)
Tìm m để (1) có đúng hai nghiệm x 
π
(0; )


Bài 9: Cho phương trình: msin2x + (m – 1)(sinx + cosx) +2m -1 = 0
Tìm m để (1) có nghiệm x 
ππ
(- ; )
22

Bài 10: Cho phương trình: 2 + sinx + cosx = m
sin2x
1
2

(1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có đúng 4 nghiệm x 
π
(- ; )
2


E. GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH (2000 – 2010)

Bài 1: Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 (KD – 2002)
Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình:
5(sinx +
cos3x sin3x

4) cotgx – 1 =
cos2x
1 tgx
+ sin
2
x -
1
2
sin2x (KA – 2003)
Bài 7: Giải phương trình:
Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện:

cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3  

Tính ba góc của tam giác ABC (KA – 2004)
Bài 8: Giải phương trình:
1) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tg
2
x (KB – 2004)
2) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx (KD – 2004)
3)
44
3
cos x sin x cos(x )sin(3x ) 0
4 4 2

     
(KD – 2005)
4) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 (KB – 2005)
5) cos

11) 2sin
2
2x + sin7x – 1 = sinx (KD – 2007)
12)
1 1 7
4sin( )
3
sin 4
sin( )
2
x
x
x


  

(KA – 2008)
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

16
13) sin
3
x –
3
cos
3
x = sinx.cos
2

x x x
x
x
(KA – 2010)

F. BÀI TẬP LÀM THÊM:
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
2sin 3 0
5
x


  


2)
3
cos 2 sin 0
42
xx

   
   
   
   

3tan2 1 0x
3) tan3x.tanx = 1 4) cot2x.cot
1
4
x


  



5)
 
3tan2x.cot3x + 3 tan2 3cot3 3 0xx  
6)
 
tan2 .sinx+ 3 sinx - 3tan2 3 3 0xx

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra:
1)


2sin 3 0, 0;2
34
x
x



   

   

5) Tìm tất cả các nghiệm x
)3;
2
(



của pt: sin(2x +
)
2
7
cos(3)
2
5

 x
= 1 + 2sinx
Bài 4: Giải các phương trình sau:
1) 4cos
2
(2x - 1) = 1 2) 2sin
2
(x + 1) = 1 3) cos
2
3x + sin
2
4x = 1
4) cos

2
cos7x
10) cos
2
2x – sin
2
8x = sin(
x10
2
17


) 11) sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
12)
x
x
x
cos2
sin1
2sin




 xxx
=
x))
3
x)cos(-
3
cos(x(sin43
2

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) 2cosx -
2
= 0 2)
3
tanx – 3 = 0 3) 3cot2x +
3
= 0 4)
2
sin3x – 1 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0 2) cos
2
x + sinx + 1 = 0 3) 2cos





2) 4sin
3
x + 3
2
sin2x = 8sinx 3) 4cosx.cos2x + 1 = 0
4)
1-5sinx+2cosx =0
cosx 0






5) sin3x + 2cos2x - 2 = 0 6) tanx +
3
cotx
- 2 = 0
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

18
7)
2
4
cos x

16)
24
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
  

17) 2cosx -
sinx
= 1
18).
44
1
sin x cos x
2

19)
44
sin x cos x cos2x

20)
44
x
44
1
sin x sin



4sin x cos x sin x cos 4x  
25)
 
24 4 2
1
2
sin x cos x sin xcos x sinxcosx  

26)
33
2
cos xcos3x sin xsin3x=
4

27)
3 3 3
cos 4x cos xcos3x sin xsin3x 
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
3sin cos 2 0xx  
2)
3
3sin 1 4sin 3cos3x x x  
3)
44
sin cos 1

44

  

5)
3(1 cos2 )
cos
2sin


x
x
x
6)
2
1
sin2 sin
2
xx

7)
1
3sinx+cosx =
cosx
8)
tan 3cot 4(sin 3cos )  x x x x

Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác


2
1+cosx+cos2x+cos3x 2
= (3- 3sinx)
2cos x+cosx-1 3

16)
cos7x sin5x 3(cos5x sin7x)  DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1)
22
2sin sin cos 3cos 0x x x x  
2)
2
2sin2 3cos 5sin cos 2 0x x x x   

3)
22
sin sin2 2cos 0,5x x x  
4)
2
sin2 2sin 2cos2x x x

5) 2sin
2
x + 3sinx.cosx - 3cos
2
x = 1 6)

x + cosx = 0
5) 2 sin
2
x + 6sinxcosx + 2(1 +
3
)cos
2
x – 5 -
3
= 0
6) (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7) sin3x - sinx + cosx – sinx = 0
8) tanxsin
2
x - 2sin
2
x = 3(cos2x + sinxcosx) 9) 3cos
4
x - 4sin
2
xcos
2
x + sin
4
x = 0
10) 4cos
3
x + 2sin
3
x - 3sinx = 0 11) 2cos
3

5) 1 + tanx = 2sinx +
1
cosx
6) sin x + cosx=
1
tanx
-
1
cot x

7) sin
3
x + cos
3
x = 2sinxcosx + sin x + cosx 8) 1- sin
3
x+ cos
3
x = sin2x
9) 2sinx + cotx = 2sin2x+1 10)
2
sin2x(sin x + cosx) = 2
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

20
11) (1+sin x)(1+cosx) = 2 12)
2
(sin x + cosx) = tanx + cotx
13) 1 + sin

10
3
19)
2
2
42
2 os 9 os 1
os os
c x c x
c x c x
   
   
   
   DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Giải các phương trình sau:
1) cos2x - cos8x + cos4x = 1 2) sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3) sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4) sin
3
x + 2cosx – 2 + sin
2
x = 0
5) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6)
3
2
sin2x +
2
cos

x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
14) 2sin3x -
1
sinx
= 2cos3x +
1
cosx

15) tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx -
1
cosx
) = 0
16) cos
3
x + cos
2
x + 2sinx – 2 = 0 17) cos2x - 2cos
3
x + sinx = 0
18) sin2x = 1+
2
cosx + cos2x 19) 1 + cot2x =
2
1-cos2x
sin 2x

20) 2tanx + cot2x = 2sin2x +
1
sin2x
21) cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0

2
) * a
8
+ b
8
= ( a
4
+ b
4
)
2
- 2a
4
b
4

* a
4
- b
4
= ( a
2
+ b
2
)(a
2
- b
2
) * a
6

2
x
=1-2sinx 2) cos
3
x-sin
3
x=cos
2
x-sin
2
x
3) cos
3
x+ sin
3
x= cos2x 4)
44
sin x+cos x 1
= (tanx+cotx)
sin2x 2

5) cos
6
x - sin
6
x =
13
8
cos
2

3
x + sin
4
x = cosx + cos
2
x + cos
3
x + cos
4
x
11) cos
8
x + sin
8
x =
1
8
12) (sinx + 3)sin
4
x
2
- (sinx + 3)sin
2
x
2
+ 1 = 0
DẠNG 8: TỔNG HỢP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) cos
3

1
(ĐH Thương Mại)
ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
   

       

4) 4(sin3x  cos2x) = 5(sinx  1) ĐS:
2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l

     
      
với
1
sin
4



5) sinx  4sin
3
x + cosx = 0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
xk

3
x.sin3x = sin
3
4x
HD: sin
2
x.sinx.cos3x + cos
2
x.cosx.sin3x = sin
3
4x ĐS:
12
xk


.
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

22
8)
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x  

HD: Chia hai vế cho cos
3
x ĐS: x =
3
k


2
x

11) 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0.
HD: (1+sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x = 0. (sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(cos
2
x–sin
2
x) = 0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
12)
 
2 cos sin
1
tan cot2 cot 1
xx
x x x



ĐS:
 
2
4
x k k



HD: Phương trình  (cosx – sinx)
2
– 4(cosx – sinx) – 5 = 0
15) (cosx + 1)(cos2x – mcox) = msin
2
x khi m = -2 (ĐH QG TP HCM)
16) sin
2008
x + cos
2008
x = 1
17) sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (ĐHKTQD HN)
18) (ĐH HUẾ) a) sin
4
x + cos
4
x = cos4x b) sin
6
x + cos
6
x =

= 0
Bài 2: Giải các phương trình:
1) sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x 2) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2

3) sin
2
x + sin
2
3x - 3cos
2
2x = 0 4) cos3x + sin7x = 2sin
2

2
3x
Email: Blog: www.caotu28.blogspot.com
ST&BS: Cao Văn Tú Chuyên đề: Phương trình lượng giác

23
9) (sin
2
2x + cos
4
2x - 1):
sinxcosx
= 0 10) 2cos
2
2x + cos2x = 4 sin
2
2xcos
2
x
11) sin
3
xcos3x +cos
3
xsin3x=sin
3
4x 12) 8cos
3
(x +
π
3


18) sin
2
4x - cos
2
6x = sin(
10,5π+10x
) víi
π
x (0; )
2


19) 4sin
3
xcos3x + 4cos
3
x sin3x + 3
3
cos4x = 3
20) cos4xsinx - sin
2
2x = 4sin
2
(
42
x


) -