Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG
Tên chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn
Giáo viên Trường THPT Đội Cấn
Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 11 và 12
Số tiết bồi dưỡng: 12 tiết
NỘI DUNG
Chương I. Kiến thức cơ sở
Công thức biến đổi lượng giác
• Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.
• Các hằng đẳng thức lượng giác
• Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
• Công thức biến đổi
Chương II.
Các bài toán cơ bản (số tiết 12)
Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản.
Dạng 2. Phương trình bậc 2, bậc 3,với một hàm số lượng giác.
Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp với sinx và cosx
Dạng 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cox.
Dang 6. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực
Trang số 1
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Chương I. Kiến thức cơ sở
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A. Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.
0
6
π
4

cos 1
3
2
2
2
1
2
0 -
1
2
-
2
2
-
3
2
-1
tan 0
3
3
1
3
||
-
3
-1
3
3
−
0

 ÷
 
 
+ = ≠ + + = ≠
 ÷
 
C. Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
2x k
π
+
x k
π
+
x−
x
π
−
2
x
π
−
x
π
+
2
x
π
+
sin sinx
( )

a b a b
a b a b
a b a b
+ −
+ = − =
− +
2. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
2 2 2 2
os2 os sin 2 os 1 1 2sinc a c a a c a a= − = − = −

Trang số 2
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
3. Công thức nhân ba:
sin3x = 3sinx – 4sin
3
x
cos3x = 4cos
3
x – 3cosx


3
3cos cos3
cos
4
a a
a
+
=

3
3sin sin 3
sin
4
a a
a
−
=
Mở rộng (Phải chứng minh khi sử dụng)

sin 3 4sin .sin .sin
3 3
a a a a
π π
   
= − +
 ÷  ÷
   
os3 4 os . os . os
3 3
c a c a c a c a

= − + +
= − − +
= − + +
6. Công thức biến tổng thành tích:

sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
+ −
+ =
+ −
− =

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
+ −
+ =
+ −
− = −

sin .sin
b a
a b
a b
−
+ =
Trang số 3
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

2
tan cot
sin 2
a a
a
+ =

cot tan 2cot 2a a a− =
7. Công thức biểu diễn các giá trị lượng giác của a theo
tan
2
a2
2t
sin
1 t
a =
+


− = − =− +
 ÷  ÷
   
sin 3 cos 2sin 2 os
3 6
a a a c a
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin 3 cos 2sin 2 os
3 6
a a a c a
π π
   
− = − = +
 ÷  ÷
   
3 sin cos 2sin 2 os
6 3
a a a c a
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
3 sin cos 2sin 2 os
6 3
a a a c a

sin . : 1 1.
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a Ñieàu kieän a
x a k
x a k Z
x a k
= − ≤ ≤

= +
= ⇔ ∈

= − +

π
π π
c/
sin sin sin sin( )u v u v= − ⇔ = −
d/
sin cos sin sin
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
sin cos sin sin

α α π
b/
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Ñieàu kieän a
x a x a k k Z
= − ≤ ≤
= ⇔ = ± + ∈
π
c/
cos cos cos cos( )u v u v= − ⇔ = −
π
d/
cos sin cos cos
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
cos sin cos cos
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π

= ⇔ = −
 ÷
 
π

e/
tan cot tan tan
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π
Trang số 5
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
* Các trường hợp đặc biệt:
tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
tan 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π
4. Phương trình cotx = cotα

cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π
cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈
π

•
sin 0 ( )x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
cos 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈
π
π
•
tan 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
cot 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong
các cách sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô định.
Ví dụ 1.1.
Giải phương trình lượng giác:
2 3
os10 2 os 4 6 os3 .cos cos 8cos . os 3c x c x c x x x x c x
+ + = +
(1)
Giải.


( )
{ }
(2) 2sin x cos os4 sin 2 os4
12 3
sin 2 sin 4 .
2
4
0 0;1;2 ; 1.
x c x x c x
k
x
x x k l
x l
x k l
π π
π
π
π
π
⇔ = ⇔ =

= +

 
⇔ = − ⇔ ∈

 ÷
 

= +

cos 2
2
c x x c x x
c x c x c x x
x
x k
x
π
π
− − − + − =
⇔ − = ⇔ − =
=

⇔ ⇔ = +

=

Ta có:
[ ]
1 14 1
0;14 0 14 3,9
2 2 2
x k k
π
π
π
∈ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − ≈
Mà:
{ }
3 5 7

2
cos
3
3
2
sinx osx t anx 1
4
x k
x k
x
c
x k
π
π
π
π
π
π

= ± +



= ± +
=


⇔ ⇔



 ÷
 
3cos4 sin 4 2cos2x x x⇔ − =
3 1
cos4 sin 4 cos2
2 2
x x x⇔ − =
cos 4 cos2 4 2 2
6 6
x x x x k
π π
 
⇔ + = ⇔ + = ± + π
 ÷
 
, ,
12 36 3
x k x k k
π π π
= − + π = − + ∈¢
Ví dụ 1.6. (KA – 2009)
Giaûi phöông trình:
(1 2sin x)cosx
3
(1 2sin x)(1 sin x)
−
=
+ −
.
Giải.


2 2
2 ( )
3 6
2
2
( )
2 2
18 3
3 6
x x k
x k l
x k tm
x x k
π π
π
π
π
π π
π π
π


+ = − +
⇔ = −


⇔ ⇔



ĐK : tan
3x ≠ −
; cosx ≠ 0
Pt ⇔ sin2x + 2cosx − sinx − 1 = 0 ⇔ 2sinxcosx + 2cosx − (sinx + 1) = 0
⇔ 2cosx (sinx + 1) − (sinx + 1)= 0 ⇔ (2cosx − 1)(sinx + 1) = 0
1
2
cos
3
2
sin 1
2
2
x k
x
x
x k
π
π
π
π

= ± +


=

⇔ ⇔



1.3.
sinx sin 2 sin 3
3
cos os2 os3
x x
x c x c x
+ +
=
+ +

1.4.
2
1 cos
tan
1 sinx
x
x
+
=
−

1.5.
2
4
os os
3
x
c c x=

1.6. 2

cot
2
1
π
+=
+
+ x
xx
x
x

1.9. tan2x + cotx = 8cos
2
x
1.10.
sinx.cot 5
1
os9
x
c x
=

1.11.
16.sin x.cos . os2 . os4 2x c x c x =

1.12.
( )
4 4
1
sin os 3 os6

[ ]
0;

1.17. Tỡm m phng trỡnh:
2 sin
4
x m


+ =
ữ

cú nghim
0;
2
x



ữ

Dng 2.
Phng trỡnh bc 2, bc 3 vi mt hm s lng giỏc.
* Cn nh:
Daùng ẹaởt ẹieu kieọn
2
sin 0asin x b x c+ + =
t = sinx
1 1t
2

sinx = 1 hoc cosx(2cosx + 1) 1 = 0
x =
2
2
k


+
hoc 2cos
2
x + cosx 1 = 0
x =
2
2
k


+
hoc
cos 1
cos 1/ 2
x
x
=


=


Trang s 10

sin 2 os 2
os 4
tan( ).tan( )
4 4
x c x
c x
x x
π π
+
=
− +

Giải
+) ĐK:
,
4 2
x k k
π π
≠ + ∈¢
) tan( ) tan( ) tan( )cot( ) 1
4 4 4 4
x x x x
π π π π
+ − + = − − =
4 4 2 2
4 2
1 1 1
sin 2 os 2 1 sin 4 os 4
2 2 2
2cos 4 os 4 1 0

2
1
3
cos
4
1
22
xx
=+
.
Giải
cos
cos
cos cos
x
x
PT
x
x
+
−
⇔ + =
⇔ + + = −
2
1
1 1
3
4 2 4
2
1 2 2 1

cos
cos
cos
.
cos cos
cos
0
3
0
3
1
3 3 2
2
2
6
2
3
3 3 3 3
loaïi
2
a
x x
k
x k
a
x x
x k
k
a
π


Ví dụ 2.4.
Giải phương trình:
( )
2
cos 2 cos 2tan 1 2x x x+ − =
Giải.
ĐK:
cos 0 / 2x x k
π π
≠ ⇔ ≠ +
PT
2
2
1
(2cos 1) cos [2( 1) 1] 2
cos
x x
x
⇔ − + − − =
3 2
2cos 3cos 3cos 2 0x x x⇔ − − + =
2
(cos 1)(2cos 5cos 2) 0x x x⇔ + − + =
cos 1
2
cos 1/ 2
2
cos 2( )
3

x
x x x

Giải
Biến đổi phương trình đã cho tương đương với:

os2 3sin 2 10 os( ) 6 0
6
c x x c x
π
− + + + =os(2 ) 5 os( ) 3 0
3 6
c x c x
π π
⇔ + + + + =

2
2 os ( ) 5 os( ) 2 0
6 6
c x c x
π π
⇔ + + + + =
Giải được:
1
os( )
6 2
c x

= − +
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
2. 1.
2
3sin 2 sin 4 os4 4sin 2 . osx x c x x c x+ + =

2.2.
4 4
2
sin 2sin cos os 3
2sin 1
tan 2 1 2 4
x x x c x x
x
π
+ −
 
= + −
 ÷
−
 

Trang số 12
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
2.3. 4cosx + 2cos2x + cos4x = -1
2.4. (KA – 05)
2 2
cos 3 cos 2 cos 0x x x− =


2.9.
2
cos (2sinx 3 2) 2 os 1
1
1 sin 2
x c x
x
+ − −
=
+

2.10.
3 3 1
cos . os . os sin .sin .sin
2 2 2 2 2
x x x x
x c c x− =

2.11.
os 2 os 2 4sinx 2 2(1 sinx)
4 4
c x c x
π π
   
+ + − + = + −
 ÷  ÷
   
2.12.
2
sin 2 (cotx cot 2 ) 4 osx x c x+ =


2.16.
cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − =

2.17.
( )
4 4
1
(t anx.cot 2 1)sin 4 sin os
2 2
x x x c x
π
 
− + = − +
 ÷
 

2.18. (KA – 02) Tìm các nghiệm thuộc (0; 2π) của phương trình:

cos3 sin 3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+

 
 ÷
 
.
Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.
• Cần nhớ:
Dạng: asinx + bcosx = c (a
2
+ b
2
≠ 0)
Cách 1:
• Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được:
(1) ⇔
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
• Đặt:
( )
α α
α π
α α


+ =
+
α α
2 2
cos( ) cos (2)
c
x
a b
⇔ − = =
+
α β
• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
≤ ⇔ + ≥
+
• (2)
2 ( )x k k Z⇔ = ± + ∈
α β π
Cách 2:
a/ Xét
2
2 2
x
x k k= + ⇔ = +
π

2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c= − − ≥ ⇔ + ≥
∆
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0
tan .
2
x
t=
Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
.a b c+ ≥
3/ Bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + ≤ + + = +
2 2 2 2
sin cos
min max tan
x x a
y a b vaø y a b x
a b b
⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ =
Ví dụ 3.1. Giải phương trình:
os7 3 sin 7 2c x x− = −
(*)
Giải


= +

⇔


= +


Vậy phương trình có hai họ nghiệm :
5 2 11 2
,
84 7 84 7
x k x l
π π π π
= + = +
Ví dụ 3.2.
Giải phương trình:
2
sin os 3 cos 2
2 2
x x
c x
 
+ + =
 ÷
 

Giải
Phương trình đã cho tương đương với:

¢
Trang số 15
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Ví dụ 3.3.
Giải phương trình:
2
sin sin cos sin 2cos 2 0x x x x x+ + + − =
Giải
2
sin sin cos sin 2cos 2 0x x x x x+ + + - =
2
cos (sin 2) sin sin 2 0x x x x+ + + - =Û
cos (sin 2) (sin 1)(sin 2) 0x x x x+ + - + =Û
(sin 2)(sin cos 1) 0x x x+ + - =Û
sin cos 1 0
sin 2 0 (lo¹i)
+ − =

⇔

+ =

x x
x
π 1
sin cos 1 0 cos
4
2
 
+ − = ⇔ − =


∈

= +

¢
Ví dụ 3.4.
Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
Giải
PT ⇔ 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin
2
x = 8
 6cosx(1 – sinx) – (2sin
2
x – 9sinx + 7) = 0
 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0
 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0




=−+
=−
)(07sin2cos6
0sin1
VNxx
x

π
π

≠
⇔



≠+
≠
1tan
02sin
0cossin
02sin
x
x
xx
x
PT
xxx
xx
xx
x
xx
cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos
2
−+
+
=

4 4 4
x sinx x sinx x sinx
x x x VN
π π π
− = − = − =
  
  
⇔ ⇔ ⇔
  
+ − = + = + =
  

⇔
0sincos =− xx

⇔
tanx = 1
)(
4
Zkkx ∈+=⇔
π
π
(tm®k)
Do
( )
4
0;0
π
π
=⇒=⇒∈ xkx

= = −

⇒

− +

= =


•

( )
1 3 1 1
cos 3sin 1 cos sin cos
10 10 10 10
x x x x x
α
+ = ⇔ + = ⇔ − =
( )
1 1 1 3
arccos arccos 2 cos ,sin
10 10 10 10
x x k
α α π α α
 
⇔ − = ± ⇔ = ± + = =
 ÷
 
,


=
+
Giải
⇔
2 2
sin (1 sin2 cos2 ) 2 2sin cosx x x x x+ + =
(ĐK : sinx ≠ 0)
1 sin 2 cos2 2 2 cosx x x⇔ + + =
2
2cos 2sin cos 2 2 cos 0x x x x⇔ + − =

⇔

2cos (cos sin 2) 0x x x+ − =
⇔ cosx = 0 hoặc cosx + sinx =
2

⇔ cosx = 0 hoặc
sin 1
4
x
π
 
+ =
 ÷
 
⇔ x =
2
k
π

3sinx=3 3 cos x−
3.5.
3
cos 3sinx
cos 3sinx+1
x
x
+ =
+
3.6.
3
3sin 3 3 os9 1 4sinx c x x− = +

3.7.
1
t anx sin 2 os2 2 2cos 0
cos
x c x x
x
 
− − + − =
 ÷
 

3. 8.
9sinx 6cos 3sin 2 os2 0x x c x
+ − + =

3.9.
3 1

π
− + + =
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Cần nhớ:
Dạng: a.sin
2
x + b.sinx.cosx + c.cos
2
x = d
asin
3
x + bsin
2
x.cosx + ccosx.sin
2
x + dcos
3
x = 0
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm phương trình không?
Lưu ý: cosx = 0
2
sin 1 sin 1.
2
x k x x⇔ = + ⇔ = ⇔ =±
π
π
• Khi
cos 0x ≠
, chia hai vế phương trình (1) cho

x k
π
π
= +
là nghiêm của phương trình
Trang số 19
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
+ cosx ≠0 chia hai vế của phương trình cho cos
2
x ta có:
2 2
4 tan 3 3 t anx 2 4(1 tan )
2 2
t anx arctan
3 3
x x
x k
π
+ − = +
⇔ = ⇒ = +
Vậy phương trình có nghiệm là:
2
x k
π
π
= +
2
arctan
3
x k

x k
x k
x k
π
π
π
π

= +

=



⇔ = + ⇔ = + +




= − = − +




Vậy phương trình có nghiệm là:
, arctan(1 2) , arctan(1 2)
4
x k x k x k
π
π π π

Trang số 20
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Vậy phương trình có nghiệm là:
arctan 2x k
π
= +

,
3
x k k
π
π
= ± + ∈¢
Ví dụ 4.4. (KA – 03)
Giải phương trình:
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+

Giải
+ ĐK sin2x ≠0, tan2x ≠ -1. Ta có:
2 2
cos os sin
1 sinx(sinx cos )

t anx 1
4
2 tan t anx 1 0 ( )
x k
VN
π
π
=

⇔ = +

− + =

Vậy phương trình có nghiệm là:
4
x k
π
π
= +
Ví dụ 4.5.
Giải phương trình:
( )
2 2
t anx.sin 2sin 3 os2 sin x cosx x c x x− = +
Giải
+ ĐK: cosx ≠ 0.
Chia hai vế phương trình cho cos
2
x.
( )

π
π
π
π

= − +

= −

⇔ ⇔ ∈


= ±


= ± +


¢
Trang số 21
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
Vậy phương trình có nghiệm là:
, ,
4 3
x k x k k
π π
π π
= − + = ± + ∈¢

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

x x
c x
c x
− =

4.9.
3
sinx 4sin cos 0x x− + =
4.10.
( )
2 2
t anx.sin 2sin 3 os2 sinx.cosx x c x x− = +
4.11.
( ) ( )
2
sin t anx 1 3 cos sinx 3x x+ = − +
4.12.
3 2 2 3
sin 5sin .cos 3sinx.cos 3cos 0x x x x x− − + =

4.13.
2 2
3tan 4 t anx 4cotx 3cot 2 0x x+ + + + =

4.14. Cho phương trình:
( )
2 2
sin 2 1 sinx.cos ( 1) osx m x m c x m+ − − + =
.
Tìm m để phương trình có nghiệm.

1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t⇒ = ± ⇒ = ± −
• Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t.
Giải phương trình này tìm t thỏa
2.t ≤
Suy ra x.
Lưu ý dấu:
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   
+ = − = +
 ÷  ÷
   
π π
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   
− = + = − −
 ÷  ÷
   
π π
.
Ví dụ 5.1.
Giải phương trình: 2cos
3


]2;2[−

⇒
2sinxcosx = 1 – t
2

(1) 2t – t
2
= 0
⇔
0 ( )
2 ( )
t tm
t l
=


=


Trang số 23
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

⇒
cosx – sinx = 0
⇔
cos(x +
)
4

Giải
2 2
2009
cos2 2 2 sin 4cos sin 4sin cos
4
x x x x x x
π
 
+ + = +
 ÷
 
2 2
cos sin 2(sin cos ) 4sin .cos (sin cos )x x x x x x x x⇔ − + + = +
(cos sin )(cos sin 4cos .sin 2) 0x x x x x x⇔ + − − + =
cos sin 0 (1)
cos sin 4sin .cos 2 0 (2)
x x
x x x x
+ =

⇔

− − + =

+ Giải (1):
(1) tan 1
4
x x k
π
π

cos( ) 2 / 4
4
arccos( 2 / 4) / 4 2
x k
x
x k
π π
π
π π

= − − +
+ = − ⇔

= − − − +


KL: Vậy phương trình có 4 họ nghiệm:
4
x k
π
π
= − +
,
4
x k
π
π
= +
,
arccos( 2 / 4) / 4 2x k

π
= − ⇔ = − +
+ Xét (2): Đặt
sinx+cos 2 os
4
t x c x
π
 
= = −
 ÷
 
ĐK:
2t ≤

2
1 2sinx.cost x= +
Vậy (2)
2
2
1 2( )
1
0 2 1 0
2
1 2
t l
t
t t t
t

= +

3tan tanx 8 os
os 4 2
x
x c
c x
π
+
 
− + = −
 ÷
 
(*)
Giải
ĐK :
cos 0 sinx 1x
≠ ⇔ ≠ ±
Khi đó (*)
2 2
t anx(3t an x 1) 3(1 sinx)(1 tan ) 4 1 os( ) 4(1 sinx)
2
x c x
π
 
⇔ − + + + = + − = +
 
 
( )
( )
2
2

 ÷
 
2
2
1 2 ( )
1
(2) 0 2 1 0
2
1 2
t l
t
t t t
t

= − −
−
⇔ + = ⇔ + − = ⇔

= − +


Vậy
( )
2
2 1
4
sin sin
3
4 2
2