LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 1
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Vòng tròn lượng giác
2. Mối liên hệ giữa các góc có liên quan đặc biệt
3 Các công thức lượng giác
- Các hằng đẳng thức lượng giác
- Công thức cộng
- Công thức nhân đôi, nhân ba
- Công thức hạ bậc
- Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng
- Công thức biến đổi theo
tan
2
x
t =

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối D năm 2002)
Tìm
[ ]
0;14x ∈
nghiệm đúng phương trình
cos 3 4cos 2 3cos 4 0x x x− + − =
(1)
Giải.

{ }
0;1;2;3k ∈

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x
π π π π
 
∈
 
 Ví dụ 2:
(
Đề
thi tuy
ể
n sinh
đạ

4
x cos
x k
x
k l
x
x l
π
π
π
π
π
π


=
= ± +



=


⇔ ⇔ ⇔ ∈


 


= − = −

⇔ + = + ⇔ − + = +
2cos 4 cos 2 2 cos 6 cos 2 2 os2 ( os6 os4 )x x x x c x c x c x⇔ − = ⇔ +

4 2
os2 0
4cos 2 .cos5 .cos 0 os5 0 (k )
10 5
cos 0
2
k
x
c x
x x x c x x k
x
x k
π π
π π
π
π

= +

=




⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈



ứ
a c
ă
n b
ậ
c ch
ẵ
n... thì
ph
ả
i
đặ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
ph
ươ
ng trình xác
đị
nh.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 2
•

u ki
ệ
n hay không.
+ Dùng
đườ
ng tròn l
ượ
ng giác
+ So
đ
i
ề
u ki
ệ
n trong quá trình gi
ả
i

Ví dụ 4:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
tan t anx.tan 3 2x x− = (4)
Gi
ả
i.
Đ

 
 2 2
sin (sinx.cos 3 cos .sin 3 ) 2 cos . os3 s inx.sin( 2 ) 2 cos . os3x x x x x c x x x c x⇔ − = ⇔ − =2 2 2
2sin .cos 2cos . os3 sin cos . os3x x x c x x x c x⇔ − = ⇔ − =
(do cosx
≠
0)

1 os2 1
( os4 os2 ) os4 1 4 2 ( )
2 2 4 2
c x
c x c x c x x k x k k
π π
π π
−
⇔ − = + ⇔ = − ⇔ = + ⇔ = + ∈
»

K
ế
t h
ợ
p v

đạ
i h
ọ
c kh
ố
i D, n
ă
m 2003)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
sin .tan os 0
2 4 2
x x
x c
π
 
− − =
 
 
(5)
Gi
ả
i.
Đ
i
ề

(1 cos ) 0
1 sin
c x
x
x
− −
⇔ − + =
−2
1 os
(1 cos ) 0
1 sinx
c x
x
−
⇔ − + =
+1 cos
(1 cos ) 1 0
1 sin
x
x
x
−
 
⇔ + − =

K
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:
2 ; (k )
4
x k x k
π
π π π
= + = − + ∈
»

Ví dụ 6:
Gi
ả

cos sin 2 sin 2
c x
x x
x x x
+ = + =

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 3
V
ậ
y
2
1
1 sin 2
1
2
(6)
sin 2 2sin 2
x
x x
−
⇔ =2 2
1
1 sin 2 1 sin 2 1
2

a ph
ươ
ng trình là (k )
4 2
x k
π π
= + ∈ »

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Có dạng:
2
a sin sin 0 (a 0)u b u c+ + = ≠2
acos s 0 (a 0)u bco u c+ + = ≠2
atan tan 0 (a 0)u b u c+ + = ≠2
acot cot 0 (a 0)u b u c+ + = ≠

- Cách giải: Đặt t = sinu hay t = cosu với
1t ≤

t = tanu (điều kiện
,

ề
u ki
ệ
n
để
nh
ậ
n nghi
ệ
m t.
T
ừ

đ
ó gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác c
ơ
b
ả
n tìm nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ

3 3 3 3
sin 3 os3 (3sin 4sin ) (4 os 3cos ) 3(cos s inx) 4( os sin )x c x x x c x x x c x x
+ = − + − = − − + −2 2
(cos sinx) 3 4( os cos sin sin ) (cos sinx)(1 2sin 2 )x c x x x x x x
 
= − − + + + = − +
 

Do v
ậ
y:
[ ]
2
(7) 5 sinx (cos sinx) 3 (2 cos 1)x x⇔ + − = + −2
1
cos
2cos 5cos 2 0
2
osx 2( )
x
x x
c loai

=

x x
π π
= ∨ =Ví dụ 8:
(
Đề
thi tuy
ể
n sinh
đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A, n
ă
m 2005)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
cos 3 . os2 os 0x c x c x− = (8)
Gi
ả
i.
1 os6 1 os2

sin 2 0 2 (k )
2
x x k x k
π
π
⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ »

Cách 2:
( )
2
1
(8.1) os8 os4 1 0 2 os 4 os4 3 0
2
c x c x c x c x⇔ + − = ⇔ + − =

os4 1
4 2 (k )
3
2
os4 (loai)
2
c x
x k x k
c x
π
π
=

Cách 4:
( )
1
(8.1) os8 os4 1 0 os8 os4 2 0 os8 os4 2
2
c x c x c x c x c x c x⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = =

os4 1 (k )
2
c x x k
π
⇔ = ⇔ = ∈
»

Ví dụ 9:
(
Đề
thi tuy
ể
n sinh
đạ
i h
ọ
c kh
ố
i D, n
ă
m 2005)
Gi
ả

 
 
 
 [ ]
2
1 1 3
1 sin 2 os4x+sin2x 0
2 2 2
x c⇔ − + − − =

2 2
1 1 1 1
sin 2 1 2sin 2x sin 2 0
2 2 2 2
x x
 
⇔ − − − + − =
 2
sin 2 1
sin 2 sin 2 2 0
sin 2 2 (loai)
x
x x
x

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
5sin 2 3(1 s inx)tanx x− = −
(10)
Gi
ả
i.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
cos 0 s inx 1x ≠ ⇔ ≠ ±

Khi
đ
ó:
2 2
2
sin 3sin
(10) 5sin 2 3(1 s inx) 5sin 2
1 sin 1 sin
x x
x x
x x

x k
π
π
π
π
π

= +

= ⇔ ∈


= +


»

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 5

Ví dụ 11:
(kh
ố
i A n
ă
m 2006)
Gi
ả

đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
6 6 2
2
3 1
2 sin os sin x cos 0 2 1 sin 2 sin 2 0
4 2
3sin 2 sin 2 4 0
sin 2 1
2 2 ,
2
,
4
x c x x x x
x x
x
x k k
x k k
π
π
π
π
 

»Ví dụ 12:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
3cot 2 2 sin (2 3 2) cosx x x+ = +
(12)
Gi
ả
i.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
s inx 0 cos 1x≠ ⇔ ≠ ±

Chia c
ả
hai v
ế
c
ủ
a ph

3 (2 3 2) 2 2 0t t− + + =
2
2 / 3
t
t

=
⇔

=


•

V
ớ
i 2t = ta có
2 2
2
cos
2 cos 2(1 os ) 2 os cos 2 0
sin
x
x c x c x x
x
= ⇔ = − ⇔ + − =osx 2 (loai)
2 (k )

3cos 2(1 os ) 2 os 3cos 2 0
sin 3
x
x c x c x x
x
= ⇔ = − ⇔ + − =

osx 2 (loai)
2 (k )
1
3
cos
2
c
x k
x
π
π
= −


⇔ ⇔ = ± + ∈

=

»
K
ế
t lu
ậ

tan t anx 1
4
x
π
 
− = −
 
 
(13)
Gi
ả
i.
Đặ
t
4 4
t x x t
π π
= − ⇔ = + .