Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Giá trị lượng giác của các cung có dạng:
; ; ; ; ( )
2 3 4 6
k k k k
k k
π π π π
π
∈¢
luôn tính được
bằng máy tính fx-570ES
1. Công thức lượng giác cơ bản
2 2
sin cos 1x x+ =
sin
tan
cos
x
x
x
=
cos
cot
sin
x
x
x
=
2
2
1

sin sinx x− = −
( )
sin sinx x
π
− =
( )
cos cosx x
π
− = −
( )
tan tanx x− = −
( )
cot cotx x− = −
( )
tan tanx x
π
− = −
( )
cot cotx x
π
− = −
☻ Cung hơn kém
π
là :
x
và
( )
x
π
+

 
− =
 ÷
 
( )
tan tanx x
π
+ =
( )
cot cotx x
π
+ =
tan cot
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
cot tan
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
3. Công thức CỘNG
( )

α β
α β
−
− =
+
4. Công thức NHÂN ĐÔI
sin 2 2.sin .cosa a a=
2 2
2
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
a a a
a
a
= −
= −
= −
Công thức HẠ BẬC
2
2tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
5. Công thức biến TỔNG thành TÍCH

cos .cos cos cos
2
a b a b a b= − + + 
 
( ) ( )
1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b= − − + 
 
( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
a b a b a b= − + + 
 

cos .sin sin .cos ?
α β β α
= =
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình :
sin x a=
(1)
CT1:
2
sin sin ,
2
x k
x k

¢
CT3:
arcsin 2
sin ,
arcsin 2
x a k
x a k
x a k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢
Chú ý : (đây là các phương trình rất đặc biệt)
•
sin 1 2 ,
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈¢
•
sin 1 2 ,
2
x x k k
π

2 2 2
a ≠ ± ± ±
thì chúng ta dùng CT3
• Lưu ý: Chỉ sử dụng CT2 khi phương trình có mặt đơn vị độ.
2. Phương trình :
cos x a=
(2)
2
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CT4:
2
cos cos ,
2
x k
x k
x k
α π
α
α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢

CT5:
0 0
0

= − +

¢
Chú ý : (đây là các phương trình rất đặc biệt)
•
cos 1 2 , x x k k
π
= ⇔ = ∈¢
•
cos 1 2 , x x k k
π π
= − ⇔ = + ∈¢
•
cos 0 ,
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈¢
Giải phương trình :
cos x a=
(2)
• Nếu
1a
>
hoặc
1a
< −
thì phương trình (2) vô nghiệm
• Nếu

π
≠ + ∈¢
Phương trình (3) đã cho luôn có nghiệm.
CT7
tan tan , x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
• Nếu
3
3 ; 1 ; 0 ;
3
a = ± ± ±
thì chúng ta
dùng CT7 hoặc CT8
• Nếu
3
3 ; 1 ; 0 ;
3
a ≠ ± ± ±
thì chúng ta
CT8
0 0 0
tan tan .180 , x x k k
β β
= ⇔ = + ∈¢
CT9
tan arctan , x a x a k k
π
= ⇔ = + ∈¢
4. Phương trình:

= ⇔ = + ∈¢
CT12
cot arccot , x a x a k k
π
= ⇔ = + ∈¢
BT1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
( ) ( )
???
sin cos sin cos 1 0 sin 1 cos sin 1 0 x x x x x x x
− − + = ⇔ + − + = ⇔
1)
3 3 2
cos sin 2sin 1x x x+ + =
???
⇔

3 3 2 2 2
cos sin 2sin sin cosx x x x x+ + = +
⇔

3 3 2 2
cos sin sin cos 0x x x x+ + − =

3
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
???
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
sin cos 1 sin cos sin cos sin cos 0x x x x x x x x+ − + + − =

2sin 1 tan 2 3 cos 1 0x x x− + − =
(nhớ điều kiện của phương trình là:
cos 2 0x ≠
)
???
⇔
( )
2 2
cos2 tan 2 3 cos 1 0x x x− + − =
???
⇔

2
2
sin 2
3sin 0
cos2
x
x
x
− − =
⇔

2 2
sin 2 3cos 2 .sin 0x x x+ =
⇔

2 2 2
4sin .cos 3cos2 .sin 0x x x x+ =


⇔
…
6)
3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x
+
− =
(****)
Giải
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 3 2
2 cos . 2cos3 .cos sin . 2sin3 .sin
2 2 8
1 1 2 3 2
cos cos4 cos 2 sin cos 2 cos4
2 2 8
2 3 2 2 3 2
cos4 cos sin cos2 cos sin cos 4 cos 2
4 4
2
4cos 4 2 1 cos4 2 3 2 cos 4

2 cos cos sin 0
4
x x x
π
 
 
− − − =
 ÷
 
 
 
???
⇔
( ) ( )
3
sin cos sin cos 0x x x x+ − + =

⇔
…
8)
( )
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0x x x x x+ − + =
???
⇔
2 2
2 3
2
sin cos
sin cos2 cos 2sin 0

x
x x
x
π
−
 
+ − =
 ÷
 
???
⇔
2
2
2
2sin
cot 3tan
cos
x
x x
x
−
− − =
⇔
2 2
1
3tan 2 tan
tan
x x
x
− − = −

2
sin 1 cos
x x
x x
+ =
+
⇔
…
11)
sin 2 cos2 sin cos 1 0x x x x+ + − − =
⇔

( ) ( )
sin 2 1 cos2 sin cos 0x x x x− + + − =

⇔
( ) ( )
2
2 2
cos sin cos sin cos sin 0x x x x x x− − + − − − =

⇔
…
12)
sin( ) ? cos( ) ?
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
a b a b
x x x

 ÷  ÷
   
1 4 4 2 4 43 1 4 4 2 4 4 3

⇔
…
13)
( )
2
2cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + = +
(
2 2
1 sin cosx x= +
)
???
⇔
( )
2 2
3cos 2 3cos sin sin 3 sin 3 cosx x x x x x+ + = +

⇔
( ) ( )
2 2
2
2
2 ?
3 cos 2. 3 cos .sin sin 3 sin 3 cos
a ab b
x x x x x x
+ + =

1
sin 2 cos cos3 cos 1 cos2
2
x x x x x+ − − − =
???
⇔
…
15)
sin 3 3 cos3 2sin 2x x x− =
???
⇔
sin3 cos cos3 sin ?
3 3
1 3
sin 3 cos3 sin 2
2 2
x x
x x x
π π
− =
− =
1 4 44 2 4 4 43
⇔
…
16)
2
2cos
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cos
x
x x x x


⇔
…
18)
sin( ) ?
sin( ) ?
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
a b
a b
x
x
x
π
π
− =
− =
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
1 442 4 43

…
20)
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
???
⇔
1 sin 3 cos 2x x+ + =
⇔
sin 3 cos 1x x+ =

⇔
…
21)
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
???
⇔

( ) ( ) ( )
2
cos sin sin cos sin cos sin cosx x x x x x x x+ + + = +
⇔

sin
1 sin sin cos
cos cos sin
x x x
x
x x x
x x x
−
− = + −
+
⇔

( ) ( )
sin cos
cos cos sin sin cos sin
cos
x x
x x x x x x
x
−
= − − −
⇔
…
23)
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =

…
24)
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
(nhớ tìm điều kiện của phương trình) (D2003)
6
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
⇔
2
2 2 2
2sin ?
2sin tan 2cos 0
2 4 2
a
x x
x
π
=
 
− − =
 ÷
 

??? Dùng CT hạ bậc, nhóm và biến tổng
→
tích (B-2002)
26)
2 2
cos 3 cos2 cos 0x x x− =
???
⇔
2
2 2
2cos ?
2cos 3 .cos 2 2cos 0
a
x x x
=
− =
14 2 43
⇔
( ) ( )
cos6 1 cos 2 cos2 1 0x x x+ − + =
⇔
…
27)
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x− = −
(nhớ tìm điều kiện của phương trình) (B2004)
⇔
( )
2

− =
+
⇔

( ) ( )
2
5sin 2 1 sin 3sinx x x− + =

⇔
…
28)
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = −
(D2004)
⇔

( ) ( )
2cos 1 2sin cos 2sin cos sinx x x x x x− + = −
⇔
( ) ( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2cos 1x x x x x− + = −

⇔
…
29)
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x

a b
x x x x
π
− =
 
+ + − + − =
 ÷
 
1 442 4 43
???
⇔

( )
4 4
2 cos sin cos 4 sin 2 3 0x x x x+ − + − =
⇔

( )
2
2 2 2 2
2 cos sin 2sin cos cos 4 sin 2 3 0x x x x x x
 
+ − − + − =
 
 
???
⇔

2 2
2 4sin cos cos 4 sin 2 3 0x x x x− − + − =

 
7
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
???
⇔

( )
2 2
2 1 3sin .cos sin .cos 0x x x x− − =
⇔

( )
2 2
4 1 3sin .cos 2sin .cos 0x x x x− − =
???
⇔

2
3sin 2 sin 2 4 0x x− − + =

⇔
…
30)
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x

2
x
x x
x


≠

≠ ⇔ ≠



≠

32)
cos3 cos2 cos 1 0x x x
+ − − =

???
⇔

( ) ( )
cos3 cos cos2 1 0x x x− + − =

⇔
… (biến tổng thành tích)
33)
2sin cot 2sin 2 1x x x+ = +
(điều kiện
sin 0x

cos 0 sin 2 0
sin 0
x
x x
x
≠


≠ ⇔ ≠


≠

???
⇔

2 2
1 2sin .cos 1 sin cos
sin 2 2 cos sin
x x x x
x x x
−
 
= +
 ÷
 

⇔
…
36)


2
sin sin cos sin cos
2 2 2
x x
x x x
π
 
− = −
 ÷
 

???
⇔

2
sin .sin cos .sin sin
2 2
x x
x x x− =

⇔
…
38)
( )
2
2cos 1 ?
2 2 sin cos cos 3 cos2
a
x x x x

2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x x+ + − + =
⇔

( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4(1 sin ) 3x x x x+ + − + − =

⇔

( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 4sin 0x x x x+ + − + − =
⇔

( ) ( ) ( ) ( )
2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 2sin 1 2sin 0x x x x x+ + − + − + =

⇔
…
41)
( )
3 sin tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
− =


⇔

( )
( )
3 cos 1
2 cos 1 0
1 cos
x
x
x
+
− + =
−

⇔

42)
2sin 2 cos 2 7sin 2cos 4x x x x− = + −
???
⇔

2
4sin cos 2sin 1 7sin 2cos 4x x x x x+ − = + −

???
⇔

( ) ( ) ( )
2cos 2sin 1 sin 2sin 1 3 2sin 1x x x x x− + − = −

)
47)
3 3
3 3
?
cos sin sin cos
a b
x x x x
+ =
+ = +
1 44 2 4 43

⇔
… (pp phân tích)
48)
( )
3 3
2 sin cos
3 cos 2
cos sin
x x
x
x x
−
=
−
(nhớ ĐK của phương trình)
⇔

( )

sin cos sin sin cos cos cos sinx x x x x x x x+ − + = −

⇔
…
50)
2 2
3
4sin 3cos2 1 2cos
2 4
π
 
− = + −
 ÷
 
x
x x

???
⇔

2 2
3
4sin 2 3 cos2 2cos 1
2 4
x
x x
π
 
− − = − −
 ÷

=
+
(nhớ ĐK của phương trình)
⇔

( )
( )
2 2
sin cos sin sin cos cos
cos2
cos sin
x x x x x x
x
x x
+ − +
=
+

⇔
69)
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+
(D-2011)
70)

sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x+ + = +
(B-2009)
56)
( )
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
(A-2009)
57)
( )
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
(D-2008)
58)
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = −
(B-2008)
59)
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x

2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
(A-2007)
63)
cos3 cos 2 cos 1 0x x x+ − − =
(D-2006)
64)
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 ÷
 
(B-2006)
65)
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
(A-2006)
66)
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x

x x
π
 
+ = +
 ÷
 

2 sin
sin cos
4
2 2 sin 2 2 sin
4 sin cos 4 sin cos
x
x x
x x
x x x x
π
π π
 
+
 ÷
+
   
 
⇔ + = ⇔ + =
 ÷  ÷
   
sin 0
4
4


⇔ + − = ⇔ ⇔
 ÷ ÷
≠


≠


  




=
=




sin 2 sin 1 0
4 2
(k Z)
4
sin 2 1 2 2
2 4
x k x
x k
x x k x k
π π

cos2 0 cos 2 0
cos2 0
tan 1
sin cos tan 1
x x
x
x
x x x
= =
=
 

⇔ ⇔ ⇔
 

=
= =

 
C2.
( )
3 3 5 5
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

( ) ( ) ( )
3 3 2 2 5 5
sin cos sin cos 2 sin cosx x x x x x⇔ + + = +
( ) ( )
3 2 3 2 5 5 3 2 2 3 2 2
sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos sinx x x x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ − = −

cos sin
x x
x x x
x x

− =
⇔ ⇔ − = ⇔ =

=

3.
2 2 2
sin cos 2 cos 3x x x= +
( ) ( )
1 cos 2 1 cos4 1 cos 6
cos4 cos 2 1 cos6 0
2 2 2
x x x
x x x
− − −
⇔ = + ⇔ + + + =
( )
2
2cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 cos cos3 0 4cos3 cos 2 cos 0x x x x x x x x x⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
4.
( )
6 6 8 8
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

6 8 8 6


( ) ( )
3 3
2 2 2
13
cos sin cos 2
8
x x x⇔ − =
( ) ( )
2 2 4 4 2 2 2
13
cos sin cos sin sin cos cos 2
8
x x x x x x x⇔ − + + =
( )
2 2 2 2 2
1 1 13
cos2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 8 2sin 2 13cos 2
2 4 8
x x x x x x x
 
⇔ − + = ⇔ − =
 ÷
 
( )
2
2 2
cos2 0
cos2 0 cos2 0
8 2 1 cos 2 13cos2

t
⇒ + = ⇔ + − + = ⇔ + − + = ⇔ = − ⇒ = −
+
8.
3sin 2cos 2 3tanx x x+ = +

( )
3tan cos 2cos 3tan 2 cos 3tan 2 3tan 2x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = +
cos 1
2
tan
3
x
x
=


⇔

= −

11
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
8.
3
sin 2 sin
4
x x
π
 

2 2
x x x x x x⇔ − = ⇔ − =
Vì
= ≠
3
cos 0 không thỏa mãn phương trình . Chia hai vế của phương trình cho cos 0 ta có :x x
( )
( )
( )
( )
3
2 2
tan 1 4 tan 1 tan tan 1 3tan 1 0 tan 1x x x x x x− = + ⇔ + + = ⇔ = −
C2.
( ) ( ) ( )
3 2
(*) sin cos 4sin sin cos sin cos 4sinx x x x x x x x⇔ − = ⇔ − − =

( ) ( )
2 2
sin cos 1 2sin cos 4sin cos 3sin 2sin cos 2sin cos 0x x x x x x x x x x x⇔ − − = ⇔ − − − + =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
cos 2sin 1 sin 2cos 3 0 cos cos 2 2 sin cos 2 2 0x x x x x x x x⇔ − − + − = ⇔ − + − =
( ) ( )
cos 2 2 (loai)
cos2 2 cos sin 0
tan 1
x

 
10.
( )
8 8 6 6
2 sin cos sin cosx x x x+ = +
8 6 6 8
2cos cos sin 2sinx x x x⇔ − = −
( ) ( )
6 2 6 2 6 6
cos 2cos 1 sin 1 2sin cos cos2 sin cos 2x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ =
6 6 6
cos2 0 cos 2 0
cos2 0
tan 1
sin cos tan 1
x x
x
x
x x x
= =
=
 

⇔ ⇔ ⇔
 

= ±
= =

 


13.
4 2
tan 4tan 3 0x x− + =
2
2
tan 1 tan
tan 1
4
tan 3
tan 3 tan
3
x
x
x
x
π
π

 
= ± = ±
 ÷


=
 

⇔ ⇔



cos 2 4sin 3 0x x− + =
( )
2
2 4
1 2sin 4sin 3 0x x⇔ − − + =
2 4 4
1 4sin 4sin 4sin 3 0x x x⇔ − + − + =
2
sin 1 cos 0x x⇔ = ⇔ =
16.
2 2
cos cos 2 1x x= −
( )
2
2 2 2 4 2
cos 2cos 1 1 0 cos 4cos 4cos 1 1 0x x x x x⇔ = − − = ⇔ = − + − =
2
4 2
2
cos 0
4cos 5cos
5
cos 1 (loai)
4
x
x x
x

=


= =

=
 

 
⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔

 
= + =
=

 

sin 0
3
cos2
5
x
x
=


⇔

= −

18.
2 2
2sin tan 2 (1)x x+ =

⇔ + − = ⇔

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =


C2.
2
2 2 2 4 2
2
2 tan
(1) tan 2 2tan tan tan 2 2 tan
1 tan
x
x x x x x
x
⇔ + = ⇔ + + = +
+
2
4 2
2
tan 1
tan tan 2 0
tan 2 (loai)
x
x x
x

=
⇔ + − = ⇔


20.
4 4
3 3sin 5cos 0x x− − =
( ) ( )
2
2 4 2 4 4
3 3 1 cos 5cos 0 3 3 1 2cos cos 5cos 0x x x x x⇔ − − − = ⇔ − − + − =
13
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
( )
2
2
2
4 2
2
cos 0
cos 0
cos 0
8cos 6cos
2 1 cos2 3
2cos 2 1
4cos 3
x
x
x
x x
x
x
x


2 2
tan cot 2x x+ =
2
2
1
tan 2
tan
x
x
⇔ + =
(1) . Ñieàu kieän :
tan 0x ≠
(1)
( )
2
4 2 2
tan 2 tan 1 0 tan 1 0x x x⇔ − + = ⇔ − =
2
tan 1 tan 1x x⇔ = ⇔ = ±
22.
4
2
1
4 tan 2 (1)
cos
x
x
= +
. Ñieàu kieän :
cos 0x

sin cos sin cos 2sin cos
8 8
x x x x x x⇔ + = ⇔ + − =

( )
2 4
4
2 2 4
1 1 1 1 1
1 sin 2 2 sin cos 1 sin 2 sin 2 2 sin 2
2 8 4 2 8
x x x x x x
   
⇔ − − = ⇔ − + − =
 ÷  ÷
   
2 4 4 2 4 4
1 1 1
1 sin 2 sin 2 sin 2 8 8sin 2 2sin 2 sin 2 1
4 8 8
x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + − =
2
4 2
2
sin 2 1
sin 2 8sin 2 7 0
sin 2 7 1 (loai)
x
x x
x

− = >


25.
( ) ( )
5 1 sin 2 12 sin cos 7 0x x x+ − + + =
( ) ( )
2
5 sin cos 12 sin cos 7 0x x x x⇔ + − + + =

2
sin
sin cos 1
4 2
7
sin cos
7
sin
5
4
5 2
x
x x
x x
x
π
π

 
+ =

28.
2
2
1 1
cos 2 cos 2 0
cos cos
x x
x x
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   
14
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2 2
1 1 1 1
cos 2 2 cos 2 cos 2 cos
cos cos cos cos
x x x x
x x x x
       
⇔ + − = + − ⇔ + = +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
1
cos 0 (1)
cos
1
cos 2 (2)
cos

1 1 1 1
cos 2 cos cos cos 2 0
cos cos cos cos
x x x x
x x x x
     
⇔ + − = + ⇔ + − + − =
 ÷  ÷  ÷
     
1
cos 1 (1)
cos
1
cos 2 (2)
cos
x
x
x
x

+ = −

⇔


+ =


.Ñieàu kieän :
cos 0x

2
1 1
cos 2 cos 1 0
cos cos
x x
x x
   
⇔ − − − + =
 ÷  ÷
   
2
1 1
[cos 1] 0 cos 1 0
cos cos
x x
x x
⇔ − − = ⇔ − − =

2
cos cos 1 0x x⇔ − − =
1 5
cos 1 (loai)
2
1 5
cos
2
x
x

+

⇔ − + + − + = ⇔ − + − + =
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
1
cos 2 (1)
cos
1 3
cos (2)
cos 2
x
x
x
x

− = −

⇔


− = −


. Ñieàu kieän :
cos 0x ≠
15
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2

2
2
1 1
sin sin 0
sin sin
x x
x x
   
+ − + =
 ÷  ÷
   
2
1 1
sin sin 2 0
sin sin
x x
x x
   
⇔ + − + − =
 ÷  ÷
   

1
sin 1 (1)
sin
1
sin 2 (2)
sin
x
x

   

2 2
1 1 1 1
4 sin 2 4 sin 7 0 4 sin 4 sin 15 0
sin sin sin sin
x x x x
x x x x
 
       
⇔ + − + + − = ⇔ + + + − =
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
1 3
sin (1)
sin 2
1 5
sin (2)
sin 2
x
x
x
x

+ =

⇔


Ñieàu kieän :
sin cos 0 sin 2 0 (k Z)
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
( ) ( )
2
(*) tan cot 2 2 tan cot 6x x x x⇔ + − + + =
( ) ( )
2
tan cot 2 tan cot 8 0x x x x⇔ + + + − =
tan cot 2 (1)
tan cot 4 (2)
x x
x x
+ =

⇔

+ = −

( )
2
2
1
(1) tan 2 tan 2tan 1 0 tan 1 0 tan 1
tan

x x
x x
+ =



+ =

38.
( ) ( )
3
sin cos 2 1 sin 2 sin cos 2 0x x x x x+ + + + =
( ) ( )
3 2
sin cos 2 sin cos sin cos 2 0x x x x x x + + + + =
t
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x



= + = =
ữ

. ieu kieọn:
2t

= + = =
ữ

. ieu kieọn:
2t
.
Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh :
( ) ( )
3 2
2 0 2 2 1 0 2t t t t t t = + + = =
40.
3 3
sin cos sin 2 sin cosx x x x x+ = + +
( ) ( )
sin cos 1 sin cos 2sin cos sin cosx x x x x x x x + = + +
t
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x



= + = =
ữ

. ủieu kieọn:
2t


+ + =
ữ

t
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x



= + = =
ữ

.
ủieu kieọn:
2t
. Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh :
( )
( )
3 2 2
t = 2
2 19
3 10 3 10 0 2 3t 4t 5 = 0 t =
3
2 19
t = ( )

cos2
2
x
x
=


⇔

= −

58. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999
1 1
2 2 sin
4 sin cos
x
x x
π
 
+ = +
 ÷
 
2 sin
sin cos
4
2 2 sin 2 2 sin
4 sin cos 4 sin cos
x
x x
x x


 
+ = + =
+ =
 ÷  ÷
 
 ÷

   
 
 

⇔ ⇔ ⇔
 
≠ ≠
 

=
 
 

= =

 
 
sin 2 sin 1 0
4 2
sin 2 0
4
sin 2 1 2 2


59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999
cos cos2 cos3 cos4 0x x x x
+ + + =
cos 0
5 5
4cos .cos .cos 0 cos 0
2 2 2
cos 0
2
x
x x x
x
x


=


⇔ = ⇔ =



=

.
60. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
( )
3 3 5 5
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

2 2 2
sin cos 2 cos 3x x x= +
( ) ( )
1 cos 2 1 cos4 1 cos6
cos2 cos 4 1 cos6 0
2 2 2
x x x
x x x
− + +
⇔ = + ⇔ + + + =
( )
2
2cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 cos cos3 0 4cos3 .cos 2 .cos 0x x x x x x x x x⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
18
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
cos3 0
cos2 0
cos 0
x
x
x
=


⇔ =


=



x


=

⇔ =


=


66. Học Viện Quân Y khối B năm 2001
3sin 2cos 2 3tanx x x+ = +
( )
3tan .cos 2cos 2 3tan cos 3tan 2 2 3tanx x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = +
.
2
3tan 2 0
tan
3
cos 1
cos 1
x
x
x
x

+ =
= −





=



69. Đại Học Sư Phạm Hải Phòng khối B năm 2001
3
sin 2 sin (*)
4
x x
π
 
+ =
 ÷
 
.
Đặt :
4 4
t x x t
π π
= + ⇒ = −
( )
3 3 2
(*) sin 2 sin sin sin cos sin 1 cot sin cos
4
t t t t t t t t t
π
 

 
⇔ − + = ⇔ − + = −
 ÷
 

1 3 1 1
cos4 3sin 4 1 cos 4 sin 4 cos 4
2 2 2 3 2
x x x x x
π
 
⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ − = −
 ÷
 
71. Đại Học Thái Nguyên khối D năm 1997
( )
2
4cos cos3 6cos 2 1 cos 2x x x x− = − +
( )
2 3 2
4cos 4cos 3cos 6cos 4cosx x x x x⇔ − − = −
( )
3 2
4cos 3cos 0 cos 4cos 3 0 cos 0x x x x x⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
72. Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000
( ) ( ) ( )
sin 2 4 cos sin 4 1 sin 2 4 cos sin 3 0x x x x x x+ − = ⇔ − − − + =
( ) ( )
2
cos sin 4 cos sin 3 0x x x x⇔ − − − + =

2 2
x
x
x x x
x
x x
π
=

=


⇔ − + + = ⇔ ⇔
 


+ = −
+ = −

 ÷

 

73. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997
4 6
cos sin cos 2x x x+ =
4 6 4 4 6 4
cos sin cos sin sin sin 0x x x x x x⇔ + = − ⇔ + =

( )

( ) ( ) ( ) ( )
cos2 cos sin sin sin cos cos sin cos 2 sin 0x x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + − =
( )
( )
( )
( )
2 2
cos sin 1 2sin sin 0 cos sin 2sin sin 1 0x x x x x x x x⇔ + − − = ⇔ + + − =
tan 1
sin 1
1
sin
2
x
x
x


= −

⇔ = −


=


.
75. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998
2 2 2
sin 3 sin 2 in 0x x s x− − =

2
3
2sin cos2 cos
2sin cos
0 sin 0 ( )
sin 2 sin 3 sin 3 cos2 sin 2 sin3 cos 2
x x x
x x
x loai
x x x x x x x
−
⇔ = ⇔ = ⇔ =
do đk
sin 2 0x ≠
Vậy phương trình vô nghiệm.
77. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh khối B năm 1997
3
sin sin 2 sin3 6cosx x x x+ =
2 3 3
2sin cos 3sin 4sin 6cosx x x x x⇔ + − =
( )
( )
3 2 2
tan 2 tan 3tan 6 0 tan 2 tan 3 0x x x x x⇔ − − + = ⇔ − − =
86. Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D
3cos cos 2 cos3 1 2sin sin 2x x x x x+ − + =
(1)
Đặt
cost x=
(1)

cos 0
1
sin
2
x
x
=


⇔

=

88. Trung Học Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997
( ) ( )
2
2sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x− + = −
21
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
( )
2
2sin sin 2 2sin 2sin 2 1 3 4 1 sinx x x x x⇔ + − − = − −
2 2
sin 0
8sin cos 2sin 4sin cos 4sin
4sin cos 1 2cos 2sin
x
x x x x x x
x x x x
=

sin 0
sin cos 0
cos 0
x
x x
x
≠

≠ ⇔

≠

2 2 2 2
2sin cos 3 sin cos 1 1 sin 3 sin cos 1 sin 3sin cosx x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ =
sin 0 ( )
sin 3 cos tan 3
x loai
x x x
=

⇔

= ⇔ =

93. Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0 (*)
cos
x x x

x x x x− =
( )
2 2
1 1 1 1 1
sin .cos sin cos sin 2 cos2 sin 4
4 2 4 4 4
x x x x x x x⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
97. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1998
4 2 2 4
3cos 4cos sin sin 0x x x x− + =

2
4 2
2
tan 1
tan 4 tan 3 0
tan 3
x
x x
x

=
⇔ − + = ⇔

=

98. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1998
3
sin 2 sin
4

−
 
⇔ = ⇔ − = +
 ÷
 
⇔ − + − = +
22
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3 2
3tan 3tan tan 1 0x x x⇔ + + + =
tan 1
tan 3
x
x
= ±

⇔

= ±

99. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh năm 1998
2
1 2 5
tan 0
2 cos 2
x
x
− + =
2 2
1 1 2 5 1 4

sin 0
x
x
≠


≠


2 2
cos 0
sin 2 sin cos2 cos
(*) 8cos cos 8cos cos 2 sin
8cos cos 2 sin 1
cos2 sin
x
x x x x
x x x x x
x x x
x x
=

+
⇔ = ⇔ = ⇔

=

cos 0
cos 0 cos 0
(tmdk)

2
1 3
4( sin 2 cos2 ) cos 2 5 0
2 2 2
x x x
π
 
⇔ + − − − =
 ÷
 
. Điều kiện
2
5
cos 2 ( )
2 4
4cos 2 cos 2 5 0
2 2
cos 2 1
2
x loai
x x
x
π
π π
π

 
− =
 ÷


(*) 3 cot cos 1 5 tan sin 1 0 3 cos 1 5 sin 1 0
sin cos
x x
x x x x x x
x x
   
⇔ − + − − + = ⇔ − + − − + =
 ÷  ÷
   
cos sin cos sin sin sin cos cos
3 5 0
sin sin
x x x x x x x x
x x
− + − +
   
⇔ − =
 ÷  ÷
   

23
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
( )
cos sin cos sin 0 (1)
3 5
cos sin cos sin 0
3 5
sin cos
(2)
sin cos

= +


1 2
sin
4
2
x
π
−
 
⇔ + =
 ÷
 
3 5 3
(2) tan
sin cos 5
x
x x
⇔ = ⇔ =
104. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1998
( )
tan cot 2 sin 2 cos2x x x x+ = +
Điều kiện :
cos 0
sin 2 0
sin 0
x
x
x


⇔ = ⇔

=

106. Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A
1 1 1
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
Điều kiện :
sin 4 0x
≠
1 1 1 1 1 1
cos sin 2 sin 4 cos 2sin cos 2sin cos cos 2x x x x x x x x x
+ = ⇔ + =
2
2sin cos2 cos 2 1 0 2sin cos 2 1 cos2 2sin cos2 2sinx x x x x x x x x⇔ + − = ⇔ = − ⇔ =
sin 0 ( )
cos2 sin cos
2
x loai
x x x
π
=


⇔
 

= = −

+ − −
=
+
. Điều kiện :
sin 2 1
4
x x k
π
π
≠ − ⇔ ≠ − +
2 2
(*) sin 2 3 2 cos 2cos 1 1 sin 2 2cos 3 2 cos 2 0x x x x x x⇔ + − − = + ⇔ − + =
cos 2 ( )
2
cos
2
x loai
x

=

⇔

=


109. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995
( )
4sin 2 3cos 2 3 4sin 1x x x− = −
( )

2
sin sin 2 2sin cos
tan tan .tan 3 2 tan tan tan 3 2 2 2
cos cos cos3 cos cos cos3
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− −
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
2 2 4 2 4 2
sin cos cos3 cos 1 4cos 3cos 4cos 4cos 1 0x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − + =
( )
2
2
2cos 1 0 cos 2 0x x⇔ − = ⇔ =
111. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
3
tan cot 2cot 2x x x= +
Điều kiện :
cos 0 sin 0
sin 2 0
sin 2 0
2
x x
k
x x
x
π
≠ ∧ ≠


 
+ = +
 ÷
 
Điều kiện :
cos 0
sin 2 0
sin 0
2
x
k
x x
x
π
≠

⇔ ≠ ⇔ ≠

≠

( )
sin cos 0 tan 1
sin cos
(*) 2 sin cos
sin 2 1 sin 2 1
sin cos
x x x
x x
x x
x x