K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
Chuyên mục: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LTĐH 2014
Lời nói đầu. Phương trình lượng giác hầu như có mặt trong tất cả các đề thi Đại học, Cao đẳng t ừ xưa đến nay của
Bộ GD-ĐT. Phương trình lượng giác thường đặt ở vị trí câu II trong các đề thi Đại học, Cao đẳng với mức độ bình
thường để học sinh TB khá trở lên cũng có thể có khả năng lấy điểm. Tuy vậy, để lấy được điểm nguyên vẹn của câu
này cũng còn là vấn đề so với nhiều học sinh. Các em học sinh cứ than phiền lượng giác công thức nhiều, biến đổi
phức tạp và trong nhiều công thức nên chọn công thức nào để biến đổi thích hợp ?
Tôi xin mạn phép nói với các em ấy rằng, những lý do đó chưa hẳn là chính đáng đâu các em à!
Với hi vọng giúp đỡ các em học sinh ấy học tốt lượng giác hơn, các em sẽ không còn ngại ngùng với đống công thức
hỗn độn của lượng giác khi đối mặt với các dạng câu lượng giác trong đề thi. Nhưng với sự hỗ trợ của các thầy cô, các
bạn học sinh, sinh viên với những kinh nghiệm bản thân cùng khả năng phân tích, định hướng sát thực s ẽ giúp các em
học sinh tiếp cận gần hơn với các phương trình lượng giác để các em có hướng tư duy đúng.
Chuyên đề được viết dưới dạng các bài toán chọn lọc cụ thể. Mỗi bài toán đều có sự phân tích, định hướng lời giải kĩ
càng được chia sẽ từ các bạn học sinh, các thầy cô dày dặn kinh nghiệm trên diễn đàn K2pi.net. Với ngôn ngữ đời
thường, có pha chút hài hước, hi vọng sẽ mang lại cho các em học sinh những kiến thức, kinh nghiệm thật quý báu
nhất.
*****
1. Giải phương trình sau: 8(sin
6
x + cos
6
x) + 3
√
3
sin 4x = 3
√
3
cos 2x − 9 sin 2x + 11
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Trước hết, nhìn tổng quan phương trình trên, trong phương trình chỉ chứa

x cos
2
x.
• sin 4x = 2 sin 2x cos 2x.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
8

1 − 3sin
2
xcos
2
x

+ 6
√
3 sin 2x cos 2x = 3
√
3 cos 2x − 9 sin 2x + 11
Như vậy, với bước là m đầu tiên, bậc c ao đã giả m xuống, góc 4x đã mất đi. Đến đây, phương trình đã được đơn giản
hóa đi một phần đáng kể, nhưng chúng ta còn phải thực hiện một thao tác nữa bằng cách sử dụng một công thức
quen thuộc sin
2
x cos
2
x =
1
4
(2 sin x cos x)
2
=

+ Trong phương trình có 5 hạng tử, để có được nhân tử chúng ta hi vọng su khi ghép những cặp đôi sẽ thành. Nhưng
với 5 hạng tử ta không thể ghép đủ các cặp đôi. Điều này có nghĩa rằng sẽ có một nhóm nào đó có chứa 3 hạng tử.
Để ý mối tương quan của các hạng tử, chúng ta c ó thể tạm nhóm như sau:
(1) ⇐⇒ (2
√
3 sin 2x cos 2x −
√
3 cos 2x) + (−2 sin
2
2x + 3 sin 2x −1) = 0
⇐⇒
√
3 cos 2x(2 sin 2x −1) + (−2 sin
2
2x + 3 sin 2x −1) = 0 (2)
Với hi vọng PT(2) sẽ có nhâ n tử 2 sin 2x − 1, ta chú ý
ax
2
+ bx + c = a(x − x
1
)(x − x
2
) = (x − x
1
)(ax − ax
2
) với x
1
, x
2


2. Giải phương trình: 2 sin 6x cos
x
2
= 4 cos 2x cos x + sin 4x cos
x
2
+ 4 cos 5x
Bài toán
Phân tích hướng giải. (1)(Lê Đình Mẫn) Trong PT chúng ta thấy đa số các số hạng đều có dạng tích hai hàm
lượng giác, các góc thì lệch nhau quá nhiều
x
2
, x, 2x, 4x, 5x, 6x. Thông thường một bài lượng giác trong đề thi ĐH thì
không đến nổi khó lắm đâu. Chỉ cần nắm hết cá c kĩ năng đưa về dạng nhân tử là OK! Đối với bài này tôi chỉ thấy
anh chàng
5x nó lẻ loi quá thôi. Nhưng mà 5x = 4x + x = 6x − x = Có ai đó đã nghĩ ngay đến công thức đưa tích
về tổng. Nhưng liệu có vội vàng quá không khi ta sẽ càng làm cho PT có nhiều góc lẻ và có thể phức tạp hơn chăng?
Vì thế, hãy cố gắng để tâm chút đến mối liên quan giữa các góc.
Đập thẳng vào mắt ta:
x
2
→ x → 2x → 4x. Đó có thể ẩn chứa sự nhân đôi chăng?
Và phải làm sao để tạo nên mối liên hệ giữa góc 5x và các góc khác đây? Tôi chỉ mới biết nghĩ có thế này thôi
5x = 4x + x = 6x − x. Muốn vậy, tôi cần có cos 5x. cos x hay cos 5x. sin x.
Hơn nữa, với cái này
4 cos 2x cos x, nếu ta thêm sin x thì ta được
4 cos 2x cos x. sin x = 2 cos 2x. sin 2x = sin 4 x.
Mấu chốt của phương trình đó chính là sự vắng mặt của sin x.
Thật là thú vị phải không nào! Bắt đầu với các ý tưởng đó thôi.

⇐⇒

2 sin 6x −sin 4x = 0 (1)
cos
x
2
sin x − 1 = 0 (2)

•(1) ⇐⇒ sin 2x(4 cos
2
2x − cos 2x − 1) = 0 ⇐⇒








x =
π
2
+ kπ
x = ±
arccos

1−
√
17
8

− 8(
√
3 cos 2x + 1) = 12 cos
2
2x + 4
√
3 cos 2x + 1 = (2
√
3 cos 2x + 1)
2
Khi đó ta thu lại được sin 2x =
√
3 cos 2x + 1 hoặc sin 2x =
1
2
Phân tích hướng giải. (2)(xuannambka)
2 Tài liệu miễn phí
K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
2 sin 6x cos
x
2
= 4 cos 2x cos x + sin 4x cos
x
2
+ 4 cos 5x
⇔ cos
x
2
(sin 6x − sin 4x) +

sin x cos
x
2
− 1

+ 2 cos x cos 2x

sin x cos
x
2
− 1

= 0
⇔

sin x cos
x
2
= 1 (1)
cos 5x + cos x cos 2x = 0 (2)
(1) ⇔
1
2

sin
x
2
+ sin
3x
2

√
17

cos 2x =
1
8

1 −
√
17

⇔


x =
π
2
+ kπ
x = ±
1
2
arccos

1
8

1 +
√
17


Bởi hình thức đơn giản của phương trình nên ta không cần đến một thao tác biến đổi phức tạp nào ngoài cách nhìn
nhận để lựa chọn công thức thích hợp.
Hai góc x và
3x
2
tuy nó không có mối qua n hệ gì trực tiếp, nhưng ta hãy thử tìm mối quan hệ gián tiếp của chúng.
Thực vậy, ta nhận thấy x = 2.
x
2
,
3x
2
= 3.
x
2
. Như vậy đã quá rõ ràng để ta biết phải tiếp tục chọn công thức nào
trong bài toán. Cụ thể:
• cos x = 2 cos
2
x
2
− 1;
• cos
3x
2
= 4 cos
3
x
2
− 3 cos

x = k4π; x = ±
5π
3
+ k4π; x = ±
π
3
+ k4π, k ∈ Z
.

4. Giải phương trình
sin
4
x + cos
4
x + sin
3
x − cos
3
x =
7 (sin x −cos x) + cos4x
4
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Hỏa Thiên Long) Nhận thấy sự đối xứng giữa các hàm sin và cos. Chỉ lòi ra thằng: cos 4x
là mất đối xứng thôi. Cần loại bỏ cos 4x
Nhưng loại bỏ theo cách nào? Tốt hơn là đưa về sin
4
x và cos
4
x vì chúng đã có mặt sẵn rồi. Vậy ta có bước biến đổi
đầu tiên:

=
3
4
.
Vậy là đã OK trong ý tưởng biến đổi phương trình về dạng đối xứng của 2 hàm trên.
Diễn đàn K2pi.net 3
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
sin
3
x − cos
3
x +
3
4
=
7(sin x−cos x)
4
Khi gặp mộ t bài toán có tính đối xứng ta thường nghĩ đến điều gì nhỉ? Tất nhiên là đưa về tổng tích rồi. Vì vậy, ta
lại biến đổi như sau:
P T ⇐⇒ (sin x − cos x).(4 sin x. cos x −3) + 3 = 0
5. Giải phương trình:
1
cos

x −
π
2

−

của hiệu hay tổng
Trước hết, dùng công thức cung có liên quan đặc biệt để xử lí mấy chỗ (Cũng giúp chúng ta tìm điều kiện dễ hơn)
cos(x −
π
2
) = cos(
π
2
− x) = sin x
sin(
3π
2
− x) = sin(
π
2
− x + π) = −sin(
π
2
− x) = −cos x
và cos(x −
5π
4
) = cos(x −
π
4
− π) = cos(x −
π
4
)
Khi đó, phương trình đã cho viết lại

√
2
(cos x + sin x)
Như vậy chúng ta có thừa số chung là sin x + cos x. Phương trình được viết lại
(sin x + cos x)(
1
sin x cos x
− 2
√
2) = 0
Từ đó, nghiệm của phương trình là
x = −
π
4
+ kπ, x =
π
8
+ kπ, x =
3π
8
+ kπ
6. Giải phương trình
sin
4
x + cos
4
x + sin(3x −
π
4
) cos(x −

x − 4 cos
3
x + 3 cos x)(cos x + sin x) −3 = 0
⇔ 2(sin
4
x + cos
4
x) − 3 + [3(sin x + cos x) −4(sin x + cos x)(1 −sin x cos x)](sin x + cos x) = 0
⇔ 2(sin
4
x + cos
4
x) − 3 + (sin x + cos x)
2
(2 sin 2x −1) = 0
⇔ 2(1 −
1
2
sin
2
2x) − 3 + (1 + sin 2x)(2 sin 2x −1) = 0
⇔ sin
2
2x + sin 2x − 2 = 0
⇔

sin 2x = 1
sin 2x = −2 (loại)

⇔ x =

2
√
3 cos
2
x + 2 sin 3x cos x −sin 4x −
√
3 −
√
3 sin x − cos x = 0
Xử lí chỗ này trước nè
2 sin 3x cos x = sin 2x + sin 4x
Đến đây, ta được cái ngon lành hơn
2
√
3 cos
2
x + sin 2x −
√
3 −
√
3 sin x − cos x = 0
Đến đây chỉ còn lại hai cung x và 2x. Đưa về cung x
2
√
3 cos
2
x + 2 sin x cos x −
√
3 −
√

⇔ x =
π
6
+ kπ.
TH2. Cho hai họ nghiệm x = −
π
2
+ k2π cái này TMĐK
Cái thứ hai x =
5π
6
+ k2π. Thay vào , ta có
tan(
5π
6
+ k2π) = tan
5π
6
= −
1
√
3
Không TMĐK roài.
Túm lại, chỉ có hai họ nghiệm x =
π
6
+ kπ hoặc x = −
π
2
+ k2π

x +
π
6

⇐⇒


x = −
π
6
+ k2π
x =
π
6
+
k2π
3
(k ∈ Z).
Bước quan trọng cuối cùng để có nghiệm chính xác đó là đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ng oại la i. Ngoài cách làm
theo thầy Lưỡ i Cưa, ta có thể sử dụng đường tròn lượng giác bằ ng cách biểu diễn các điểm biểu thị nghiệm lên và đối
Diễn đàn K2pi.net 5
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
chiếu.
Bằng cách cho lần lượt một vài giá trị nguyên k = 1, 2, 3, 4, ta được các giá trị x cụ thể. Khi biểu diễn các giá tr ị
đó lên đường tròn lượng giác ta có hình như sau chẳng hạn:
+ Hai điểm M, N chính là hai điểm biểu thị các giá trị x không thỏa mãn điều kiện, khi nghiệm trùng một trong các
điểm này ta loại bỏ ngay.
+ Họ nghiệm thứ nhất chính là điểm N nên không nhận; họ nghiệm thứ hai biểu thị bởi ba điểm B, N, C nên chỉ có
các nghiệm thuộc hai điểm B, C là ta nhận. Bây giờ, ta chỉ cần ghi công thức các nghiệm thuộc hai điểm này ra nữa

√
2 cos x

Bài toán
Phân tích hướng giải. (1) (Lưỡi Cưa)
Điều kiện: cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ
Đổi tan x =
sin x
cos x
. Qui đồng mẫu số
sin
2
x + 3 cos
2
x = (1 +
√
2 sin x)(sin x cos x +
√
2 cos
3
x)
Khai triển ra
1 + 2 cos
2
x = sin x cos x +
√
2 cos

2 cos x + 2 sin x cos
3
x
Chú ý cái này
sin x cos x + 2 sin x cos
3
x = sin x cos x(1 + 2 cos
2
x)
Thu được
(1 + 2 cos
2
x)(1 − sin x cos x) =
√
2 cos x
Đoán được nghiệm sin x = cos x =
1
√
2
Thực hiện đánh giá
1 + 2 cos
2
x ≥ 2
√
2 cos
2
x = 2
√
2|cos x| ≥ 0
và

2
≥ 0 ⇐⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥ (a + b)(c + d)

Áp dụng BĐT trên với a = 1, b =
√
2 sin x, c = tan x, d =
√
2 cos x ta có ngay
tan
2
x + 3 ≥

1 +
√
2 sin x

tan x +
√
2 cos x

Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 1 =
√

3
x − 3 cos x) −2
√
3 sin x cos x −(2 cos
2
x − 1) = 0
⇔ 2 cos 3x −
√
3 sin 2x − cos 2x = 0 ⇔ 2 cos 3x =
√
3 sin 2x + cos 2x
Phương tr ình giờ đã gọn hơn,nhưng lại gặp bất cập về góc khi 2x, 3x không liên quan nhiều đến nhau,chỉ còn ba hạng
tử tham gia nên ta nghĩ đưa về dạng cơ bản,nhóm hai hạng tử cùng góc với nhau.Có dạng a sin x + b cos x,thử biểu
diễn dưới dạng m sin(x + α) được:
2 cos 3x = 2 sin

2x +
π
6

⇔ cos 3x = cos

π
3
− 2x

Phương trình đã về dạng cơ bản.
Nghiệm của phương trình là
x =
π

2
x − 4 sin x + 2 =
36sin
2
x − 24 sin x + 12
6
=
(6 sin x −2)
2
+ 8
6
> 0
Do đó để bất phương trình có nghiệm ta phải có sin 2x > 0.
Và công thức nhân đôi chúng ta có:
√
3 sin 2x = 2
√
3 sin x cos x.
Tiếp đến khi bình phương cả hai vế của bất phương trình vế trái xuất hiện sin
2
xcos
2
x = sin
2
x

1 − sin
2
x


2
x − 3sin
4
x ≥ 1 + 9sin
4
x −12sin
3
x + 10sin
2
x − 4 sin x
⇔ 12s in
4
x − 12sin
3
x + 7sin
2
x − 4 sin x + 1 ≤ 0 ⇔

sin x −
1
2

2

12sin
2
x + 4

≤ 0 ⇔ sin x =
1

√
3
2
> 0nên thỏa mãn.
Với nghiệm x =
5π
6
+ k2π ⇒ sin 2x = sin

5π
3
+ k4π

= sin

5π
3

= sin

5π
3
− 2π

= −sin
π
3
= −
√
3

2
x
− 2 tan x = 1 + tan
2
x − 2 tan x = (tan x −1)
2
.
Bằng những công thức cơ bản ta đưa phương trình về PT tương đương sau:
√
1 − sin x(sin x −cos x)
2
+ (tan x − 1)
2
= 0 (1)

Rõ ràng c ăn thức luôn có nghĩa bởi sin x ≤ 1, ∀x =
π
2
+ kπ(k ∈ Z) và V T
(1)
≥ 0. Do đó, nghiệm của phương trình
phải thỏa mãn tan x = 1 ⇐⇒ x =
π
4
+ kπ(k ∈ Z).
12. Giải phương trình
4 cos 2x (cos 2x + 4 sin x −3) − 24 sin x −16
√
3 cos x + 37 = 0
Bài toán

+ 4(2 cos x −
√
3)
2
= 0

13. Giải phương trình
sin
2
x (tan x −2) = 3 (cos 2x + sin x cos x)
Bài toán
Phân tích hướng giải. (dangnamneu) Trước tiên thấy xuất hiện tan xtrong phương trình chúng ta phải đặt điều
kiện trước.
Điều kiện cos x = 0.
Tới đây để ý cos2x = 2cos
2
x − 1hoặc bằng 1 − 2sin
2
xđều được.
Ta đưa về phương trình sin
2
x (tan x −2) = 3

2cos
2
x + sin x cos x −1

.
Thử chia hai vế của phương trình cho cos
2

= 0.
⇔

tan x = −1
tan x = ±
√
3
⇔

x = −
π
4
+ kπ
x = ±
π
3
+ kπ
.
Nhiều em thắc mắ c là tại sao chia cả hai vế cho cos
2
xở đây. Có hai lý do, một là sin
2
x (tan x −2) = sin
2
x

sin x
cos x
− 2


− 2

= 3

cos
2
x − sin
2
x + sin x cos x

.
⇔ sin
3
x − 2sin
2
x cos x = 3

cos
3
x − sin
2
x cos x + sin xcos
2
x

.
Tới đây thì các em có thể nhận ra ngay việc chia cả hai vế của phương trình cho cos
3
x.
8 Tài liệu miễn phí

sin
2
x

1 + sin 2x − 2sin
2
x

=
√
2.cos

π
4
− 2x

. sin x
.
⇔ sin x (cos2x + sin 2x) =
√
2cos

π
4
− 2x

⇔
√
2 sin xcos


2
x =
π
2
+ k2π

.
15. Giải phương trình
2 sin

π
3
− 2x

+ 2 sin 2x +
√
3
cos x
= 4 cos 4x
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Chưa vội đặt ĐK đầu tiên ta cần định hướ ng lời giải trước: PT có nhiều
góc khác nhau, thông thường là biến đổi quy về một góc nào đó nhằm làm giảm số góc phân biệt, thử nhân hai vế
với cosx để k hử mẫu khi đó VP chứa cos4xcosx nếu sử dụng công thức biến tích thành tổng thì lại là m tăng s ố góc
khác nhau, thấy không ổn, chuyển sang phân tích tử số của phân thức VT với hi vọng xuất hiện nhân tử cosx, thật
may mắn vận may đã đến và đây là lời giải:
ĐK: cos x = 0
PT⇔
√
3 (cos2x + 1) + sin 2x
cos x



x = −
π
18
+ k
2π
3
x =
π
30
+ k
2π
5
, (k ∈ Z)
Vậy nghiệm của PT là:



x = −
π
18
+ k
2π
3
x =
π
30
+ k
2π

= 0
Diễn đàn K2pi.net 9
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
Tới đây bắt đầu đi phân tích sử lý ĐK: cos2x = 0 suy ra sin x + cos x = 0
Vậy P T ⇔ 2 cos
2
x − cos x − 1 = 0, ⇔ (I)

cosx = 1
cosx = −
1
2

Bây giờ biến đổi ĐK về hàm cosx để kết hợp:cos2x = 0 ⇔ cosx = ±
√
2
2
Vậy (I) thỏa mãn ĐK
Vậy PT có nghiệm là

x = k2π
x = ±
2π
3
+ k2π
, (k ∈ Z)
17. Giải phương trình
2


− x) = 0
PT⇔ cos 2x = cos(x −
π
4
) ⇔ 2 cos(x −
π
4
). sin(
π
4
−x) = cos(x −
π
4
) ⇔ sin(
π
4
−x) =
1
2
(Tới đây mọi thứ đều thỏa mãn
ĐK→
⇒ P T có nghiệm là:

x =
π
6
+ k2π
x = −
7π
12


= tan x − 1
Bài toán
Phân tích hướng giải. (tutuhoi) Ta có công thức tan(a − b) =
tan a−tan b
1+tan a. tan b
Nhưng nếu áp dụng trực tiếp công thức này thi ta sẽ dẫn tới việc sử dụng các hằng đẳng thức bậc 3. Vậy có cách nào
tránh được việc đó không?
Để làm điều đó ta nghĩ tới việc đặt ẩn phụ. Đặt t = x −
π
4
⇒ x = t +
π
4
.
Vậy ta có thể trình bày như sau:
Điều kiện:

cos

x −
π
4

= 0
cos x = 0

x =
3π
4

π
4
+ kπ ⇔ x = kπ
Đối chiếu với điều kiện là có nghiệm rồi.
10 Tài liệu miễn phí
K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
20. Giải phương trình
2012(sinx)
2013
+ 2013(cosx)
2012
= 2013
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Đầu tiên nhìn thấy mũ to như tảng đá thế này chắc không thể biến đổi
thông thường được rồi, nghĩ cách thôi, đá nh giá chăng chắc phải thử mới biết, đó chính là việc đi tìm hướng cho lờ i
giải!
Ta biết hàm sin và cos có giá trị trong khoảng [−1; 1] nên trị tuyệt đối của lũy thừa càng lớn thì càng nhỏ vậy ta nghĩ
đến hướng đánh giá đưa về sin
2
x và cos
2
x và ta bắt đầu đánh giá:
Ta có:
(sinx)
2013
≤ |(sinx)
2013
| = (|sinx|)
2013

2
x
(cosx)
2012
= cos
2
x = 1
↔ sinx = 0 ↔ x = kπ , (k ∈ Z)
Vậy Nghiệm của PT là: x = kπ , (k ∈ Z)
21. Giải phương trình:
sin 4x − cos 4x = 1 + 4(sin x −cos x)
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Huy Vinh) Ta có:
sin 4x − cos 4x = 1 + 4.(sin x − cos x)
⇔ 2 sin 2x. cos 2x + 1 −2 cos
2
2x = 1 + 4.(sin x − cos x)
⇔ cos 2x.(sin 2x − cos 2x) = 2.(sin x −cos x)
⇔ (cos
2
x − sin
2
x)(sin 2x − cos 2x) = 2.(sin x − cos x)
⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x)(sin 2x −cos 2x) = 2.(sin x −cos x) (1)
-TH1: sin x = cos x ⇔ x =
π
4
+ kπ ; k ∈ Z
-TH2: sin x = cos x
Từ (1)

3
⇒ vô nghiệm. Kết luận, phương trình đã cho có nghiệm x =
π
4
+ kπ k ∈ Z
22. Giải phương trình:
(8 sin
3
x + 1)
3
= 162 sin x − 27.
Bài toán
Diễn đàn K2pi.net 11
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
Phân tích hướng giải. (Mạo Hỡi) Trước tiên ta đặt t = 2 sin x cho gọn.
Phương trình đã cho trở thành:
(t
3
+ 1)
3
= 27(3t − 1).
Xử lí sao đây? Không lẽ khai triển ra? Bậc 9 đó, không dễ chơi đâu.
Bấm máy nghiệm vô tỉ quá, có chăng là nghiệm lượng giác?
Ừ, cũng có lí, có thể lắm, nhưng chưa thấy ý niệm lượ ng giác hóa.
Nháp ra xem nào, à này có thể đưa về hệ đối xứng không nhỉ, trông thấy quen lắm.
Ừ, có lí đấy, xem nào, mũ 3 ở vế trái và quan hệ bậc nhất ở vế phải.
Hơn nữa 3
3
= 27, lại có số 1 cùng xuất hiện, nên nghi ngay đặt u = 3t − 1

− 2t − 1 = 0(1).
Ồ, đây là một phương trình quen thuộc với rất nhiều bạn nè.
Tôi chém lại nha.
Bấm máy tính, nghiệm vô tỉ quá, xem ra phân tích thành nhân tử bằng đồng nhất hệ số cũng không ăn thua. Tự
nhiện chúng ta nghi ngờ có lượng giác hóa, vì nếu chú ý cos 3α = 4 cos
3
α − 3 cos α nên
2 cos 3α = 8 cos
3
α − 6 cos α.
Điều này giúp ta nghĩ tới đặt t = 2 cos α, sau đó chia cả 2 vế của phương trình cho 2 đi:
cos 3α = −
1
2
(2).
Trời không phụ lòng người rồi
Ngon.
Nhưng vấn đề là chưa chặn được khoảng giá trị của t, vì ta có ?t ∈ R
Ta để ý phương trình bậc 3 có không quá 3 nghiệm, nên giờ cứ giả sử t ∈ [−2; 2] rồi đã, xem tìm được bao nhiêu
nghiệm.
Chú ý khi đặt theo cos thì phải chặn α ∈ [0; π](3)
Sau khi giải (2), đối chiếu với (3) ta có 3 nghiệm thỏa (2).
α =
2π
9
; α =
8π
9
; α =
4π

V T
2
≤ (cos
x
2
. cos
3x
2
)
2
+(sin
x
2
. sin
3x
2
)
2
≤

(cos
4
x
2
+ sin
4
x
2
).(cos
4

x + 2
√
2sin
2
x =

2 + 3
√
2

cosx
Bài toán
12 Tài liệu miễn phí
K2pi.net
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Xin phép chỉ nêu ý tưởng định hướng: Tôi vẫn thường quan niệm rằng
nếu PT có chứa sin ;cos và có cả cot hoặc tan thì thường đưa cot và tan về sin và cos. PT này tôi cũng làm vậy:
P T ⇔ 3 cos
2
x − (2 + 3
√
2) sin
2
x cos x + 2
√
2 sin
4
x = 0
Coi PT là PT bậc hai của cos x ta có: ∆ = (3
√

Ta chú ý các hạng tử sau khi đưa về cùng một góc có bậc đều bằng ba( Ở đây sin x = sin x(sin
2
x + cos
2
x).).
Vậy ta đưa PT về PT đẳng cấp bậc ba của tan x hoặc cot x để giải, và bây giờ là lời giải:
P T ⇔ sin
3
x − 2 sin
2
x cos x −3 sin x cos
2
x + 6 cos
3
x = 0
Để ý cos x = 0 không thỏa mãn P T ⇒ P T ⇔ tan
3
x − 2 tan
2
x − 3 tan x + 6 = 0
Đặt: t = tan x ta được PT: t
3
− 2t
2
− 3t + 6 = 0 ⇔ (t
2
− 3)(t − 2) = 0 ⇔

t = ±
√

2 sin x + 2

= 0 ⇔


cos x = 0
sin x =
√
2
2
⇔





x =
π
2
+ kπ
x =
π
4
+ k2π
x =
3π
4
+ k2π
, (k ∈ Z)
27. Giải phương trình:

cot x nên ta chọn cách thông qua giá trị của một hàm tức biến đổi PT về hàm cot x
(1)⇔



cot
2
x − 1
1 + cot
2
x
= 0
cot x = −1
⇔ cot x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ, k ∈ Z
Diễn đàn K2pi.net 13
K2pi.net
LƯỢNG GIÁC 2014
(2)⇔ cot x =
1
√
3
, (Thảo mãn ĐK)
⇒ x =
π
3
+ kπ, k ∈ Z
Vậy PT có hai họ nghiệm: x =

cos
2
x
(4 sin x −3 cos x) − 2 sinx(cos x + 2) + 3(cos x + 2) = 0
⇔ (tan
2
x − 1)(2 sin x −3)(cos x + 2) = 0 ⇔ tan
2
x = 1 ⇔ tan x = ±1
⇔ x = ±
π
4
+ kπ, k ∈ Z
Tới đây ta thấy ĐK chỉ để cho vui thôi ! Vì cos x = 0 là để cho tan x xác định mà tan x = ±1 thì có giá trị xác định
rồi!
Kết luận nghiệm của PT là: x = ±
π
4
+ kπ, k ∈ Z
29. Giải phương trình:
√
3 sin 2x − cos 2x = 2
√
3 cos x −2 sin x + 3
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Đầu tiên ta để ý đến các biểu thức đẳng cấp của sin và cos và xử lý nó:
PT⇔
√
3 sin 2x − cos 2x = 2(
√

π
6

= −
1
2
30. Giải phương trình:
5 cos
3
x + 7 cos x −6 = sin 2x + 6 cos 2x
Bài toán
Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Nhìn thấy cos
3
x; cos x; sin 2x;6 + 6 cos 2x đều có chứa cos x; nên tốt nhất
ta cứ gom nhân tử chung rồi tính tiếp !
PT⇔ cos x

5 cos
2
x − 12 cos x −2 sin x + 7

= 0 ⇔

cos x = 0, (1)
5 cos
2
x − 12 cos x − 2 sin x + 7 = 0, (2)
(1)⇔ x =
π
2