Kiến thức cơ bản - Luợng giác

1

Chuyên đ II
ề

PH・・NG TRÌNH L・・NG GIÁC

Trong chủ đề lượng giác, tác giả không trình bày những dạng toán giảm tải của
chương trình như: “ phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức để giải, chuyển
đổi phương trình về dạng hệ phương trình, bất phương trình lượng giác, hệ
phương trình lượng giác, hệ bất phương trình lượng giác…”.

Để giỏi phương trình lượng giác, các em cần:

1. Nắm vững các công thức lượng giác;
2. Chia phương trình lượng giác ra thành từng loại và rèn luyện từng phần;
3. Giải nhiều bài tập để rút kinh nghiệm.

Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản

1.
cosu cosv u v k2
     

2.
 
k

tanx 1 x k
4

     

tanx 1 x k
4

       

tanx 0 x k
    

sinx 0 x k
    

sinx 1 x k2
2

     

sinx 1 x k2
2

       

cotx 1 x k


2
2 3sinxcosx 2sin x 4sinx 0 2 3cosx sinx 2 sinx 0
       

Khi
sinx 0 x k
   
Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

2

Khi
5
sinx 3cosx 2 sin x 1 x k2
3 6
 
 
        
 
 

Vậy, nghiệm của phương trình là:
x k ,
 

5

2 2 2 2 3 6
 
   
       
   
   

3x 2x k2 x k2
3 6 6
k2
3x 2x k2 x
3 6 10 5
  
 
        
 
 
 
   
 
        
 
 

Vậy, nghiệm của phương trình là:
k2
x ,
10 5
 
  

2 2 2 3 3
 
 
       
 
 

2
x k2
x k2
3 3
,k
3
x k2
x k2
3 3
 


   


  

  


 

 

x k2
3
6 6
 

 
   



  



 
  

   






3. Cách 1:
Phương trình cho tương đương
2
2cos x 3sin2x cosx 3sinx 1
   


 

k2
x
3
2
x k2
3








  



k2
x ,k
3

  


Chú ý: Phương trình đã cho tương đương :
cos2x 3sin2x cosx 3sinx
  



2
2cos x 1 3sin2x cosx 3sinx
    
cos2x 3sin2x cosx 3sinx
    cos 2x cos x
3 3
 
   
   
   
   

2x x k2
3 3
k2
x ,k
3
2x x k2
3 3
 

    



   
 
 

2cosx 1 cosx 3sinx 1 0
    

1
cosx
2cosx 1 0
2
k2
x ,k
1
3
cosx 3sinx 1
cos x
3 2

 

 



    


 

 

 
 


    
2
1 sin x cosx 1 2 1 sinx sinx cosx
    




1 sinx 1 cosx sinx sinx.cosx 0
     







1 sinx 1 cosx 1 sinx 0
    

 
sinx 1
x k2
k,m
2
cosx 1
x m2



Điều kiện:
cosx 0
sinx 0 sin2x 0 x k ,k
2
sin2x 0




     






Phương trình đã cho tương đương :
cosx cos2x sinx
1
sinx sin2x cosx
  



2 2 2 2
2cos x cos2x 2sin x sin2x 2 cos x sin x cos2x sin2x
       
cos2x sin2x tan2x 1 x k
8 2
 

sinx cosx . 2 2 sinx cosx sinx.cosx 0
 
    
 

Khi
sinx cosx 0 tanx 1 x k
4

       
Kiến thức cơ bản - Luợng giác

5

Khi


2 2 sinx cosx sinx.cosx 0
   




. Đặt
t sinx cosx
 
,

 
 

3
x m2
x m2
4 4
3
x m2
x m2
2
4 4
 

   
   



 



 
  

      




  

2
acot x bcotx c 0
  Ví dụ 1. Giải phương trình:
 
1 cosx 2cosx 1 2sinx
1
1 cosx
  



Lời giải
Điều kiện:
cosx 1 x k2
   

Phương trình đã cho tương đương :
2
1 2cos x cosx 2sinx 1 cosx
    



2 2
2 1 sin x 2sinx 0 2sin x 2sinx 2 0

t
2
  tức
x m2
2
4
sinx sin
52 4
x m2
4


   


 
    

 

 

  



Vậy, nghiệm của phương trình là:
x m2 ,
4


2
2cos4x 6cos x 1 3cos2x
0
cosx
  


 
2 2
2 2cos 2x 1 3 1 cos2x 1 3cos2x 0 2cos 2x 3cos2x 1 0
          





Đặt
t cos2x,






t 1;1 \ 0
 
Phương trình

cos2x 1 x
2

  
Đối chiếu điều kiện, ta được
x p ,x m ,
6

     
p,m


.
Vậy, nghiệm của phương trình là:
x m ,x p
6

     Dạng 4. Phương trình lượng giác về dạng tích

Với dạng toán này, thường quy về dạng
A.B 0 A 0
  
hoặc
B 0


Ví dụ. Giải phương trình:

 
    
     
      
     
 
     
 

sin 2sin
x sin 5x 0 3x cos 2x 0
2 6 6 3
   
       
        
       
        k
sin 3x 0
x k
6
18 3
l
x l
cos 2x 0



Vậy, nghiệm của phương trình là:
k
x ,
18 3
 
 
l
x
12 2
 
 
.

Dạng 5. Phương trình lượng giác bậc nhất Kiến thức cơ bản - Luợng giác

7

asinx bcosx c,a 0,b 0 *
   

Ví dụ. Giải phương trình:


3 3 2
 
   
1 2
cos 4x cos
3 2 3
 
 
    
 
 

k
x
4 2
 
   hoặc
k
x
12 2
 
   .

Dạng 6. Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai

Ví dụ. Giải phương trình:


3 3 5 5
cos x sin x 2 cos x sin x

.
MỘT SỐ VÍ DỤ TRỌNG TÂM
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1.
2
1 2 5
tan x 0
2 cosx 2
  
2.
 

 
   
 
 
2
sin2x 3cos2x 5 cos 2x
6Lời giải
1. Điều kiện:
cosx 0 x k
2

    

Phương trình đã cho được viết lại:
2


 
    
 
 
 
 
 
2
1 3
4 sin2x cos2x cos 2x 5 0
2 2 6 
   
     
   
   
2
4cos 2x cos 2x 5 0
6 6



Đặt

 
 
 

7
cos 2x 1 2x 2k x k
6 6 12

Ví dụ 2. Giải các phương trình:
1.
2
tan x tanx.tan3x 2
 
2.
2
2tanx cotx 3
sin2x
  

Lời giải
1. Điều kiện:
cosx 0
cos3x 0






Phương trình đã cho được viết lại:
 
2
sinxsin2x 2sin xcosx
tanx tanx tan3x 2 2 2

  

2 2 2
2sin x cos x 3sinxcosx 1 1 sin x 3sinxcosx 1
       

2
sin x 3sinxcosx sinx 3cosx sinx 0 sinx 3cosx
      
(do điều kiện)

tanx 3 x k
3

     

Ví dụ 3. Giải các phương trình:
1.


sin2x 4 cosx sinx 4
  
2.
tanx 2cot2x sin2x
 
 
 

Phương trình



trở thành:
2
t 4t 3 0,
  
t 2; 2
 
 
 
t 1
 

Với
t 1 2cos x 1 cos x cos
4 4 4
  
   
      
   
   

x 2k
2


   2 2
k
sin x cos x cos2x 0 x
4 2
 
       thỏa điều kiện.
Vậy, nghiệm của phương trình là:
k
x
4 2
 
  ,


k


Ví dụ 4. Giải các phương trình:
1.


2 2
tan x cot x 2 tanx cotx 6
   
2.
1 1
2 2sin x

 
, phương trình



trở thành:

2
t t 8 0 t 4
     
hoặc
t 2


Với
2 2
sinx cosx
t 4 4 sin x cos x 4sinxcosx
cosx sinx
         
2sin2x 1
   
2x k2 x k
1
6
12
sin2x sin k

tanx
          
2
tanx 1 0 tanx 1 tan x k k
4 4
 
          


Vậy, nghiệm của phương trình là:
x k ,
4

  

x k ,
12

   

7
x k
12

  



4
2 2sin x
4 sinxcosx

 

 

 
 
  
 
 2sin x 0
sin x 0 sin x 0
4
4 4
1
2sinxcosx 1 sin2x 1
2
sinxcosx
 
 
 
 
 
   
 

 

     

 
      



Vậy, nghiệm của phương trình là:
x k
4

   

Ví dụ 5. Giải các phương trình:
1.
1 1
2 2sin x
4 sinx cosx

 
  
 
 

2.




2 sinx cosx
sinxcosx

 
sinx cosx 0
sin2x 1
 




x k x k
tanx 1
n
4 4
x
sin2x 1
4 2
2x 2m x m
2 4
 
 
       
 
 

 

Kiến thức cơ bản - Luợng giác

11   
x m
4
2 sinx cosx cosx 1 2cosx 1 0 x m2 ,m
2
x m2
3


   


        




   



Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm:
m2
x ,m
3

cos5x 0


Phương trình đã cho được viết lại:
sin8x 2sin4x
0
cos3xcos5x cos4x
 2
2sin4xcos4x 2sin4x cos 4x cos3xcos5x
0 2sin4x 0
cos3xcos5x cos4x cos3xcos4xcos5x
 

    
 
 
 2
sin4x 0 4x k
x k
2sin4x.sin x 0 x k
4
sinx 0 x k
4
x k



k 1,3,4,5,7

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:
1 2 3 4 5
3 5 7
x ,x ,x ,x ,x
4 4 4 4
   
     
Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Giải các phương trình:
1.




2
2sinx 1 2sin2x 1 3 4cos x
    (1)
2.
2
tan2x cot x 8cos x
 
(2)
3.
16cosxcos2xcos4xcos8x 1

(3)

5 1 cosx 2 sin x cos x
    (9)
10.
sin2x 2cos2x 1 sinx 4cosx
   
(10)
11.
9sinx 6cosx cos2x 3sin2x 8
   
(11) Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

12

Hướng dẫn giải
1. (1)


2
2sinxsin2x 2sinx 2sin2x 1 3 4 1 sin x
      

2 2
8sin xcosx 2sinx 4sinxcosx 4sin x
   

4sinxcosx 1 2cosx 2sinx
   

5 k
x
24 2
 
  .
3. (3) Vì
sinx 0

không là nghiệm của phương trình. Với
sinx 0

, nhân
2
vế
phương trình cho
sinx
, dẫn đến phương trình:

2k
sin16x sinx x
15

   hoặc
2k
x
17 17
 
 
4. (4) 


54 9
 
 
6. (6)




3 2 2
2cos x 2cos x 1 sinx 0 2cos x 1 cosx 1 sinx 0
            
1 sinx cosx sinx cosx sinx 2 0 x k2
2

         
hoặc
x k
4

  

7. (7)






cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x
4
2 3 2
cos4x cos 2x
4

    

   
2 k
4cos4x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x
2 16 2
 
          
9. (9)
2 2 2
3 5cosx sin x cos x 2cos x 5cosx 2 0
       

10. (10)
 


2
sinx 2cosx 1 2 2cos x 1 4cosx 1 0 2cosx 1 0
         


sinx 1 x k2
2

    

Vậy, nghiệm của phương trình là:
x k2
2

  

Bài tập 2: Giải các phương trình:
1.
3
tanx cogx 2cot 2x
  2.
9sinx 6cosx 3sin2x cos2x 8
   

3.




1 tanx 1 sin2x 1 tanx
    4.
cos4x sinx sin7x cos2x
  

5.

2cot 2x 2cot 2x cot2x cot 2x
cosx sinx sin2x
        

k
cot2x 0 x
4 2
 
    
2. Phương trình đã cho
2
9sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8
     





2
2sin x 9sinx 7 6cosx sinx 1 0 sinx 1 2sinx 6cosx 7 0
          

3. Phương trình đã cho
  
2
cosx sinx cosx sinx
cosx sinx
1 3
sin4x cos4x cos2x cos 4x cos2x
2 2 6

 
     
 
 

6. Phương trình đã cho





2
2sinx2cos x 2sinxcosx 1 2cosx 2cosx 1 2sinxcosx
1 0
       
Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

14

7. Phương trình đã cho
 

, đưa phương trình về dạng:



2
tan x 3 1 tanx 3 0
   

Bài tập 3: Giải các phương trình:
1.


4 4
4 sin x cos x 3sin4x 2
  
2.


2 cot2x cot3x tan2x cot3x
  
3.
x 3x x 3x 1
cosx.cos .cos sinx.sin .sin
2 2 2 2 2
 

4.
3cosx cos2x cos3x 1 2sinxsin2x
   
5.

 
 2 k
4x 2k x
3 3 4 2
   
         hoặc
k
x
12 2
 
  
2. Phương trình đã cho

cos2x cos3x sin2x cos3x
2
sin2x sin3x cos2x sin3x
 
   
 
 
2sinx cosx
sin2xsin3x sin3xcos2x
 



2

        , đặt
t cosx
x k
2

   
hoặc
x 2k
   
. Kiến thức cơ bản - Luợng giác

15

5. Phương trình đã cho

   
sinx cosx 1
2 sin2x cos2x 2 sin2x cos2x
cosx sinx sinxcosx
      

   
2
2

2sinxcos2x cos2x 1 0 2sinxcos2x 1 cos2x 2sinxco
s2x 2sin x
        

2k
cos2x sinx cos x x
2 6 3
  
 
     
 
 
hoặc
x 2k
2

   

7. Đặt
2
2t
t tanx sin2x
1 t
  

. Phương trình cho trở thành:
2
4t
1 3t
1 t


4.
sin3x 3sin2x cos2x 3sinx 3cosx 2 0
     

5.
2 3 4 2 3 4
sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x
      
Hướng dẫn giải
1. Phương trình đã cho


2 3 2
4cos x 4cos x 3cosx 6cosx 4cos x
    



3 2
4cos x 3cosx 0 cosx 4cos x 3 0 cosx 0 x k
2

           

2. Phương trình đã cho



3 2


  
.
3. Phương trình đã cho

   
2
tanx cotx 5 tanx cotx 4 0 tanx cotx 1
         
hoặc
tanx cotx 4
  
Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

16

Với
1
tanx cotx 4 sin2x x k
2 12

          
hoặc
7
x k
12





sinx cosx . 2 2 sinx cosx sinx.cosx 0
 
     
  
sinx cosx 0
2 2 sinx cosx sinx.cosx 0
 



   

Với
sinx cosx 0 x k
4

     
Với

   


  


   



Vậy, phương trình có nghiệm:
x k ,x m2 ,x m2
4 2
 
          
.
Bài tập 5: Giải các phương trình
1.
4cosx 2cos2x cos4x 1
  
2.


2 sinx cosx tanx cotx
 
3.
2 2
x x x
1 sin sinx cos sin x 2cos
2 2 4 2


2 2
3tan x 2 2cos x 2 3 2 sinx
  
Hướng dẫn giải
1. Phương trình đã cho

2
4cosx 2cos2x 1 cos4x 4cosx 2cos2x 2cos 2x
      

 
2
cosx 0
4cosx 2cos2x 1 cos2x 4cosx 4cos2xcos x
cos2xcosx 1


     



Kiến thức cơ bản - Luợng giác

17

2. Điều kiện:




2
t 2 t 2t 1 0,t 1 t 2
       
Với
t 2 cos x 1 x m2 .
4 4
 
 
       
 
 

3. Phương trình đã cho
2
x x
1 sin sinx cos sin x 1 cos x 1 sinx
2 2 2

 
       
 
 
 
   
     
   
   
2
2cos x 5cos x 2 0
6 6
 
   
     
   
   

1 5
cos x x k2
6 2 6
 
 
        
 
 
hoặc
x k2
2

  

5. Đặt t x
2

 

  
 
  


 
  

   

 
 





k


6.


2 2
3tan x 2 2cos x 2 3 2 sinx
  
Với
cosx 0
Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

18

Đặt
2
sinx
t
cos x
 , thì phương trình



trở thành:
1
3t 2 2 2 3 2
t
  



2
3t 2 3 2 t 2 2 0 t 2
       hoặc
2
t
3


  
,
phương trình này có nghiệm
u 2
 
( không thỏa ),
1
u
2

( thỏa).
Với
1
u
2

tức
1
sinx x k2
2 6

    
hoặc
5
x k2
6

  

Với

2
 ( thỏa ).
Với
1
v
2
 tức
2
sinx x k2
2 4

    
hoặc
3
x k2
4

  

Đối chiếu điều kiện, phương trình có các nghiệm :

x k2
4

  
,
3
x k2
4


 

4.
4 4
x x
cos sin sin2x
2 2
 
Hướng dẫn giải
1. Phương trình được biến đổi dưới dạng:
2
1 cos2x 1 cos2x
cos 3x
2 2
 
 


2 2
2cos 3x cos4x cos2x 2cos 3x 2cos3x.cosx 0
     



cos3x cos5x cos3x 0 2cos2x.cosx.cos3x 0
    

cos2x 0
x k2x k
cos2x 0

 


Vậy, phương trình có 2 họ nghiệm
2. Phương trình được biến đổi dưới dạng:
(cosx sinx)(1 cosx.sinx) cosx sin2x sinx
    
Kiến thức cơ bản - Luợng giác

19

1
(cosx sinx)sin2x sin2x (cosx sinx 2)sin2x 0
2
      

 
sin2x 0 2x k x k k
2

       


Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm
3. Điều kiện :
cosx 0
sin2x 0

sin2x
2








sin2x 1
1
sin2x
2








thỏa điều
kiện. Giải các phương trình trên ta được :

 
5
x k ; x k ; x k k
2 12 12
  

 

 
    
 

 


2
x k
6 3
 
   hoặc
x k2
2

   
,
k



Vậy, phương trình có
2
họ nghiệm
Chú ý :
cosx sin2x cosx 2sinx.cosx
  


2
  

3.
2 2 2
3
sin x sin x sin x 2 3sin x .cosx
3 3 6 2
  
     
      
     
     

Hướng dẫn giải Ôn luyện thi Đại học – Nguyễn Phú Khánh

20

1. Phương trình cho viết lại:


2 2 2
2sin x 3.sin2x sin x cos x 2 cosx 3.sinx
    


2 2

3
3



 

 
   




  





 

 

  
 

 




 

TH1:
3sinx cosx 0 2 sinxcos cosxsin 0 sin x 0
6 6 6
  
   
       
   
   

x k x k ,k
6 6
 
        


TH2:
3sinx cosx 2 2 sinxcos cosxsin 2 sin x 1
6 6 6
  
   
       
   
   

2
x k2 x k2 ,k
6 2 3
  

   
      
   
   
   

2
2
3 cos2x 2cos cos2x
3
3
3sinxcosx 3cos x
2 2

 
   


2
3 3sin2x 3 2cos x 1
   
3sin2x cos2x 3
  
3 1 3
sin2x. cos2x. sin 2x sin
2 2 2 6 3
 
 
     
 




Bài tập 8: Giải các phương trình
1.


2 2 3
sinxcos2x cos x tan x 1 2sin x 0
   

2.
   
4 2
x x
sinx 3 sin sinx 3 sin 1 0
2 2
    

Hướng dẫn giải
1. Điều kiện
cosx 0


Biến đổi phương trình cho tương đương:


2 2 3
sinx 1 2sin x 2sin x 1 2sin x 0
    

hoặc
1
t
2


TH1:
t 1
 
tức
sinx 1 x k2
2

      
không thỏa điều kiện.
TH2:
1
t
2

tức
1
sinx
2


x k2
6

   

 
2 2
x x
1 sinx 3 sin cos 0
2 2
   


2
4 sinx 3 sin x 0
   

  
2
3 2
sin x 3sin x 4 0 sinx 1 sinx 2 0
       

 
sinx 1 x k2 k
2

      


Vậy, phương trình có một họ nghiệm
Bài tập 9: Giải các phương trình
1.
 


22

1.
 


3
sin2x cosx 3 2 3cos x 3 3cos2x 8 3cosx sinx 3 3 0
      

2 3 2
2sinx.cos x 6sinx.cosx 2 3.cos x 6 3cos x 3 3
    


8 3.cosx sinx 3 3 0
   







2
2cos x 3cosx sinx 6.cosx 3cosx sinx 8 3cosx sinx 0
       





 

 




Vậy, phương trình cho có
2
họ nghiệm.
2. Điều kiện:
1
sin2x ,cosx 0
2
 

Phương trình đã cho tương đương:
3 3
3sinx 4sin x 4cos x 3cosx
cos2x sin(1 tanx)
2sin2x 1
  
  


2 2
(sinx cosx)(2sin2x 1) sinx(sinx cosx)
cos x sin x
2sin2x 1 cosx

(cosx sinx)(1 cosx) 0
   

cosx sinx 0 tanx 1
1 cosx 0 cosx 1
  
 
 
 
   
 
x k
(k )
4
x k2


  

 

  




Đối chiếu điều kiện, suy ra các họ nghiệm của phương trình đã cho là:
x k ,
4


sinx 4sin x 1 2 3 cosx 0
2
 
    
 
 
 
Kiến thức cơ bản - Luợng giác

23

 
2
2
3
cos x
4
sinx 4sin x 1 2 3 0
3
cosx
2

   

 
2
2sinxcosx 3sinx 3

  

TH2:
2 2
sin2x 3 3sinx sin 2x 2 3sin2x 3 3sin x
     
2 2 2
4sin xcos x 4 3sinxcosx 3cos x 0
   

2
4sin xcosx 4 3sinx 3cosx 0
   

Chia hai vế cho
3
cos x
ta được




2 2 2
4tan x 4 3tanx 1 tan x 3 1 tan x 0
    

3 2
4 3tan x 7tan x 4 3tanx 3 0
     
. Bạn đọc giải tiếp phương trình cơ bản.

4.
2 2sin x cosx 1
12

 
 
 
 

Hướng dẫn giải
1. Phương trình cho viết lại:
2 2 2 2
1 sin 4x 1 sin 8x 2 sin 12x sin 16x 2
      

2 2 2 2
sin 4x sin 8x sin 12x sin 16x 0
    

 
sin4x 0
sin8x 0
sin4x 0 4x k x k k
sin12x 0 4
sin16x 0






x k
cosx 0
2
x 2k k
sin3x 1 3 2
x k
2


  





      
 
 


  




Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm.
3. Phương trình cho viết lại:
2 2
(4cos x 4 3cosx 3) (3tan x 2 3tanx 1) 0
     



 
x k2
6
x k2 k
6
x k
6


  



     



  




Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm.
4. Cách 1:
2 sin 2x sin 1
12 12
 
 

   
     
   
   5
x k2x k2
4
12 12
k
7
x k
2x k2
312 12
 

     


  


 

  
   

 


   
1 1
2 2 sinx cosx .cos sin . sinx cosx cosx 1
6 6
2 2
 
 
    
 
 

Hay
 


sinx cosx 3cosx sinx 0
   