WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 1 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa:
*
A có nghĩa khi 0A  .
*
A
1
có nghĩa khi 0A  .
*
A
1
có nghĩa khi 0A 
Đặt biệt:
*


2
2
1sin kxx  *

kxx

 0sin
*


2
2

sinsin
kx
kx
x

*








2arcsin
2arcsin
sin
kax
kax
ax
( với 1a và a
không phải là giá trị đặt biệt)
*








*








2arccos
2arccos
cos
kax
kax
ax
( với 1a và a
không phải là giá trị đặt biệt)
*







00
00
0
360
360



cotcot

*

kaarcxax 



cotcot (với a không
phải là giá trị đặt biệt)
*
000
180cotcot kxx 


3: Công thức lượng giác cơ bản:
*
1cossin
22


*


2
2
cos
1



tan)tan(



*


cot)cot(



5: Công thức bù:
*



sin)sin(


*



cos)cos(






*


cot)
2
tan(  *


tan)
2
cot( 
7:Công thức hơn kém
:


*



sin)sin(



*



cos)cos(


bababa sin.coscos.sin)sin( 



*
bababa sin.coscos.sin)sin( 



*
ba
ba
ba
tan.tan1
tantan
)tan(




*
ba
ba
ba
tan.tan1
tantan
)tan(




Chuyên đề phương trình lượng giác 2 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net

10. Công thức nhân ba:
*

3
sin4sin33sin 
*

cos3cos43cos
3


11:Công thức hạ bậc:
*
2
2cos1
cos
2
a
a



2
2cos1
sin
2
a


)sin()sin(
2
1
cos.sin bababa 

13:Công thức biến đổi tổng thành tích:
*
2
cos
2
cos2coscos
baba
ba

2
sin
2
sin2coscos
baba
ba

2
cos


4


3


2


sin 0
2
1

2
2

2
3

1
cos 1
2
3

2
2

2
1

Trong đó là một hàm số lượng giác
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số
lượng giác:
* Dạng
0sinsin
2
 cxbxa

Đặt
sin , 1 1tx t

.
* Dạng
0coscos
2
 cxbxa
Đặt
cos , 1 1tx t


.
* Dạng
0tantan
2
 cxbxa Đặt
x
t tan

.
* Dạng




22
cossinsincos
ba
c
xx




22
)sin(
ba
c
x




4. Phương trình dạng:
dxcxxbxa 
22
coscossinsin
(1)
Cách giải:
+ Thay
2
cos 0( sin 1)

WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 3 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net 5: Phương trình :
* Dạng
cxxbxxa  cossin)cos(sin
Đặt
2,))
4
sin(2(cossin  txxxt


Ta có :
2
1
cossin
2


t
xx
.
Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo
biến t.
* Dạng
cxxbxxa  cossin)cos(sin
Đặt
2,))

3
sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)

( ĐH KHỐI B-2009 )

3.
3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0

(ĐH KHỐI D-2009 )
4.









x
x
x
4
7
sin4
)
2
3
sin(
1




( ĐH KHỐI D-2008 )

7.
xxx 2sin23cos33sin 
( CĐ KHỐI A, B, D-2008 )

8.
xxxxx 2sin1sin)cos1(cos)sin1(
22


( ĐH KHỐI A-2007 )

9.
xxx sin17sin72sin2
2

( ĐH KHỐI B-2007 )

10.
2cos3
2
cos
2
sin
2


x
xxx

( ĐH KHỐI B-2006 )

13.
01cos2cos3cos 

xxx

( ĐH KHỐI D-2006 )

14.
0cos2cos3cos
22
 xxx
( ĐH KHỐI A-2005 )

15.
02cos2sincossin1




xxxx
( ĐH KHỐI B-2005 )

WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 4 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net

2
2sin4tancot 

( ĐH KHỐI B-2003 )

20.
0
2
costan
42
sin
222








x
x
x


( ĐH KHỐI D-2003 )

21. Tìm nghiệm thuộc khoảng




14;0 nghiệm đúng phương
trình:
04cos32cos43cos  xxx
( ĐH KHỐI D-2002 )

24.
xxxx cos3
2
3cos
2
2cos
2
cos
222




























xxx

( ĐH KHỐI D-2005 )

26.
024sin)cos(sin4
44
 xxx
( CĐ XD số 2 -2006 )

27.









( CĐ XD số 3 - Khối A -2006 )

28.
3
1sincos2
2sincos
2



xx
xx

( CĐ GTVT III - Khối A -2006 )

29.


xxxx sin3coscossin4
33

( CĐ SP Hưng Yên - Khối A -2006 )

30.
xxxx cossin3sincos
23


( CĐ SP Hưng Yên - Khối B -2006 )


33.















x
x
x
sin
sin1
2
2
tan3
2
 ( CĐ Sài Gòn -2007 )



( ĐH KHỐI D-2004 )

WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 6 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
I. Phương trình lượng giác cơ bản:

Ví dụ 1: Giải phương trình:
a.
sin 2 sinxx  b. sin 2 2cos
x
x c. os3 sinxcx

d.
osx=-sin
2
x
c

e.
2
3
24
x
sin 
f. sin4x 2sin . os4x
3
c



   







b.

2cos 0
2sin .cos 2cos 0 2cos sinx 1 0
sinx 1 0
x
pt x x x x


 





cos 0
2
sinx 1
2
2

os3 sinx cos3 os
2
3222
22
xxk xk
cx xc x
x
xk x k








 


   




    



82
4

x
k








  
 

  
  

  



24
2
2
24
3
2
33
2
x
xk

24 2 4 2 3
xx
sin x x x x c


     

2
2
3
2
2
3
xk
x
k










 




46 3
x
kxk
xx
ccc
x
kx k








  

    


   



Ví dụ 2: Giải phương trình
33
sin .sin 3 os .cos3 1
8
tan .tan
63

Phương trình tương đương với:
33
sin .sin 3 os .cos 3 1
18
xxcx x



33 2 2
11
sin .sin 3 os .cos3 sin .sinx.sin 3 os .cos . os3
88
xxcx x x xcxxcx  


1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1

22 228
1
2 os2 os2 . os4
2
cxcxcx cxcxcx
cxcxcx


 3
11



  WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 8 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 3: Giải phương trình:
x
xx
xx
2
32
2
cos
1coscos
tan2cos



Giải:
Điều kiện: cosx ≠ 0

222
cos 1
cos 2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos -1 0

Ví dụ 4: Tìm các nghiệm trên

0; 2

của phương trình :
sin 3x sin x
sin 2x cos2x
1cos2x




Giải:
ĐK :
22
1 cos2x 0 2sin x 0 sin x 0 sinx 0 x 

pt
2cos2x.sin x
2cos 2x
4
2sinx






Khi

x;2 
thì sinx < 0 nên :
(1)
2 cos2x = 2 cos 2x
4






cos -2x = cos 2x-
4






5
x
16 2

 






55
2 sin 2 sin 1
12 12
x









551 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
312 12
xx

 
 
 

 











  






 







Ví dụ 6: Giải phương trình:
12(cossin)
tan cot 2 cot 1
x
x

xxcx x x x
xx xx
loai
xxx
x






   



cosx =
2
2
x =
2
4
k




Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x =

sin 3cos 2cos 3cos 2 2xx x x   b.
22
5sin 2cos 3sin 10 2cos 2
x
xx x
c.
os3 .cos 1cx x
Giải:

a. pt
222
1 os 3cos 2cos 3(2 cos 1) 2cx x x x     
2
cos 1
5cos 3cos 2 0
2
cos
5
x
xx
x







2
2


b.
22 2
5sin 2(1 sin ) 3sin 10 2(1 2sin )
p
tx xx x
2
sinx 1
11sin 3sin 14
11
sinx ( )
4
xx
VN







2
2
x
k


 
c.



Ví dụ 2. Giaûi các phương trình sau:
a.
2
2cos4 6 s 1 3cos2
0
cos
xcox x
x


(1) b. 1
cos1
sin2)1cos2(cos1



x
xxx
(2)
c.
2
323(1).cotcosx cosx x  (3) d.
66 2
sin 2 1
x
cos x cos x

 (4)
Giải:






kx
k
x
x
x
xx
6
2
2
1
2cos
12cos
012cos32cos2
2

i chiu vi iu kin ta c
Zkhkxhx ,;
6
;



.
b. K :

















2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx
kx
x
( Tha iu kin)
c. K :

2
2


xx
x
x
x





















2)

22222322
32
3
266



x
xxxxxxx
xxxx

Khi ú: (4)
012cos42cos32cos
4
1
2cos
4
3
22
xxxx











Chuyên đề phương trình lượng giác 12 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net

sin 3 cos3
74cos2
2sin2 1
xx
cosx x
x






(5)
Giải:
ĐK : sinx













3cos3sin




Ta có (5)
)sin21(4sin72cos4)coscos(sin7
2
xxxxxx 
2
sin 3 ( )
2sin 7sin 3 0
1
sin
2
x
VN
xx
x








2
1
6

5
;
6


 xx

Ví dụ 4: Giải phöông trình :
cos 2 5sin 3 0 (*)xx

 .
Giải:
(*)
2
1 2sin 5sin 3 0xx  
2
2sin 5sin 2 0xx
1
sinx
2
sinx 2 ( )VN








2

x
xxx


  
Giải: 13
os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0 os2 sin 2 5 os( ) 3 0
622 6

     pt c x x c x c x x c x
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 13 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net

os(2 ) 5 os( ) 3 0
36
cx cx



2
2os( ) 5os( ) 2 0
66
cx cx









cx
xk
xk
cx VN

Ví dụ 6. Giải phöông trình
44
4
sin 2 os 2
os 4
tan( ).tan( )
44
xc x
cx
xx




.
Giải:
Điều kiện:
,
42
x









22
1os40sin40sin404
4
cx x x xk xk


     Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là
,
2
x
kkZ




Ví dụ 7. Giải phöông trình
22
23sinx
sin x sin x




1
1sinx 2cos2x 0
2






 1 – cos2x – sinx = 0  2sin
2
x – sinx = 0
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 14 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net

sin x 0
1
sin x
2








Giải:
Điều kiện:
cos 0
sin 2 0
sinx 0
2
x
x
xk








(1)
xsin
xcos
xcos
xsin
xcosxsin
xsinx2sinxcosx2cos





22









 


 


Ví dụ 9. Giải phương trình :
01cossin2sinsin2
2
 xxxx
Giải:
Ta có:
01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2
22
 xxxxxxxx .

22
)3cos2()1(cos8)1cos2(  xxx .
Suy ra





4
sin
2
2
4
sin1cossin

xxx
Vậy nghiệm của phương trình là

kx 2

hoặc


kx 2
2
3
Ví dụ 10. Giải phương trình:
2cos5 .cos3 sin cos8
x
xx x


sin 2
cos
x
x
x
x


 .
Giải:
Đk:
2
x
k



Phương trình đã cho tương đương với:

2
4
31 tan 2 3 2cot
sin 2
x
x
x

22
2
2
















So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm :
62
x
k


 ;
kZ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1. Giải phương trình :
a.
22



0; 2

của phương trình :

cos 3 sin 3
53cos2
12sin2
xx
sinx x
x





 III. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:

Phương trình dạng
: asinx + bcosx = c , với a.b

0
WWW.ToanCapBa.Net
Chun đề phương trình lượng giác 16 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a

22
sin
c
ab



ta có phương trình:

sin( ) sinx




Ví dụ 1.
Giải các phương trình sau
a.
3sin2 os2 2xc x b. sinx 3 cos 2sin 3
x
x
c.
cos 3 sin 3 os3 3 sin
x
xc x x d.
22
3sin os 3 sinx cos
x
cx x 
Giải:
a. pt


     
32
3
sin sin( 3 )
3
32
3
xxk
xx
x
xk



















66
32
32
66
cpt x c x x x x c x x
cxcxc cx
xk
xxk
xx
xk
xxk
 







 








 


pt c x x
xx x xx
cx
x
x
x
c
x



  







 








sin 0
6






















 



   





(sin ) 3 sin 4 2xcosx x 
(7) h.
xxxx sin3cos)cos3(sin3 
(8)

Giải:
a. (1)

xxxx 4cos26sin32cos32cos4
3
xxxxxx 4cos6sin
2
3
6cos
2
1
4cos26sin36cos xx 4cos
3
6cos 






3
cos
2
1










c. Ta c
ó (3)


01coscos2)sincossin2(
2
 xxxxx
0)1cos)(sin1cos2(
0)1)(cos1cos2()1cos2(sin





xxx
xxxx







 xxxxx
sinsinsincoscos
10
3
sin
10
3
cos
10
1
 xxxx
Đặt
13
cos à sin
10 10
v



Ph
ương trình cos( ) cos cos( ) cos

xxx

0)cos(sin)cos(sin2)sin1(
2
 xxxxx







0cossin
0sin1
0)2cos)(sincos)(sinsin1(
xx
x
xxxxx

f. Ta c
ó (6) xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin




xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin


1
1cossin
244


Nên (7)
2
1
4sin
2
3
4cos
2
1
24sin34cos3 
xxxx


3
2
cos
3
4cos












3
sin
6
3sin

xx

WWW.ToanCapBa.Net
Chun đề phương trình lượng giác 19 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 3.
Giải phương trình :
2
2 os3x.cosx+ 3(1 s in2x)=2 3 os (2 )
4
ccx


Giải:

os4x+cos2x+ 3(1 sin 2 ) 3 1 os(4x+ )
2
os4x+ 3sin 4 os2x+ 3 sin 2 0
PT c x c
cxcx


 






Vậy PT có hai nghiệm
2
x
k


 và
18 3
x
k


  . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
:
1) Giải phương trình :
xxxx 3sin43cos29cos33sin3
3

2) Giải phương trình :
31

8) Gi
ải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3 

IV. Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:

1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:*Phương trình có dạng
: asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x + d = 0. (1)

*Cách giải 1
: (Dùng cơng thức hạ bậc và cơng thức nhân đơi đưa về PT bậc nhất theo
sin2x và cos2x )
(1)

1cos2 1cos2
sin 2 0
22 2
xb x
axcd

 

WWW.ToanCapBa.Net
Chun đề phương trình lượng giác 20 LTĐH Năm 2012-2013

2
x + btanx + c + d = 0.

Ví dụ 1
: Giải các phương trình sau
a. cos
2
x - 3 sin2x = 1 + sin
2
x (1) b. 4sin
2
x – 3sinxcosx +

34 cos
2
x = 4 (2)
c. 10cos
2
x – 5sinxcosx + 3sin
2
x = 4 (3) d. cos
2
x + sinxcosx + 3sin
2
x = 3. (4)

Giải

a. (1)


x nghiệm đúng phương trình (2).
V
ậy (2) có nghiệm


kx 
2
.
+
Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x
2
cos ta được
22
4 t anx 3 t anx 3 4 4(1 tan )
x

tan tan
66
x
xk



 Vậy PT (2) có nghiệm là :


kx 

+Xét
0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x
2
cos ta được
22
1 t anx 3tan 3(1 tan ) tan 2 arctan 2
x
xxx k

   
WWW.ToanCapBa.Net
Chun đề phương trình lượng giác 21 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
:
1) Giải phương trình : 3sin
2
x - 5 3 sinxcosx – 6cos
2
x = 0
2) Giải phương trình : sin
2
x +
2
(1 3 ) sin cos 3 0xx cosx


3) Giải phương trình : 2sin
2

k
N ”
Cách giải 1
: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật tốn,
nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT khơng. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
+Bước 2: -Xét cosx
 0. Chia hai vế PT cho
x
n
cos
và thay

k
k
x
x
2
2
tan1
cos
1








01


; vô lý)
+cosx
 0, chia hai vế (*) cho cos
3
x được :



kxxttxxx 
4
1tan111tan)tan1(tan
32
(t = tanx)
Giải cách 2:
(*) xxxxx
3332
cossincos)cos1(sin  (**) 

kxxx 
4
1tan1tan
3
:
(2)
0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos
22
 xxxxxxxxx


kxxxx



 0sin0)22(sinsin

Ví dụ 3: Giải phương trình: 0cos2cossincos2sin3
233
 xxxxx (3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)
+ cosx
 0, chia hai vế (3) cho cos
3
x được :

0)3(3033)tan1(2tan2tan3
223223
 ttttxxx




0

Giải cách 2:
(3)


0)cos1(cos2cossinsin3
223
 xxxxx



0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin
222
 xxxxxxxx













2
x + sin
4
x = 0 (4) (ng cp bc 4)
Gii cỏch 1:

+ cosx = 0 thỡ sinx =
1 khụng nghim ỳng ptrỡnh . Vy cosx 0
+ Chia hai v (2) cho cos
4
x ri t n ph t = tan
2
x thỡ c:

31034
2
tttt
Gii cỏch 2:
(4) 0)sincos(sin)cossin3cos3(
422224
xxxxxx
0)sin(cossin)sin(coscos3
222222
xxxxxx







Khi ú PT (*) gii tip theo cỏch gii 1 hoc cỏch gii 2 ó nờu trờn l n gin
+ Nu t PT:
xxxxxx cossin)sin(coscossin
22266
(ng cp bc 6)
Lm theo cỏch gii (1) sau bc 2 ó thu gn ta c phng trỡnh: (Vi t = tanx )







)1.5(012
0
02
234
2345
tttt
t
ttttt

Khi ú PT (5.1)
02
11
0
11
2
2
2

thỡ c PT bc hai
100
2
uuuu
.
Tr li vi n t thỡ cỏc PT ny vụ nghim.
+ Vi t = 0

kxx

0tan
.
Chỳ ý: Khi xột cosx = 0 thỡ nú nghim ỳng PT ng cp bc 6 nờn:


kx
2
cng l nghim PT. Kt hp nghim thỡ c x =
2

k
. Phự hp vi mi cỏch
gii.

BAỉI TAP TệễNG Tệẽ: Cú th gii li cỏc bi trong cỏc vớ d v bi tp tng t phõn
PT a v PT bc nht theo sin v cụsin cựng mt cung nh :
1) Giaỷi phửụng trỡnh sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x (ng cp bc 3)
2) Giaỷi phửụng trỡnh sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (

ải phương trình :
xxxx sin3cos)cos3(sin3 
(đẳng cấp bậc 3)
10) Giaûi phöông trình :
88 2
17
sin 2
16
x
cos x cos x (đẳng cấp bậc 8)
11) Giaûi phöông trình :
66 2
sin 2 1
x
cos x cos x

 (đẳng cấp bậc 6) V. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một
cung:
1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và
côsin)

Dạng phương trình
: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R (1)
Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2
4
sin2 


t
bat .
Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn 2
0
t .
Thay giá trị t
0
vào PT (*) và giải PT sin2x = 1
2
0
t để tìm x.
2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)

Dạng phương trình
: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R (2)
Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2
4
sin2 






 tx

vào PT (**) và giải PT sin2x = 1-
2
0
t để tìm x.
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 25 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
sin cos 2 sin 2 cos
44
sin cos 2 sin 2 cos
44
xx x x
xx x x




 
  
 
 
 
  
 
 

Ví dụ 1: Giải phương trình

Ví dụ 6: Giải phương trình 0sincos2cos)1cos(sin




xxxxx (6)

Giải:

Ví dụ 1
: (1) 


012)cos(sin122sincossin




 xxxxx





)1(0122sin)cos(sin12
)1(0cossin
bxxx




1
1 2 sin 1 sin sin sin
44 44
2
tx x x


  
    
  
  

2
2
44
2
2
2
44
xk
x
k
xk
xk







Ví dụ 2
: (2)


072sin3)sin(cos8sincos




 xxxxx







)2(072sin3)sin(cos8
)2(0cossin
bxxx
axx

(2a)


kx 
4