Sở GD & Đt nghệ an
Trờng THPT Đặng thúc hứa

66
sin4x + cos2x
dx
sin x + cos x
tích phân

(
)
(
)

66
88
x+1-x-1
dx 1
== dx
x+1 2 x+1
I =


Thử giải một bi toán khó nhng cha thật hi lòng !
(
)
(
)
()()

66
22
8
42
x+1-x-1
dx 1
=dx=
x+1 2
x+1 -2x

(
)
(
)
(
)
()()
(
)
(
)
(

x+1x x-1x
1x+1 1x-1
= dx+ dx+ dx+
22 22
x+2x+1 x+2x+1
x - 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x +1





2
2
1
1+
1
x
=dx
2
1
x- +2+ 2
x
()


x
()
() ()









2
22
1
1- dx
2+1
x
+
2
11
x+ - 2+ 2 x+ - 2- 2
xx


11
dx- dx-
2-1 2-1
xx
+-
42 42
11
x- +2- 2 x- +2+ 2
xx
()







2
1
dx+
1
x
+
2
1
x+ - 2- 2
x
()
()
()

11
x+ -2-2 x+ -2+2
2+ 2 2- 2 2- 2 2+ 2
xx
=u+v+ln +ln +C
11
8 8 16 16
x+ + 2- 2 x+ + 2+ 2
xx
( Với
1
x- = 2+ 2tgu= 2- 2tgv
x
)
(Nếu dùng kết quả ny để suy ngợc có tìm đợc lời giải hay hơn ? )


12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
2
Phần lý thuyết

Định nghĩa : Giả sử f(x) l một hm số liên tục trên một khoảng K, a v b l hai phần tử bất kì của K, F(x) l
một nguyên hm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi l tích phân từ a đến b của f(x) v đợc kí hiệu l

x
11
xdx 1 0
0
33
===

3
3

Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc v f, a v b m không phụ thuộc vo kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta
có thể viết : F(b) F(a) = =
()

b
a
fxdx
()

b
a
fxdx
()

b
a
ftdt
=
()


()
()
eee
22
111
ee
31
2x dx 2 xdx 3 dx x 3ln x e 1 3 1 0 e 2
11
xx

+= + =+ =+=+



2

4.
() () ()

cbc
aab
fxdx= fxdx+fxdx
VD :
22101 01
110 10
01
xx
x
dx xdx x dx xdx xdx 1

gxdx

VD : Chứng minh rằng :
22
00
sin2xdx 2 sinxdx




7. m f(x) M trên đoạn [a ; b]

m(b a) =

b
a
mdx



()

b
a
fxdx


b
a
Mdx

=
=max min


12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
3
Do đó :
22 2
11 1
15
2 dx x dx dx
x2

+




2
1
22
15
2x x dx x
11
x2


=
+


Đặt : . Khi x= 0 thì t=1, khi x=1 thì t=2 .
2
tx 1=+
Ta có :
dt
dt =
. Do đó :
2xdx xdx
2
=

2
12
01
2
x1dt1 1
Id

x lntln2
1
2t 2 2
x1
====
+

Quy trình giải toán .

dx
x
ln x

2 .
()
2
2
1
dx
2x 1

3.
1
2
3
0
x
dx
x
1
+

4.
3
4
2
x
dx
x


Phơng pháp đổi biến số : x = u(t) .
VD . Tính tích phân :
1
2
0
1x


dx
Đặt x = sint
t;
22














. Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t=
2



=
=
2
0
1cos2t 1
sinx
cosx
O
1
dt t sin2t
2
222 4
0


+


=
+=




Quy trình giải toán .
()

b
a


Bớc 3 . Tính .
()



gtdt
Bi tập rèn luyện phơng pháp :
Tính các tích phân sau :

1 .
1
2
0
dx
1x+

2 .
1
2
2
0
dx
1x

3.
1
2
0
dx

( Đặt x=5cos2t)
Phơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t)
VD1 . Tính tích phân : I =
1
2
0
1xdx+


Cách (1) Đặt
2
22
t1
1+x =x- t 1=-2xt t x
2t

+=

Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t=
12 v dx =
2
2
t1
2t
+
dt . Do đó :

12 12 12 12 12
22 42
23

=


+

()
12
ln 2 1
22
+



nên ta có thể chọn
t0;
4








. Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì
t

Cách (2) : Đặt x=tgt , do
x
0;1

=
()()
()()
()
()()
()
22
44
00
1sint 1sint
111
dsint dsint
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t


++
=+

+ +


1
=

=
()()
()
()
()
()

11 1 11sint1sint 11sint
.ln
ln
4
0

444
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 2 cos t 4 1 sin t
000

++

+ =+

+


=
()
12
ln 2 1
22
+
.
Bình luận : Bi toán ny còn giải đợc bằng phơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rng
khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép
tính toán đơn giản hơn. Nhng ngợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán di dòng v nếu quả
thật không khá tích phân thì cha hẳn đã l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn .

VD2 . Tính tích phân : I =

+
dt . Do đó :

12 12
2
22
11
2t t 1 1
I . dt dt
t12t t


+
==
+

=

=
12
ln t
1



()
ln 2 1=


nên ta có thể chọn

22 2
22
00 000
cos t
111 1cos
dx dt dt dt dt
cost cost cost cost
1x 1tgt

====
++

t
=

()
()
4
2
0
dsint
11sint
ln
4
21sint
1sint
0




1

3.
0
2
1
x
2x 2dx

++


4.
1
2
2
0
dx
1x4x3++

5 .
1
2
2
dx
112xx


+


a

hay

() () ()
()
()

bb
aa
b
uxdv=ux.vx - vxdu
a
VD1. Tính
2
0
x
cosxdx



Đặt

=
, ta có :
ux
dv cos xdx



Nhận xét : Một câu hỏi đặt ra l đặt có đợc không ?
ucosx
dv xdx
=


=

Ta hãy thử :
2
22
2
00
x1
x
cos xdx cosx x sinxdx
2
22
0



=+



, rõ rng tích phân
2


=

rõ rng để tính v= l một việc khó khăn ! ln xdx


Giải . Đặt
5
ulnx
1
dv dx
x
=



=


ta có :
54
1
du
x
11
vdx
x4x

=


vdu

phải đơn giản hơn tích phân cần tính
(
)
udv

.

Bi tập rèn luyện phơng pháp :

Tính các tích phân sau :
1 .
1
x
0
x
edx

2 .
1
3x
0
x
edx

3.
()
2
0

7.
2
x
0
ecosxdx


8. 9. 10.
e
1
ln xdx

()
5
2
2xln x 1 dx

()
e
2
1
ln x dx


Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó ! Phần phân loại các dạng toán

Tính I
1
x1
dx
+
=



x1
Tính I
2
2
x5
dx

=
+


x1
Tính I
3
3
x
dx
2x 3
=


(
)
()
()
u' x
dx ln u x C
ux
=
=+
Tính I
2
2
dx
x4
=

Cách 1. ( phơng pháp hệ số bất định )
()()
2
1
A
AB0
2AB
2


=
11
dx
2x2

-
11
dx
2x2
+

=
1x2
ln C
2x2

+
+

Cách 2.
( phơng pháp nhảy tầng lầu )
Ta có :
I
2
222
2 1 2x 2x 4 1
dx dx dx ln x 4 ln x 2 C
x4 2x4 x4 2


x1
+
=



Tính I
2
2
x
dx
x5x6
=
+
Tính I
3
2
3x
dx
x
3x 2
=
+
Phơng pháp :
Tính I
(
)
()
2
2
dx 2
11
dx C
x4x4 x2
x2

===
+


+

Tính I
2
4x
dx
4x 4x 1
=
+

.


x
4x 4

=
+


Tính I
3
2
x
dx
x
2x 1
=
++


Phơng pháp : Để tránh phức tạp khi biến đổi ta thờng đặt :
t
xtx


+= =

v thay vo biểu thức
trên tử số .

3. Tam thức : vô nghiệm .
()

C=+
, với
(
)
tg x

=
< Tổng quát > Tính I
22
1
dx
xa
=
+

. HD Đặt
xatg
=

2
a
dx d
cos
=

, ta có :
I
d
C
aa

4
=
+


Tính I
3
2
x
dx
x
9
=
+
ê
C. Dạng : I
()
()


32
Px
=d

xa0
ax + bx + cx + d


()
3
1
dx
x1
=



Nếu x > 1 , ta có : I
()
()()
()
()
2
3
3 2
x1
11
dx x 1 d x 1 C C
2
x1 2x1



===+=



+



=
()
2
1
C
2x 1
+


Chú ý :
m
m
1
x, với x > 0
x

=

Tính I
()
3
x
dx
x1
=




dx
x1
=



Tính I
()
4
3
x
dx
x1
=
+


2. Đa thức : có hai nghiệm
.
()
32
fx ax bx cx d=+++
Tính I
()()
2
1
dx
x1x1
=
+




Do đó : I
2
32
32 2
3t 4t 1 3 2 3 1
dt dt ln t 2t ln t C
t2t 4tt 4 2t


=+=+




+
.
Cách 2 < Phơng pháp hệ số bất định >
()( )
2
32 2
2B 1
1AtBC
1 A C t 2A B t 2B 2A B 0
t2t t t2
A
C0
=


Do đó :
32 2 2
11t21112112
dt dt dt ln t ln t 2 C
t2t 4t t2 4tt t2 4 t
+

= = + = +






12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
10 Phơng pháp nhảy tầng lầu đặc biệt có hiệu quả khi tử số của phân thức l
một hằng số .
Phơng pháp hệ số bất định : bậc của đa thức trên tử số luôn nhỏ hơn bậc
mẫu số 1 bậc .

=
+


Sử dụng phơng pháp hệ số bất định :
()()()
2
22
x
Ax B C
x
2
x1 x2 x1
+
=+
+
+

Do đó :
()( )(
2
2
)
x
x2AxB Cx1+ ++
Cho : x=-2, suy ra :
4
C
9
=

()
32
fx ax bx cx d=+++


Tính I
()
2
1
dx
xx 1
=



Cách 1. Ta có :
() ()
22 2
33
22
113x13x313x1
2x x 2x x x
xx 1 xx 1

3




==

2
1ABC
1Ax 1 Bxx1 Cxx1
xx1x1
xx 1
=+ + + ++
+

)

Cho x=0, suy ra A = -1 .
x=1, suy ra
1
B
2
=

x=-1, suy ra
1
C
2
=

Do đó :
I
2
1
ln x ln x 1 C
2
= + +


Tính I
()
()
3
2
x
dx
x1x2
=



Tính I
()
()
2
dx
2x 1 4x 4x 5
=
+++


Đặt : 2x + 1 =t
dt
dx
2
=
, ta có :


+

4. Đa thức : có một nghiệm (khác bội ba)
()
32
fx ax bx cx d=+++
Tính I
3
1
dx
x1
=



Đặt x
1 = t , ta có : dx dt=
I
()()()
22
222
dt 1 t 3t 3 t 3t
dt dt
3
tt 3t 3 tt 3t 3 tt 3t 3

++ +

==
++ ++ ++

+


=

++

++




2
11
ln t ln t 3t 3 3 C
32
=
+++
( Với
3
x
tg
2
=

)
Tính I

Tính I
3
3
x
dx
x
8
=



Tính I
32
1
dx
x3x3x2
=
+

Tóm lại : Ta thờng sử dụng hai phép biến đổi :
Tử số l nghiệm của mẫu số .

Tử số l đạo hm của mẫu số .

v phân thức đợc quy về 4 dạng cơ bản sau :

{


nn
ứng với
u' u' 1
n2 dx=- +C
uun-1
n-1
u
()
{
()


22
22
ứng với
11
dx = + C
a
x+d +a x+d +a
a
, với
xdatg
+
=
()
()
xx 7 x 1 x 8
dx
xx 1 x 7 x 8
+ +
=
++


Tính I
42
dx
x10x9
=
++


HD : I
()()
(
)
(
)
()(
)
22
22 22
x9 x1
dx 1

=
+


HD :
I
()
(
)
()
44
44
x4x
1dx 1
520
xx 4 xx 4
+
++

==

Tính I
73
dx
x10x
=



HD : I

++


Tính I
()
()
432
dx
x
1 x 4x 6x 4x 9
=
+
+++


Tính I
2
4
x
dx
x
1
=



Tính I
4
4
xdx

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
13
Tính I
6
6
x
dx
x
1
=



Tính I
100
dx
3x 5x
=
+


Tính I
()
2
50
dx
x
2x 7
=
+

()
3
30
xx1
dx
x2
++
=



Đặt x 2 = t
dx dt
x
t2
=



=+

, ta có :
I
()
3
32
30 30 26 27 28 29
t2 t3
t6t13t11 1 1 1 1
dt dt 6 13 11 C

+


Chú ý :
Với loại toán ny trong cuốn Tích Phân T.Phơng đã sử dụng phơng pháp khai triển
Taylor nhng tôi cảm thấy cách lm ny không nhanh hơn lại gây nhiều phức tạp cho học sinh nên đã
không nêu ra .

3. Kĩ thuật biến đổi tử số chứa đạo hm của mẫu số .
Tính I
4
xdx
x1
=



Đặt
2
x t 2xdx dt= =
Tính I
3
4
x
dx
x
1
=
+


11
x
x
dx dx ln
1
x1
22 x x2 1
1
x
x2
x
x

+




== = =
+
xx21+
+
+

+
+



+C

x
5x 4x 5x 1

=
+


Tính I
()
2
43 2
x1
dx
x
2x 10x 2x 1
+
=
+ +



12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
14
Tính I
()
2


Tính I
42
dx
x3x4
=
+


Bình luận : Loạt bi toán ny lm tôi khá ấn tợng với phép chia cả tử số v mẫu số cho
. Quả thật tôi luôn cố gắng tìm tòi xem liệu mình có thể nghĩ ra một phơng pháp no
khác hay hơn chăng, nhng
bó tay.com . Thế mới hiểu toán học : luôn tiềm ẩn những vẻ
đẹp lm ngời ta sửng sốt.
2
x
Tính I
5
6
x
dx
x
1
=
+


Tính I
6
x

x
1
dx
x
1
+
=
+


Tính I
3
6
x
x
dx
x
1
+
=
+

HD : I
(
)
(
)
32
66
dx dx



Tính I
()( )
22
63
x1x2x1
dx
x
14x 1
++
=



HD : I
2
3
3
3
11 1
1x2 x2
1
xx x
dx d x
1
x
11
x14
x3x14

+


HD . I
() ()
()
10 9 10
10
22
10 10
x.10x 1 x
dx d x
10
3x 3x
==
++


Tính I
()
99
7
50
x
dx
2x 3
=




n
m
ax b
dx
cx d
+
=
+

, ta dựa vo cơ sở :
()
,
2
ab
cd
ax b
cx d
cx d
+

=

+

+

v phân tích biểu thức dới dấu tích phân về dạng :
I
()
2

x2 x2



== = =

+++

++


+
+

Tính I
()
()
99
101
7x 1
dx
2x 1

=
+


Tính I
()()
53


+
++ +
++ +


+

++ +


Để tránh sự đồ sộ trong tính toán ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ nh sau :
Đặt
()
2
1dt
dx
2
x3
x5
t
x5
x52 1 1t
t
x5 x5 2

=

+
+


+


=
()
6
75
t1dt
1
2t

Tính I
()()
73
dx
3x 2 3x 4
=
+


Tính I
()()
34
dx
2x 1 3x 1
=

7
dx dx
3x 12x 1 3x 1
2x 1
2x 1
==







5
4
2t 3 dt
t

=
12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang

+

Bi tập . Tìm họ nguyên hm :
1 . 2 . 3.
2
sin xdx

4
cos xdx

4
cos 3xdx

4. 5 . 6 .

2
sin 5xdx

4
sin 5xdx

24
cos x sin xdx

Công thức hạ bậc :
33
sin3x 3 sin x cos3x 3cosx
sin x ; cos x
44


=+




=++




=++






VD . Tìm họ nguyên hm : sin2x.cosxdx


[]
()
11111
sin2xcosxdx sin3x sinx dx sin3xd 3x sinxdx cos3x cosx C
26262
=+= +=
+Bi tập . Tìm họ nguyên hm :

)
()()
()()
cos x 5 x 5
dx 1 1
cotg x 5 tg x 5 dx
sin2x sin10x 2cos10 cos x 5 cos x 5 2cos10
+


==


+

++

=
(
)
()
sin x 5
1
ln C
2cos10 cos x 5

+


Bi tập :

17
Đặt t=sinx, t0;1




. Khi x=0 thì t=1, khi x=
2

thì t=1 v dt = cosxdx . Do đó :
1
3
2
22
00
1
t1
sin x.cosxdx t dt
0
33

=
==
Với loại tích phân ny học sinh có thể tự sáng tạo ra một loạt các bi toán, tôi thử đa ra
một vi phơng án :
Biết d(sinx) . cosxdx
1.

()()
10
5
sin3x cos3x dx

2
cosxdx
sin x 3sinx 2
+
+


Biết d(cosx) . sinxdx
1.
2
n
0
cos x.sinxdx


2.
()
4
*
n
0
sinx
dx n N , n 1
cos x


cos x

.
1.
()
4
3
0
tg x tgx dx

+

2.
4
3
0
sin x
dx
cos x


3.
()
()
7
4
6
0
tg3x
dx

()
2
3
4
cotg x cotgx dx


+

2.
2
5
4
cosx
dx
sin x



3.
()
()
10
8
cotg5x
dx
cos5x


4.

+

2.
2
4
cos2x
dx
1sin2x


+

3.
()
3
cos2x
dx
sinx cosx
+


4.
2cosx 3 sin x
dx
2sinx 3cosx 1

+

5.
(

3
22
1cos
dfx cosx
cos x cos x
1
+
=+=


12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
18
Nh vậy ta có thể ra một bi toán tìm nguyên hm nh sau :
()
()
3
2
sin x tgx cos x 1
dx
cos x
++


Để tăng độ khó của bi toán bạn có thể thực hiện một vi phép biến đổi ví dụ :

()
Dĩ nhiên để có một bi tìm nguyên hm nhìn đẹp mắt lại phụ thuộc vo việc chọn hm f(x) v khả năng
biến đổi lợng giác của bạn !
VD . Tôi chọn hm số : f(x) = tgx cotgx
()
()
22 2
11 4
dfx
cos x sin x sin 2x
=
, nh vậy tôi có thể ra một bi
toán nhìn
tạm đợc nh sau : Tìm họ nguyên hm :
+=
()

2007
2
tgx - cotgx
dx
sin 2x

Nếu thấy cha hi lòng ta thử biến đổi tiếp xem sao ?
Ta có :
22
cos x sin x 2cos2x
tgx =cot gx
sinx.cosx sin2x

4
0
dx
cosx



Rõ rng bi toán không xuất hiện dạng :
()
(
)
() ()
f u x u' x dx f u du=


Vậy để lm đợc bi toán, một phơng pháp ta có thể nghĩ đến l tạo ra d( u(x)) nh sau :

()
66 6
22
00 0
dsinx
dx cosxdx 1 1 sin x 1 1
ln ln
6
cosx cos x 1 sin x 2 1 sinx 2 3
0




cosx

5.
2
cos xdx
cos3x

6.
35
dx


sin xcosx
Tạo d(cosx) . sinxdx
1.
dx
sinxcosx

2.
3
dx
sin x

3.
3
2
5
4
cos


Tạo d(tgx)
2
1
dx
cos x

.
1.
4
3
0
tg xdx


2.
2
4
2
0
sin x
dx
1cosx

+

3.
()()
33
dx
sinx cosx

cotg xdx



2.
22
1
dx
sin x 2cos x

3.
()
()
10
8
cotg5x
dx
sin5x


4.
4
1
dx
sin x

5.
2n
dx
sin x


3.
dx
2sinx 5cosx 3++


4.
sinx cosx 1
dx
sinx 2cosx 3
+
++

5.
()
2
7sinx 5cosx
3sinx 4cosx

+
D. sáng tạo bi tập

Nếu đợc phép hỏi, tôi sẽ hỏi rằng bạn có cảm thấy nhàm chán khi bạn cứ suốt ngày ôm lấy một cuốn sách tham khảo và làm hết
bài tập này đến bài tập khác, mà đôi lúc bạn vẫn cảm giác rằng khả năng giải toán của mình không giỏi lên. Còn tôi đam mê môn Toán từ
khi tôi biết thế nào là sáng tạo Bạn có muốn thử xem mình có khả năng sáng tạo hay không ?
Dù khả năng sáng tạo bài tập đợc xuất phát từ những bản chất rất sơ đẳng, có thể bạn sáng tạo một bài toán mà bạn đã bắt gặp ở
một cuốn sách nào đó nhng dẫu sao nó vẫn mang dáng dấp của bạn .



2
44
0
sin4x
sin x + cos x
2.
()
2007
dx


2
44
0
sin4x
sin x + cos x
3.
()
dx


2
44
0
sin4x
sin x + cos x
2
cos

= + = = = +
)
2
Bi toán ny sẽ xuất phát từ đâu ?
Tính :
dx

+

2
44
0
sin2x cos2x
sin x + cos x i Nếu nh xuất phát từ lợng giác để tạo ra các bài toán tích phân của hàm lợng giác nghe có vẻ hiển nhiên quá, ta hãy xuất phát
từ hàm phân thức hữu tỷ xem sao ?
Tôi sẽ xuất phát từ bi toán tìm nguyên hm :
2
dx
I
x1
=


.
Tôi sẽ đặt : x=tgt
(
2



2
1
I= dx
1tgx
22
dtgx
1tgx1+tgx
hãy nhờng chỗ cho
những lời giải thông minh hơn !!!
a Bạn đang ôn thi đại học, bạn đọc khá nhiều tài liệu đôi khi bạn sẽ gặp những bài toán khó hay những lời giải dài dòng hơn bạn
bạn thấy mình đang từng ngày tiến bộ . Đôi khi bạn gặp một phơng pháp nào đó với tên gọi làm bạn hoảng hốt . Hãy dừng lại v t duy, bạn
sẽ tìm ra lời giải đáp !
Tôi đơn cử một ví dụ Khi bạn đọc tài liệu bạn thấy cụm từ tích phân liên kết có thể bạn bỏ qua vì nghĩ rằng quá khó
VD . Tính
cosxdx
E
sin x cosx
=
+


Lời giải : Xét tích phân liên kết với E là
1
sinx
Ed
sinx cosx
=
+

.
Giải hệ phơng trình suy ra :
()
()
1
1
E x ln sin x cosx C
2
1
Exlnsinxcosx
2

=+ + +




= + +


C

Bình luận : Sự đồ sộ lm bạn hoảng hốt, nhng hãy suy nghĩ xem thực chất nó cũng chỉ l một phép tách đơn
giản :
()()
()
cosx sin x cosx sin x dx
dcosx sinx
1111
E dx x ln sin x cosx C

đựơc một điều quan trọng trong sáng tạo bi tập : l muốn có một bi tập hay bạn cần kết hợp nhiều phép biến đổi v dĩ
nhiên đòi hỏi bạn phải kiên trì v một chút yếu tố
may mắn .

d Tôi thử lấy hàm số : và tách nó thành 2 kiểu khác nhau :
()
2
fx 2sinx 2sin2x 5cosx=+
2

Kiểu1
.
()
(
)
()()
22
2222 2
f x 2sin x sin2x 5cos x sin x cos x sin x 2cosx 1 sin x 2cosx 1 u=+=+++ =++ =+


12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
21

Kiểu2
.

sin x

nhng tôi khẳng định bạn sẽ có một chút băn khoăn với bi toán :

Tìm họ nguyên hm :
(
)

42
6
sinxcosx sin x + sin x + sinx + 1
I= dx
sin x - 1

Giải
(
)

42
6
sinxcosx sin x + sin x + sinx + 1
I= dx
sin x - 1
(
) ()
()
(
)
42 3 2
2

Bi toán trên
bị lộ ý tởng giải toán khi xuất hiện : nhng bi toán ny bạn hãy giải quyết dùm
42
sin x + sin x + 1
Tìm họ nguyên hm :
(
)

6
sinxcosx sinx + 1
I= dx
sin x - 1

Với ý tởng ny bạn có thể ung dung nghĩ rằng : ngời khác sẽ đau đầu vì bi toán của bạn ! Hãy thử
theo ý tởng của bạn, đảm bảo tôi sẽ
bó tay . com .vn !!!

dùng đồ của ngời khác cảm zác không thoải máinhng dùng mi mà ngời ta không bắt trả lại thì
thành của mình ! < triết lí không ? >

Đêm khuya lắm rồi, tạm chia tay với tích phân hm lợng giác ! Nhờng lại sân chơi cho các bạn ! Tìm họ nguyên hm :

66
sin4x + cos2x
dx
sin x + cos x
( Với giá dùng thử chỉ có 4 dấu = )

nghiệm thì ta xét trên (n+1) khoảng. Đa thức bậc n có n nghiệm thì đan dấu trên các khoảng, khác n nghiệm thì
mất tính đan dấu .

12
2007
bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa

ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang
22
VD1 . Tính
3
2
2
x
1dx


Nháp :
2
x
1
x10
x
1
=

=

3113113
2222 2 22
22112 11
28
x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx
3


= + += + =
VD2.
Tính
1
32
1
x
xdx




Chúng ta thờng nhầm lẫn khi xét dấu l đa thức có 2 nghiệm v đan dấu trên 3 khoảng sẽ cho kết
quả sai ! Hãy lm nh sau :

11
32 2
11
x

2
0
9x 6x 1dx+

4.
3
4
4
1cos2xdx


+

5.
2
32
2
cos x cos xdx






Tích phân từng phần

1.
Tích phân dạng : ,
()
b




=
=



. Do đó :

()
22 2
00
0
x
sin xdx x cosx 2xcosxdx 2 xcosxdx
0


= + =+




Ta sẽ tính tích phân :
0
x
cosxdx





===



Vậy
22
0
x
sin xdx 4

=


Bi tập tự luyện :
1.
2
2
0
x
cos xdx


2.
3
0
x
cosxdx


a
Pxlnxdx

Đặt dv = P(x)dx để dễ tìm v .