Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất định :
Cdx0
Cxdx
1
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
Cxdx
x
Cxdx
x
cot
sin
1
2
Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)(
C
ax
ax
a
dx
ax
,
và có miền giá trị là
ba;
thì ta có :
CxuxFdxxuxuf
)()()('.)(BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
1
0
2
1
1x
x dx
I
b)
Đổi cận :
21
10
tx
tx
Vậy :
2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Vậy :
)1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
et
t
dt
e
dxe
I
e
e
e
e
n xdxmxI cos.sin
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :
dxxxI
nm
.cos.sin
Cách làm :
Nếu
nm,
chẵn . Đặt
xt tan
Nếu
m
chẵn
n
lẻ . Đặt
xt sin
(trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 :
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t
Dạng 4 :
dx
xdxc
xbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
xdxc
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2
1
2
3
1
3
tdtt
x
dxx
I
e
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 3
Đặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A
x
xdx
I
b)
2
0
5
2
cos
x dxI
c)
4
0
6
3
tan
xdxI
Bài làm :
a) Đặt :
xdxdtxt cos1sin
Đổi cận :
1
tt
dt
x
xdx
I
b) Đặt :
xdxdtxt cossin
Đổi cận :
1
2
00
tx
tx
tt
t
dtttdttxdxI
c) Đặt :
dxxdtxt )1(tantan
2
Đổi cận :
1
4
00
tx
dut
tt
dt
t
tt
t
2
2cos2
cos
dx
x
x
IBài làm :
a) Đặt :
xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin.
222222
Đổi cận :
2
2
2
0
btx
atx
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22
22
1
2
2
2
2
Nếu
ba
Vậy :
a
x
a
xdx
b) Đặt :
xdxdtxt cossin
Đổi cận :
2
3
3
00
tx
tx
Vậy :
Đặt :
ududtut sin
2
3
cos
2
3
Đổi cận :
42
3
2
0
ut
ut
2
udu
u
udu
t
dt
ITính các tích phân sau :
a)
2
0
tan
2
tan
2
2
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
Đổi cận :
2
2
2
2
1
t
t
dt
dt
t
t
t
t
t
I
b)Đặt :
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
x
I
b)
2
0
3
2
sin.cos
xdxxI
c)
2
0
3
2sin
x
dx
I
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 6
c)
2
0
6
3cos2sin
1cossin
dx
xx
xx
ITính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :
C
ax
n
ax
dx
I
nn
I
n
2
trong đó :
04
,,,,
2
acb
Rcba
* Giai đoạn 1 :
0
,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức
cbxax
2
,
sai khác một số :
2
2
2
2
2
2
2
* Giai đoạn 2 :
Tính
n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt
tant
Dạng 3 :
dx
xQ
xP
I
n
m
Ta có :
01
01bxbxb
axaxa
xQ
xP
trong đó
phân số
xQ
xR
n
r
có
QR degdeg
Nếu :
QP degdeg
ta có các qui tắc sau :
*Qt 1:
n
n
n
n
n
xm
ax
n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b :
2
2
))()((
cx
D
cx
C
bx
B
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
2
1
2
11
2
11
2
với
0
xP
1 1
2
1
2
Vdụ 1 :
cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xP
t
22
)(
Vdụ 2 :
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
1
0
2
1
23xx
dx
I
b)
1
0
2
2
2
23xx
dx
1
1
1
21
23
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
b)
dx
xx
xx
dx
xx
dx
I
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1Tính các tích phân sau :
a)
1
0
24
1
aax
dx
I arctan
1
22
0
với
0a
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
x
x
3
4
ln2ln1ln
1
0
xx
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 8
b) Đặt :
12
22
1
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy :
dx
xx
x
I
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2
xxBạn đọc tự làm :
a)
3
2
2
1
1
1
dx
xx
d)
2
3
24
3
23
dx
xx
x
IHD:
a)
1
1
1
22
x
C
x
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
d)
22
11
23
24
0
11 dxxxdxxx
m
n
n
mBài làm :
Xét
1
0
1 dxxxI
n
m
Đặt :
dtdxdxdtxt 1
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 9
Đổi cận :
a
a
dxxfI 0Bài làm :
1)(
0
0
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét
0
a
dxxf
. Đặt
thì
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho
0a
và
xf
là hàm chẵn , liên tục và xác định trên
R
.
Chứng minh rằng :
00 tx
tx
Vậy :
0 0
0
111
t
t
tx
a
tfa
dt
a
tf
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 10
Thế vào (1) ta được :
0
0
0
111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
. Đặt
dtdxdxdtxt
Đổi cận :
0
0
tx
tx
Vậy :
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
xf
liên tục trên
ba,
và
xfxbaf
. Thì ta luôn có :
b
a
dxxf
ba
dxxfx
0
2
.Cho hàm số
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
0
0
Vậy ta cần chứng minh
a Ta
T
dxxfdxxf
0
Xét
a
dxxf
0
. Đặt
dxdtTxt
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 11
Đổi cận :
R
và có chu kì
T
, thì ta luôn
có :
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2Bạn đọc tự làm :
a)
1
0
6
1
1 dxxxI
b)
2
4
cos1
sin.
dx
x
xx
I
e)
2
2
2
5
21
sin
dx
xx
I
x
f)
2009
0
8
2cos1Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số
u
và
v
có đạo hàm liên tục trên đoạn
ba,
, thì ta có :
b
a
b
a
b
a
vduuvu dv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
2
2
cos.
xdxxI
c)
e
xdxI
1
3
lnBài làm :
a) Đặt :
xx
evdxedv
dxduxu
Vậy :
11
1
2
0
2
0
2
2
0
1
0
1
xdxxxdxxxxdxexI
x
Ta đi tính tích phân
2
0
sin.
xdxx
Đặt :
2
1
0
1
dxexI
x
c) Đặt :
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
Vậy :
1ln.ln.ln
01
1
x
x
I
c)
e
dxxI
1
3
lncosBài làm :
a) Đặt :
xvxdxdv
dxedueu
xx
cossin
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 13
Vậy :
0
0
0
sin.sin.cos.
Thế vào (1) ta được :
2
1
12
11
e
IeI
b) Đặt :
xvdx
x
xxdxxxdx
x
x
I
c) Đặt :
xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
Vậy :
JedxxxxdxxI
e
Vậy :
3
1
1
1
3
0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e
Thế vào (1) ta được :
2
1
12
33
e
IeI
2
2
3
ln
1
ln
1
e
dx
xx
I
d)
1
0
2
4
1ln dxxxI
e)
3
4
5
tanln.sin
2
0
7
cos1
sin1
dxe
x
x
I
xGia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 14
Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
Muốn tính
b
a
dxxfI
ta đi xét dấu
xf
trên đoạn
ba,
Tính các tích phân sau :
a)
4
1
1
2dxxI
b)
2
0
2
1
32 dxxxIBài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
Vậy :
4
x
xx
xdxxdxxdxxI
2
5
4288
2
1
224
b) Lập bảng xét dấu
2,0,32
2
Bài làm :
x
a
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
4
3
3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
2
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a
Nếu
10 a
.
a
a
a
dxaxxdxaxxdxaxxI
0
1
22
1
0
1a
.
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
aTính : a)
3
,1min
2
1
2
0
3
2
1
1
0
2
2
0
2
1
x
x
dxdxxdxxI
b) Xét hiệu số :
3,01 xxx
tương tự như trên ta có .
6
55
2
2
1
3,min dxxxI
b)
2
0
2
cos,sinmax
dxxxI
c)
4
3
0
3
cossin
dxxxI
d)
,
ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
2
2
2
1
2
2
2
1
4
0
0
1
2
4
0
0
2
2
bax
a
cbxax
a
x
t
tt
dt
cbxaxx
dx
1
22Một số cách đặt thường gặp :
dxxaxS
22
,
đặt
ttax 0cos.
dxxaxS
22
đặt
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
Bài làm :
2
3
2
3
2
374
xt
t
dt
xx
dx
Đặt :
duudtut 1tan3tan3
2
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 17
Ta có
74
2
3
1
1
3
1
sin
3
1
22Tính : a)
1
2
xx
xd x
I
b)
12
2
4
3
2
1
1
x
t
dt
t
t
x
xdx
xx
xdx
Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I
x
t
2
b)Đặt :
2
1
t
dt
dx
t
x
C
t
t
dt
xxx
dx
I
t
x
3
11 xx
dx
I
b)
11 xx
dx
IBài làm :
a)Đặt :
dxdttxtxt
56
6
611
Vậy :
11ln6161312
1ln6632
663
23
b)
dx
x
x
dxxdx
x
Xét
dx
x
x
1
Đặt :
dt
t
t
dx
t
x
x
x
t
2
2
2
1
2
1
11
Tìm các nguyên hàm sau :
a)
dxxxI 9.
22
b)
dxxxI 4.16
22Bài làm :
a)Đặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
9
2
9
9
t
I
2
4
4
5
3
5
2
4
2
2
22
2
2
1
94
6561
9ln162
4
9
16
1
4
6561
ln162
416
16561162
16
1
81
16
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
4
2
2
4
2
4
4
Tính các tích phân sau :
a)
1
2
1
2
1
dxxxI
b)
8
3
2
1
dx
xx
dx
I
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 19
2
1
0
2
1
tx
tx
Vậy :
2
0
2
0
2
0
2
1
2sin
2
1
1
8
1
2cos1
23
tx
tx
Vậy :
3
2
2
3
2
2
8
3
2
1
2
1
2
1
t
4
c)
3
2
3
4x
dx
I
d)
dxxI
2
4
1
d)
dx
x
x
I
11
dxxgdxxfbaxxgxf
b
a
b
a
,
16
000
28
1
abMdxxfabmbaxxfm
b
a
,
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
1
0
4
1
1 dxxx
b)
2
1
15
2
2
1
2
x
xx
xx
Vậy :
4
1
4
1
1
1
0
1
0
dxdxxx
(đpcm)
b) Xét hàm số :
2,1
1
2
2
x
x
xf
x
x
xf
Ta có :
5
2
2
2
1
1
f
f
Vậy :
dx
x
x
dxdx
x
x
dx
x
x
x
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
1,02111111
22
xxxxx
Vậy :
01211
1
0
Bài làm :
e
exx
x
1
13,1
3
1
2
3
1
2
1
1
1
sin.
dx
xe
3
3
4
1
tx
tx
Do đó :
12
1tan
1tan
3
4
3
4
2
2
4
3
3
6
dx
x
x
c)
8
2
4
6
3
6
32
xx
dx
d
xfxf &
liên tục trên đoạn
ba,
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường là :
1
1
1
sin.
22
xex
xe
x
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 22
dxxfV
b
a
Nếu hàm số
xf
liên tục trên
ba,
và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Ox
xfy
bxax ,
Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :
1
1
iix
ii
xx
xx
Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng :
n
i
n
n
i
1
1
lim dxxf
n
i
f
n
n
i
n
4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh
xfy
thì độ dài đường cung nó được tính
như sau :
dxyl
b
a
2
1
với
ba,
là hoành độ các điểm đầu cung .
tdtRdxtRx cossin
Đổi cận :
2
00
tRx
tx
2
00
tRx
tx
Vậy :
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn
Trang 24
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol
2
xy
, phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm
A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng.
41 xky
Phương trình hoành độ giao điểm .
0441
22
kkxxxkx
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử
21
xx
Vậy diện tích là :
kxxkxxxxxx
xkx
kx
dxxxkS
x
x
x
x
Với :
6
1
4
2
1
44
3
1
164
22
222
kkkk
kkkkkkS
34122
6
1
164
0a
Xét :
0
0
0
22
2
a
xay
ayxyx
a
0
0
2
Với
0 ayx
ta được :
0
0
2
2
2
a
a
x
y
axy
a
xay
yax
Vậy diện tích cần tính là :
d vtta
a
Bạn đọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a)
y
yx
yx
d)
0,
1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
Hình vẽ tương ứng ↓↓↓
Copyright: Tài liệu đại học ©