*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Chuyên đề Hàm số
Chuyên đề 1: Cực trị của hàm Số
A. Tóm tắt lý thuyết.
1. Điều kiện để hàm số tồn tại cực trị.
Hàm số y = f(x) có cực trị y = f(x) có cực đại và cực tiểu f(x) = 0 có nghiệm.
Chỳ ý: * Nu f'(x
0
) = 0 v f"(x
0
) = 0 thỡ ta khụng tỡm c cc tr ca hs y = f(x) theo
du hiu II. Khi ú ta phi tỡm cc tr ca hm s theo du hiu I ch khụng c kt
lun hm s khụng cú cu tr.
* Du hiu II thng tỡm cc tr nhng hm s m vic xột du o hm cp 1 quỏ
phc tp, chng hn nh hm lng giỏc.
B. Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3.
Bài 1: Tìm m để hàm số y =
3
1
x
3
+ mx
2
+ (m + 6)x - (2m + 1) có cực đại và cực tiểu.
Bài 2: Tìm m để hàm số y = (m + 2)x
3
+ 3x
2
+ mx + 5 có cực đại và cực tiểu.
Bài 3: Chứng minh rằng

< -1 < x
2
Bài 5: Tìm m để hàm số y =
3
1
x
3
+ (m + 3)x
2
+ 4(m + 3)x + (m
2
-m) đạt cực trị x
1
; x
2
thoả mãn điều kiện -1 <x
1
< x
2
Bài 6: Chứng minh rằng

m < n < p, hàm số y = (x - m)(x - n) x - p) đạt cực trị tại x
1
; x
2
với m < x
1
< n < x
2
< p.

+ 3(m
2
- 1)x + m đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 10: Tìm m để f(x) = x
3
- 3mx
2
+ (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 11: Tìm m để f(x) = x
3
+ 3mx
2
- (m - 1)x - 1 không có cực trị.
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
1
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số
( )
xfy =
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.
− Tính đạo hàm và giá trị

0 0
y k x x y= − +
.
Chú ý: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
, khi đó:
− Nếu
( )
// :d d y ax b∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc k = a.
− Nếu
( )
:d d y ax b⊥ ∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc
1
k
a
= −
.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( ) ( )
;
A A
A x y C∉
.
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
:
A A
d y k x x y= − +


=


=


.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
2
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Chuyên đề Tiếp tuyến.
A. Hớng dẫn cách giải
1: Viết phơng trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Phơng pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
)

(C): y = f(x)
có hệ số góc là f(x
0
).
Phơng trình tiếp tuyến tại M
0
(x


(x
0
; x
1
;x
2
; x
i
x
n
)
Phơng trình tiếp tuyến tại x
i
là y = k(x- x
i
) + f(x
i
)
Cách 2: Phơng pháp điều kiện nghiệm kép
Xét đờng thẳng với hệ số góc k với phơng trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc với
(C): y = f(x) phơng trình kx + m = f(x) (*) có nghiệm kép. Giải phơng trình (*)
với = o => các giá trị của m => phơng trình tiếp tuyến.
Chú ý: Vì điều kiện (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ điều kiện
f(x) = g(x) có nghiệm chứ không phải là điều kiện f(x) = g(x) có nghiệm
f(x) = g(x) kép nên cách 2 chỉ sử dụng đợc cho các hàm số mà phơng trình tơng giao

=>
ka
ak
+

1
= tg

với




{ }
0000
75; 45;30,15
4. Phơng trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trớc.
Phơng pháp tìm tiếp điểm:
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc với (C): y = f(x) tại tiếp điểm có hoành
độ x
i
suy ra phơng trình tiếp tuyến có dạng (t) y = f(x
i
)(x - x
i
) + f(x
i
). Do A

(t) nên b =

là y = f(x
i
)(x - x
i
) + f(x
i
).
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
3
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Cách 2: Đờng thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phơng trình y = k(x-a) + b tiếp xúc với
đồ thị (C): y = f(x) Hệ phơng trình
f(x) = k(x - a) + b có nghiệm => f(x) = f(x) (x - a) + b. Giải phơng trình ta tìm
f(x) = k đợc x

(x
0
; x
1
;x
2
; x
i
x
n
).
Phơng trình tiếp tuyến tại x = x
i
là y = f(x

HA
Bài tập chuyên đề tiếp tuyến 2.
Bài 1: Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) = x
3
- 3x + 5 khi biết
a, Hoành độ của tiếp điểm là x
1
= -1; x
2
= 2 ; x
3
=
3
b, Tung độ của các tiếp điểm là y
1
= 5; y
2
= 3 ; y
3
= 7
Bài 2. Cho (C): y = f(x) = 2x
3
- 3x
2
+ 9x - 4. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các
giao điểm của (C) với các đồ thị sau:
a, Đờng thẳng (d) y = 7x + 4
b, Parabol (p): y = -x
2
+ 8x - 3

x +
3
2
.
Bài 6: Cho đồ thị (C) y = x
3
+ 3x
2
- 9x + 5
Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 7: Cho đồ thị (C) y = x
3
- 3x + 7
a, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y = 6x - 1
b, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với y =
2
9
1
+

x
c, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y = 2x + 3 góc 45
0
.
Bài 8: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = -x
3
+ 3x biết tiếp tuyến đó song song với y = -9x + 1.
b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x
3
- 3x

y =
2
3
1
+

x
c, Viết pt tiếp tuyến tạo với y =
5
2
1
+

x
một góc 45
0
Bài 11: Cho đồ thị (C) y =
3
1
x
3
- 2x
2
+ x - 4.
a, Viết pt tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 60
0
b, Viết pt tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y =
3
2
1

- 12x + 12. Tìm trên đờng thẳng y = - 4 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp
tuyến đến đồ thị (C) .
Bài 14: Viết pt tiếp tuyến đi qua A(
1;
3
2

) đến y = x
3
- 3x + 1
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua B(2; 0) đến y = x
3
- x - 6.
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua C(3; 0) đến y = -x
3
+ 9x
+ Cho đồ thị (C) y = x
3
+ ax
2
+ bx + c. Tìm các điểm M

(C) để có thể kẻ đợc đúng 1 tiếp
tuyến với đồ thị.
+ Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua D(-2; 5) đến đồ thị (C) y = x
3
- 9x
2
+ 17x


-1
Bài 17: Cho (C): y = 2x
3
+ 3x
2
- 12x - 1. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M đi qua gốc toạ độ.
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
6
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Bài 18: Cho (C): y =
3
1
x
3
- x +
3
2
. Tìm trên (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc
với đờng thẳng y =
3
2
3
1
+

x
.
Bài 19: Cho (C): y =

Bài 23: Cho (P) y = 2x
2
+ x - 3. Tìm những điểm trên trục tung Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ
đợc 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau một góc 45
0
Bài 24: Cho (C): y =
x
xx 23
2
+
. Tìm trên đờng thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ
đợc 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Bài 25: Cho (C) y = x
3
+ 3x
2
. Tìm tất cả cá điểm trên trục hoành để từ đó vẽ đợc đúng 3 tiếp
tuyến với đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 26: Cho (C): y =
mx
xmx
+
+
4
34
2
, Với giá trị nào của m thì tếp tuyến vủa đồ thị tại điểm có
hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận.
Bài 27: Cho (H): y =
1

giác có diện tích không đổi.
Bài 29: Cho (C): y =
1
23


x
x
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc 45
0
.
Bài 30: Cho (C): y =
12
54
+

x
x
. Viết pt tiếp tuyến vủa (C) song song với y = 3x + 2.
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
7
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Bài 31: Cho (C): y =
45
32


x
x

43

+
x
x
Bài 35: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( -6; 5) đến (C): y =
2
2

+
x
x
Bài 36: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C): y =
1x
x
đi qua giao điểm I của 2 đờng
tiệm cận.
Bài 37: Viết phơng trình tiếp tuyến từ O(0;0) đến (C): y =
2
)1(3

+
x
x
Bài 38: Cho (C): y =
1
33
2

+

.
ii. Ti im cú tung y = 3.
iii. Tip tuyn song song vi ng thng:
1
: 24 2009 0d x y + =
.
iv. Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng:
2
: 24 2009 0d x y+ + =
.
Bài 42: Cho hm s
2
3
1
x x
y
x
+
=
+
cú th l (C).
a. Kho sỏt v v th (C) ca hm s trờn.
b. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C):
i. Ti giao im ca (C) vi trc tung.
ii. Ti giao im ca (C) vi trng honh.
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
8
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−1).

Bµi 45: Cho hàm số:
2
1
x
y
x
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm M
∈
(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M
và tâm đối xứng của (C).
Bµi 46: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt d: y = – x + 1 tại ba
điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.
Bµi 47: Cho hàm số
2
1
2

song song với đường thẳng
5 0x y− =
ĐS: m=4.
Bµi 49: Cho hàm số
( )
3 2
3 3
m
y x mx x m C
= − − +
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
Bµi 50: Cho hàm số
( )
( )
4 3 2
1
m
y x x m x x m C
= + + − − −
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục
hoành.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng

cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
Bµi 54: Cho hàm số y = 4x
3
– 6x
2
+ 1 (1) (ĐH
Khối−B 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
điểm M(–1;–9).
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô’
( )
xfy =
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
− Nghiệm của phương trình
( )
' 0f x =
là hoành độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=

− Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
'
0
0
y
a
≠


⇔

∆ >


.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y
⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=

CĐ CT
y y
y y
+ <

⇔

<

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y
⇔ =
.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
10
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d
= + + +
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2
điểm cực trị.

luôn có có cực trị với mọi m. Tìm
m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
2. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1
3
y x mx m x= − + + −
. Định m để:
a. Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
c. Có hai cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
3. Định m để hàm số
( )
3 2 2 2
3 1 2 4y x mx m x b ac
= − + − + −
đạt cực đại tại x = 2.
4. Cho hàm số y = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4.

x m
+ + −
=
−
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai
phía đối với trục tung.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
11
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
9. Cho hàm số
( )
( )
3 2
1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C= − + − − +
. Định m để hàm số có hai điểm
cực trị cùng dương.
10.Cho hàm số
( )
2 2
2 1 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐHKhối−B/2002)
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN − NGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô
( )
xfy =
có tập xác định là miền D.
− f(x) đồng biến trên D
( )
Dxxf
∈∀≥⇔
,0'
.
− f(x) nghịch biến trên D
( )
Dxxf
∈∀≤⇔
,0'
.
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:
( )
2
f x ax bx c= + +
.
1. Nếu
0∆ <
thì f(x) luôn cùng dấu với a.
2. Nếu
0∆ =
thì f(x) có nghiệm

<

*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
∆ >


< < ⇔ >


>

*
1 2
0 0x x P< < ⇔ <
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
12
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
1. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 1 1y x m x m x= − + + + +
. Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.

2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
. Định m để hàm số nghịch biến trên
[
)
+∞;1
.
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):
( ) ( )
2 2
B A B A
AB x x y y
= − + −
.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
và
điểm M(x
0
;y
0

x
C y
x
+
=
−
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách
đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
3. Cho hàm số
( )
2
1
:
1
x x
C y
x
− +
=
−
. Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2
tiệm cận là nhỏ nhất.
4. Cho hàm số
( )
2 2
:
1
x
C y
x

−
.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
13
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ
nhất.
b. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ
nhất.
7. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
1
y mx
x
= +
(*) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =
1
4
.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến
tiệm cận xiên bằng
1
2
. ĐS: m=1.
Dạng 5: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH

= − − − +
. Chứng minh rằng
( )
m
C
luôn đi
qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
2. Cho hàm số
( )
( )
2
2 6 4
:
2
m
x m x
C y
mx
+ − +
=
+
. Chứng minh rằng đồ thị
( )
m
C
luôn đi qua một
điểm cố định khi m thay đổi.
3. Cho hàm số
( )
( ) ( )

y f x=
có
( ) ( )
f x f x− =
,
x D∀ ∈
nên đây là hàm số
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
14
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
trục Ox và lấy đối xứng phần
phía dưới trục Ox lên trên.
chẵn do đó có đồ thị đối
xứng qua trục tung Oy.
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C)
f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C')
f(x)=abs(x)^3- 2x^2-0.5
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C'')
Mét sè bµi tËp

C y
x
+ +
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
3 3
1
x x
m
x
+ +
=
+
.
3. Cho hàm số
( )
2
4
:
1
x x
C y
x
−
=
−

= − + −
.
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12x x x m
− + =
. (ĐH
KA−2006
Dạng 7: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
15
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Điểm
( )
0 0
;I x y
là tâm đối xứng của đồ thị
( ) ( )
:C y f x=

⇔
Tồn tại hai điểm M(x;y) và
M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:
( ) ( )
0
0
' 2
' 2

⇔
( )
( )
0 0
2 2f x y f x x
= − −
.
1. Cho hàm số
2
2 2 2
2 3
x x m
y
x
+ + +
=
+
có đồ thị
( )
m
C
.
Tìm giá trị của m để
( )
m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
2. Cho hàm số
( )
2 2 2

⇒ … m>0.
4. Cho hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x
= − + + −
có đồ thị
( )
C
. Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng
nhau qua trục tung.
5. Cho hàm số
( )
3 2
1y x ax bx c
= + + +
. Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng
là I(0;1) và đi qua điểm M(1;−1).
6. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4 (1) (ĐH Khối D−2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều
cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn

HA
(d) là tiệm cận của (C)
( )( )
0lim =⇔
∈
∞→
CM
M
MH
2. Cách xác định tiệm cận
a. Tiệm cận đứng:
( ) ( )
0
:lim
0
xxdxf
xx
=⇒∞=
→
.
b. Tiệm cận ngang:
( ) ( )
00
:lim yydyxf
x
=⇒=
∞→
.
c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=
λ


−
m
n
+TCĐ:
( )
m
n
xdy
m
n
x
−=⇒∞=
−→
:lim
+TCN:
( )
m
a
yd
m
a
y
x
=⇒=
∞→
:lim
f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t )=t

nmx
A
x
nmx
cbxax
y
+
++=
+
++
=
µλ
2
+TXĐ: D= R\






−
m
n
+TCĐ:
( )
m
n
xdy
m
n

-1
1
2
3
x
y
µλ
+=
xy
m
n
x
−=
I
1. Cho hàm số
( )
( )
2 2
3 2 2
1
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
, với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
b. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45

có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của
hàm số này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định.
4. Cho hàm số
2
2 3 2
( )
1
x x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C).
a. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường
đường tiệm cận là một số không đổi.
b. Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất.
5. Cho hàm số
2
2 2
( )
1
x mx
y f x
x
+ −
= =
−
có đồ thị (C
m


.
7. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm
cận nhỏ nhất.
8. Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (H).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (H) tại giao điểm với trục tung.
c. Tìm những điểm N (x
N
>1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn

+ 1.
c: (C): y = - x
5
+ 10x
3
- 20x
2
+ 6x + 7.
d: (C): y =
22
3
3ax
x
+
với a > 0.
e; (C): y = x
3
- 6x
2
+ 12x + 1
g: (C): y = 3x
5
- 5x
4
+ 7x - 2.
h: (C): y =
45
32

+

+ 3mx
2
+ 4 có điểm uấn U(-1; 2).
+ Tìm a; b để (C): y = ax
3
+ bx
2
+ x + 2 có điểm uấn U(1; -1)
+ Tìm m để (C): y = x
3
+
m
x
2
3
+ 1 có điểm uấn U(-1; 3)
+ Tìm a, b để (C): x
2
y + ax + by = o có điểm uấn U(2;
2
5
)
Chứng minh đồ thị có 3 điểm uấn thẳng hàng, viết pt đờng thẳng.
Bài 1: CMR (C): y =
1
12
2
++
+
xx

Chuyên đề khảo sát hàm số
Tuyển tập các bài khảo sát thi đại học qua các năm 2005 - 2009
Bài 1: ĐH Khối A/ 2009.
Cho hàm số y =
32
2
+
+
x
x
. a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b, Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung
tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O. (y = -x - 2)
Bài 2: ĐH khối B/2009.
Cho hàm số y = 2x
4
- 4x
2
. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b, Với giá trị nào của m thì phơng trình x
2
|x
2
- 2| = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Bài 3: ĐH khối D/2009
Cho hàm số y = x
4
- 3(m+2)x
2
+ 3m. có đồ thị là (Cm)

+ 4 (1)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b, Chứng minh rằng mọi đờng thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k>3) đều cắt đồ
thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I;A; B đồng thời I là trung điểm của AB.
Bài 7: ĐH khối A/2007
Cho hàm số y =
2
4)1(2
22
+
++++
x
mmmx
(1), m là tham số
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1.
b, Tìm m để hàm số (10 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các cực trị của đồ thị hàm số cùng
với gốc toạ độ O tạo thành 1 tam giác vuông tại O.
Bài 8: ĐH khối B/2007
Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
- 1)x - 3m
2
- 1. (1) m là tham số
a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1.
b, Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều
gốc toạ độ O.

1
2
+
+
x
xx
. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đt hàm số.
Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)
Bài 12: ĐH khối D/2006
Cho hàm số (C): y = x
3
- 3x + 2.
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b, Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đờng thẳng (d)
cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Bài 13: ĐH khối A/2005.
Cho (Cm) y = mx +
x
1
(m là tham số)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =
4
1
b, Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên của (Cm)
là
2
1
Bài 14: ĐH khối B/2005
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y =
1

= k ( x - x
0
)
Trong đó : x
0
: hoành độ tiếp điểm
y
0
: tung độ tiếp điểm và y
0
=f(x
0
)
k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f
'
(x
0
)
Áp dụng:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
33
3
+−= xxy
tại điểm uốn của nó
`b. Dạng 2:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k
cho trước
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Gọi
0 0


k a
∆
=
Đònh lý 2: Nếu đường thẳng (
∆
) đi qua hai điểm
B A B
( ; ) và B(x ; ) với x x
A A B
A x y y ≠
thì
hệ số góc của (
∆
) là :

B A
B A
y y
k
x x
∆
−
=
−
Đònh lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng
1 2
( ) và ( )∆ ∆
. Khi đó:


Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
xy 3:)( −=∆
c. Dạng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua
điểm A(x
A
;y
A
)
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (
∆
) qua A và có hệ số
góc là k bởi công thức:

( ) ( )
A A A A
y y k x x y k x x y− = − ⇔ = − +
(*)
Bước 2: Đònh k để (
∆
) tiếp xúc với (C). Ta có:

A
'
f(x)=k(x-x )
tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)
f ( )
A
y

++= xxy

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)
Ví dụ 2: Cho đường cong (C):
2 5
2
x
y
x
−
=
−
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0).
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
của đồ thò (C) của hàm số
xxxy 32
3
1
23
+−=
tại
điểm uốn và
chứng minh rằng
∆
là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 2: Cho đường cong (C):
2
1

x x
y
x
+ +
=
+
Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên
của (C).
Bài 5: Cho hàm số
1
1
2
−
−+
=
x
xx
y
(C)
Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thò (C) vuông
góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
Bài 6: Cho hàm số
3
1
23
1
23
++= x
m

2
):y=g(x)
Dạng 1 : Bằng đồ thò hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = m
(*)
Phương pháp:
Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thò:
( ): ( ) : (C) là đồ thò cố đònh
( ): : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox
và cắt Oy tại M(0;m)
C y f x
y m
• =
• ∆ = ∆
Bước 2: Vẽ (C) và (
∆
) lên cùng một hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (
∆
) và (C)
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

Minh họa :
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
25
y
x
)(:)( xfyC
=
);0( m
1