GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 1
CHUYÊN ĐỀ 1
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K.
a) f được gọi là đồng biến trên K nếu:
1 2 1 2 1 2
x , x K , x < x f(x ) < f(x )
b) f được gọi là nghịch biến trên K nếu:
1 2 1 2 1 2
x , x K , x < x f(x ) > f(x )
2. Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên I thì:
f'(x) 0, x K
b) Nếu f nghịch biến trên I thì:
f'(x) 0, x K
3. Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu
f'(x) 0, x I
(i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
xác định.
-Lập bảng biến thiên.
-Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
B. BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
PP:
-Tìm TXĐ của hàm số.
-Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x
i
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
-Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
-Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
BÀI TÂP
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:
2
3 2 4 2
3 2 x 2x + 3
) 2x + 3x + 1 b) y = 2 3 ) )
1 1
x
a y x x c y d y
x x
và nghịch biến trên khoảng
1
;1
2
.
b)Hàm số
2
20
y x x
nghịch biến trên khoảng
; 4
và đồng biến trên
khoảng
5;
.
Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
2x + 3x - 1
b) y =
3 2
-x + 2x - x + 1
c) y =
3 2
x - 3x + 9x + 1
d) y =
3 2
-x + 2x - 5x + 2
Bài 7. Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) y =
4 2
x - 2x + 5
b) y =
2 2
x (2 - x )
c) y =
4
2
x
+ x - 3
4
d) y =
4 2
-x - x + 1
x
b) y = x -
1
x
Bài 9. Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) y =
2
x - 2x + 3
b) y =
x + 1
x - 1
c) y =
2
x - 4
d) y =
2
x 1 - x
DẠNG 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SÔ
PP:
Sử dụng các kiến thức sau đây:
1.Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 3
Nếu
0
( ) 0,
0
a
f x x R
3.So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2
( )
g x ax bx c
với số 0:
1 2
0
0 0
0
x x P
4.Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước
sau:
( ) ( ), ax ( ) ( )
( ) ( ), ax ( ) ( )
x K
x K
f x g m x K m f x g m
f x g m x K m f x g m
Giả sử tồn tại
min ( )
x K
f x
( ) ( ), min ( ) ( )
( ) ( ), min ( ) ( )
x K
x K
f x g m x K f x g m
f x g m x K f x g m
2
a
m
m
b. Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 4
3 0
( ô )
' 6 9 0
a
v nghiem
m
y x
2
2
2 1 0,
0
' 0
0
0 1
mx mx x
a m
m m
m
m
Bài 4
Cho hàm số
3 2
2 ( 1) 3
y x x m x m
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R.
2
' 3 4 1
y x x m
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
2
3 4 1 0,
3 0
' 3 7 0
Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
2
2
3 2 0,
3 0
3 0
0 3
x mx m x
a
m m
m
Vậy: Với
0 3
m
m m
Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
Bài 7
Cho hàm số
3 2
1
( 1) 2( 1) 2
3
y x m x m x
. Tìm m để hàm số luôn tăng trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 2( 1)
y x m x m
Hàm số luôn tăng trên R khi
' 0,
y x
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
2
3
' (sin cos ) sin 2
4
y x m m x m
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 6
2
3
(sin cos ) sin2 0,
4
1 0
1 2sin 0
1 2sin 0
2 2 2
6 6
12 12
x m m x m x
a
m
TXĐ: D = R
2
' (1 ) 4(2 ) 4 2
y m x m x m
Trường hợp 1:
1
1 ' 4 2 0
2
m y x x
nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
1
m
Hàm số luôn giảm khi
2
1 0
1
2 3
2 3
' 2 10 12 0
a m
m
m
m
m m
0 ' 6 0
m y
m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+
5 ' 60 6
m y x
m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
2
5 0
m m
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
2 2
3( 5 ) 12 6 0,
m m x mx x
2
2
5 0
' 2 10 0
0 5
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 7
Lời giải:
TXĐ:
\ 3
D R m
2
2
3 2
'
( 3)
m m
y
x m
Hàm số luôn đồng biến khi
' 0, 3
y x m
2
3 2 0
1 2
( 1)
x x m m
y
x
Hàm số đồng biến trên tập xác định khi
' 0, 1
y x
2 2
2
2 2
2 2 0, 1
1 0
3 0
( 1) 2( 1) 2 0
1 13 1 13
2 2
x x m m x
a
m m
m m
m m
x m
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi
' 0,
y x m
0
0
m
m
Bài 14
Cho hàm số
2 2
( 2) 2 2
1
mx m x m m
y
x
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng
khoảng xác định của nó
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi
' 0, 1
y x
2 2
3 2
2 2
2 3 0, 1
0
' 2 0
1 2 .1 3 0
0
2 0
0, 6
0
mx mx m m x
a m
m m
m m m m
m
m
m m
m
\
D R m
2 2 3 2
2
( 1) 2( ) 2
'
( )
m x m m x m m
y
x m
Trường hợp 1:
2
2
1 ' 0, 1
1
m y x
x
m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
1
m
Nâng cao
Bài 16
Định m để hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
đồng biến trong khoảng
(2; )
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 9
Lời giải:
TXĐ: D = R
x x x x
3 6
'( ) 0
3 6
x
g x
x
Bảng xét dấu
x
3 6
2
3 6
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng
;0
Lời giải
TXĐ: D = R
2
' 3 6
y x x m
Hàm số đồng biến trên
;0
khi
' 0, ( ,0)
y x
2
2
( ,0)
3 6 0, ( ,0)
3 6 ( ), ( ,0)
min ( )
x x m x
m x x g x x
0;2
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 10
Lời giải
TXĐ: D = R
2
' 3 6
y x x m
Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi
' 0, (0,2)
y x
2
2
(0,2)
3 6 0, (0,2)
3 6 ( ), (0,2)
max ( )
x x m x
m x x g x x
m g x
2;
Lời giải
TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 3( 2)
y mx m x m
Trường hợp 1:
0 ' 2 6 0 3
m y x x
nên không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0
m
Hàm số đồng biến trên
2;
khi
' 0, [2, )
y x
x x
Vẽ bảng biến thiên ta được
[2, )
2
max ( ) (2)
3
m g x g
Bài 20
Tìm m để hàm số
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
đồng biến trên (0; 3)
Lời giải:
TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 3
y x m x m
x
g(x) là hàm số đồng biến trên (0; 3)
12
(0) ( ) (3) 3 ( )
7
g g x g g x
Vậy điều kiện (*) được thỏa khi
12
7
m
Bài 21
Tìm m để hàm số
3 2
1 1
(1 3 ) (2 1)
3 3
y mx m x m x
nghịch biến trên [1; 5]
Lời giải
2
[1;5]
ax ( )
m m g x
Ta có:
2
2 2
1 21
2( 5)
2
'( ) 0
( 6 2)
1 21
2
x
x x
g x
x x
x
2
2
2 7
0 1
1
mx mx
y x
x
2 2
2 7 0 2 7 1
mx mx m x x x
2
7
1
2
u x m x
x x
1
7
Min 1
3
x
m u x u
Bài 23
Tìm m để hàm số
2
(1 ) 2
2 3
mx m x m
y
x
đồng biến trên
4;
Lời giải
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 12
2
2
4;
2 6 3 0, 4;
3
( ), 4;
2 6 1
ax ( )
x
mx mx m x
m g x x
x x
m m g x
Ta có:
mx
y
x m
. Với giá trị nào của m thì hs nghịch biến trên (
;1)
Giải:
Ta có
2
,
2
4
( ,1)
( )
m
y vs x
x m
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
,
4 0
0, ( ,1)
y
x
nghịch biến trong khoảng
1
;
2
Lời giải
TXĐ:
1
\
2
D R
2
2
4 4 3 2
'
(2 1)
2
1
;
2
3 1
2 2 ( ), ;
2 2
max ( )
m x x g x x
m g x
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 13
Ta có:
1
'( ) 4 2 0, ;
2
g x x x
2
' 3 6 1
y x x m
TH:
0
không thỏa mãn
TH:
0
g(x) có hai nghiệm.
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)
' 0
y
và
1 2
1 1
x x
( 1) 0
(1) 0
af
af
thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1).
Bài 27 Định m để hàm số
3 2 2
( 1) (2 3 2)
y x m x m m x
tăng trên
(2; )
D=R
2 2
' 3 2( 1) (2 3 2)
y x m x m m
Hàm số tăng trên
(2; )
' 0
y
và
1 2
2
x x
' 0
7 7 1 0
7 7 1 0
3( 2 6) 0
2( 1)
2
3.2
m m
m m
m m
m
Bài 28 Định m để hàm số
3 2
3
y x x mx m
nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng
1.
D=R
2
' 3 6
y x x m
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
' 0
y
và
1 2
1
x x
2
9 3 0
3
3
4 4 1
1
x mx m
y
x m
(C
m
). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(0; )
Lời giải
TXĐ:
\ 1
D R m
2 2
2
2 4( 1) 2
'
( 1)
x m x m
y
x m
2
1 2
0 0 0
0 0 2(1 ) 0 1 2
0
2
2 2
0
2
m m
x x S x x m m m
P x x
m
m m
luôn đồng biến trên R ?
ĐS:
1
2
Bài 4. Cho hàm số
. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của
nó.
ĐS:
3
2
Bài 5. Cho hàm số
12
. Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với mọi m.
Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x
3
– 2x
2
+ mx – 4 đồng biến trên khoảng
.
ĐS:
3 3
2 2
12 12
2 2
( ) 2 4( 1) 2 0, (0; )
g x x m x m x
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 15
Bài 8. Cho hàm số
2 0 2 0
1 1
x y m x y m
x xy xy x
.
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
0
1
xy
x
f x
có 2 nghiệm phân biệt b
2
3ac > 0
*) Hàm số có cực đại cực tiểu tại điểm tới hạn khi tại điểm đó
,
y
đổi dấu
PP:
Cách 1:
- Tính đạo hàm y
’
= f
’
(x). Tìm các điểm tới hạn x
i
:
- Lập bảng xét dấu của f
’
(x)
- Tại mỗi điểm x
i
mà qua đó nếu:
a) f
’
(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó
b) f
’
f x
- Dựa vào đấu của
i
f x
suy ra tính chất cực trị của điểm
i
x
Chú ý: Cách 2 chỉ sử dung khi xét dấu của
,
y
khó hoặc để thử xem điểm
i
x
có là điểm cực
trị hay ko
Chú ý: Giá trị cực đại, cực tiểu không phải là giái trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên D,
nó chỉ là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên (a,b) nào đó chứa điểm tới hạn
Bài tập
Bài 1. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc I:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 16
a)
d)
2
4
y x x
f)
2
2
y x x x
Bài 2. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc II:
a /
4 2
3 2
y x x
b) y = x
2
lnx c) y = sin
2
x với x[0; ]
Bài 3. Xác định tham số m để hàm số y = x
3
3mx
2
+(m
2
2 6
4
x
y x
.
Bài 7 Xác định m để hàm số sau đạt cực đại tại x =1: y = f(x) =
3
3
x
-mx
2
+(m+3)x-
5m+1.
(m = 4)
DẠNG 2: CỰC TRỊ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN CỰC TRỊ HÀM
3 2 , 2
ax 3 2 0
y bx cx d y ax bx c
PP:
1. Hàm số bậc 3 ko có cực trị
TH1: a=0 =>
,
2 0
y bx c
. Vậy để hàm số ko có cực trị cần b=0, c #0
TH2: a#0 .Vậy để hàm số ko có cực trị cần
y x
y x
5. Hàm số đạt cực đại tại x = x
0
0
0
' 0
" 0
y x
y x
Gọi
1 1 1 2 2 2
, , ,
M x y M x y
là các điểm cực trị.
=>
1
' 0
y x
và
2
' 0
y x
Suy ra :
1 1
y ax b
,
2 2 2
2 2 3 1
y x x m m x m
2
2 2 2
y x x m m
Để hàm số đạt cực tiểu tại x 2 thì
2
2
2 0 4 3 0 1 3 0
3
;
3
2
3
3
x
g x x ax a
. có các điểm
cực trị nằm xen kẽ nhau.
Giải:
2 2
2 3 ;
f x x x a g x x x a
. Ta cần tìm a sao cho g(x) có 2 nghiệm phân
biệt
1 2
x x
và f (x) có 2 nghiệm phân biệt
3 4
x x
(*)
Ta có:
1 2 1 1 2 2
0 3 2 3 2 0
f x f x g x x a g x x a
1 2
3 2 3 2 0
x a x a
2
6 1 2 0
f x x m x m
2
1 2 0
g x x m x m
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 18
Hàm số có CĐ, CT
0
g x
có 2 nghiệm phân biệt
, x
2
. Ta có:
1 2
0
g x g x
nên suy ra
2 2
2 2
1 1 1 2 2 2
3 3 3 ; 3 3 3
y f x m x m m y f x m x m m
Vậy nếu a < 0 thì 3
m a
; nếu a 0 thì không tồn tại m thoả mãn.
Bài 4.
Tìm m để
3 2
2 3 1 6 1 2
f x x m x m m x
có CĐ, CT nằm trên đường thẳng
(d): y 4x.
Giải: Ta có:
1
3 1 0
3
g
m m
Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:
2
2 1 3 1 1 1 2
f x x m g x m x m m m
Với
1
3
m
thì phương trình
0
g x
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số
y f (x) đạt cực trị tại x
2
3 1 2 3 1 2 0
3 1 4
1
1 1 2 0
1 1 2 0
m m
m
m
m m m
m m m
Bài 5.
Tìm m để
f x x m f x m x
Với
21
m
thì phương trình
0
f x
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số y f (x)
đạt cực trị tại x
1
, x
2
. Ta có:
1 2
0
9 9
m
y m x
Ta có () y 3x 7
2 2
3 10
452
21 .3 1 21
9 2 2
m m m
Bài 6.
Tìm m để hàm số
3 2 2
3
f x x x m x m
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua
():
5
1
2 2
y x
0
f x
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số y f (x) đạt
cực trị tại x
1
, x
2
. Ta có:
1 2
0
f x f x
nên
5
1
:
2 2
y x
(d) () tại trung điểm I của AB (*) . Ta có
1 2
1
2
I
x x
x
suy ra
(*)
2
2
2
2 1
3 1
0
3 2
0
f x x a a x a x
1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT.
2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
. CMR:
2 2
1 2
18
x x
Giải: 1. Xét phương trình:
2
2 2 cos 3sin 8 1 cos2 0
f x x a a x a
Ta có:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 3sin cos 8 1 cos2 9 8cos 6sin cos
x x x x x x a a a a a a
2 2
2 2
9 9 sin cos 3sin cos 18 3sin cos 18
a a a a a a
Bài 8: Cho hàm số
3 2 2
2
1 4 3
3
f x x m x m m x
1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 20
2. Gọi các điểm cực trị là x
1
x x
thoả
mãn:
1 2 1 2
1 1
x x x x
2
2
2
2 1 0
6 7 0
3 2, 3 2
0
6 5 0 5, 1
2 1 0
6 7 0
3 2, 3 2
1
1 1
2
5, 3 2
m
2. Do
2
1
8 7
2
m m
1 1
7 1 7 1
2 2
m m m m
(do
5 1
m
)
2
2
9
1 1
CT là nhỏ nhất.
Giải: Do
2
2 1 0
f x x mx
có
2
1 0
m
nên f (x) 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
,
x
2
và hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
với các điểm cực trị là
1 2
,
A x y
2 2
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 ; 1 1
3 3 3 3
y f x m x m y f x m x m
Ta có:
2
2 2 2 2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
4
1
9
AB x x y y x x m x x
2 13
3
AB . Vậy
2 13
Min
3
AB xảy ra m 0.
Bài 9.
Tìm m để hàm số
3 2
1 1
1 3 2
3 3
f x mx m x m x
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thoả
mãn
1 2
2 1
x x
.
0
f x
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số f (x) đạt cực trị tại x
1
,
x
2
. Theo định lý Viet ta có:
1 2 1 2
2 1 3 2
;
m m
x x x x
m m
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 21
2
2
3
m
m
Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy
1 2
2 1
x x
2
2
3
m m
Bài 10.
Tìm m để hàm số
3 2
1
(*)
Với điều kiện này thì
0
f x
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số f (x) đạt cực trị tại
x
1
, x
2
. Theo định lý Viet ta có:
1 2 1 2
2 ;
x x m x x m
suy ra:
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
8 64 4 64
Bài 12: Cho hàm số
3 2
3( 1) 9
y x m x x m
với m là tham số thực. Tìm m để hàm số đã
cho có cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
Giải:
Ta có
.9)1(63'
2
xmxy
- Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
)1(
- Theo định lý Viet ta có .3);1(2
2121
xxmxx
Khi đó
41214442
2
21
2
2121
mxxxxxx
2
( 1) 4 3 1 (2)
m m
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là
313 m
hoặc
.131 m
Bài 13: Tìm m để hàm số
3 2
1
1
3
f x x mx mx
Với điều kiện này thì
0
f x
có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số f (x) đạt cực trị tại
x
1
, x
2
.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 22
Theo định lý Viet ta có:
1 2 1 2
2 ;
x x m x x m
suy ra:
2 2
2
Bài 14: Cho hàm số
3 2 2
2
1 4 3
3
y f x x m x m m x
1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.
2. Gọi các điểm cực trị là
1 2
;
x x
. Tìm Max của
1 2 1 2
2
A x x x x
Giải:
Ta có:
2
2
2
2 1 0
6 7 0
3 2, 3 2
0
6 5 0 5, 1
5, 3 2
2 1 0
6 7 0
3 2, 3 2
1
1 1
2
2
f
m m
m
m m m
2. Do
1 2 2
1 2 1 2
2
1 2
1
)
2
2
9
1 1
9 8 16 9 4
2 2 2
A m m m
.
Với
4
m
thì
9
2
MaxA
Bài 15 : Cho hàm số
0
m
Vì
1
. ' 2 2
3
y x y mx
nên đường thẳng
đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có
phương trình là
2 2
y mx
Ta có
2
2 1
, 1
4 1
m
d I R
m
(vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng
khi sinAIB = 1 hay tam giác AIB vuông cân tại I
1
2 2
R
IH
(H là trung điểm của AB)
2
2 1
1 2 3
2
2
4 1
m
m
m
CỰC TRỊ HÀM
4 2
ax ( 0)
Dang y bx c a
+ TXĐ : D = R
+ Tính y’ = 4ax
3
4. Hàm số có 2 CT và 1 CĐ
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0
0
0
a
b
5. Hàm số có đúng 1 cực trị
pt g(x) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.
Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại
A.
6. phương trình đường cong đi qua điểm cực trị
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Tìm đk để
'
y
4 2
6 8 1
y f x x x x
.
Giải: Ta có:
2
3
4 12 8 4 1 2
f x x x x x
;
12 1 1
f x x x
Do phương trình
0
f x
4 3 2
3 2 1
y f x x m x m x
Chứng minh rằng: m 1 hàm số luôn có cực đại đồng thời
0
x
C§
3 2 2
4 3 3 4 1 4 3 3 4 1 .
f x x m x m x x x m x m x g x
có 3 nghiệm phân biệt
0, x
1
, x
2
. Xét 2 khả năng sau:
a) Nếu m < 1 thì
1 2
. 1 0
x x m
1 2
0
x x
Bảng biến thiên
Nhìn BBT suy ra
0
x
C§
b) Nếu m > 1 thì
1 2
. 0
x x
C§
Bài 4. (Đề thi TSĐH khối B 2002)
Tìm m để hàm số
4 2 2
9 10
y mx m x
có 3 điểm cực trị
Giải. Yêu cầu bài toán
2 2
2 2 9 2 . 0
y x mx m x g x
có 3 nghiệm phân biệt
2
3
9
0
2
0 3
m
m
2
0 0
f x x x m
.
Để hàm số có CĐ, CT
0
f x
có 3 nghiệm phân biệt m > 0
x
x
1
0
x
2
f
x
x
1
x
2
0
f
0
0
0 +
4 2 4 4 2
, 2 ; 0, 2 ; , 2
A m m m m B m m C m m m m
4
; 2
AB BC m m AC m
.
Để A, B, C lập thành tam giác đều
thì
AB BC AC
4
2
m m m
4 4
3
4 3 3
m m m m m m
Bài 6. Chứng minh rằng: Hàm số
. Xét hàm số
3
2
4
3 2 1
x
g x
x x
có TXĐ:
g
D
2
2 2 2 2
2 2
Nghiệm của phương trình
0
f x
cũng là hoành độ giao điểm của
đường thẳng y m với đồ thị y g(x).
Nhìn bảng biến thiên suy ra đường thẳng y m cắt y g(x) tại đúng 1 điểm
0
f x
có đúng 1 nghiệm.
Vậy hàm số y f (x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu.
Bài 7. Chứng minh rằng:
4 3
0f x x px q x
4
4
4
256 27
0 256 27
256
q p
q p
Bài 8. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)
Tìm m để hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Giải. Hàm số có 3 cực trị
2 2
4 0
y x x m
có 3 nghiệm phân biệt
0
0
x
3
f
0
0
0
+f
x
2
f
0
f
Copyright: Tài liệu đại học ©