Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
1
HÀM SỐ
☯
☯☯
☯1. TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản

1. ðịnh nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) xác ñịnh trên K:
+ Hàm số y = f(x) ñược gọi ñồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <

+ Hàm số y = f(x) ñược gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >

2. Qui tắc xét tính ñơn ñiệu

a. ðịnh lí

Cho hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số ñồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến

Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
x
d
x
− + + − +
− +
+

Loại 2:
Chứng minh hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác ñịnh.
Phương pháp
+ Dựa vào ñịnh lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số
2
2y x x= −
nghịch biến trên ñoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a.

Chứng minh hàm số
2

x x
y
x
+
=
+
ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó.
c.

Hàm số
2
8y x x= − + +
nghịch biến trên R.

Dạng 2.
Tìm giá trị của tham số ñể một hàm số cho trước ñồng biến, nghịch biến trên khoảng xác ñịnh
cho trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính ñơn ñiêu của hàm số.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
2
+ Sử dụng ñịnh lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a ñể hàm số
3 2
1

3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x= − + − + +
ñồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số
4
mx
y
x m
+
=
+

a.

Tìm m ñể hàm số tăng trên từng khoảng xác ñịnh
b.

Tìm m ñể hàm số tăng trên
(2; )+∞

c.

Tìm m ñể hàm số giảm trên
( ;1)−∞


( ) ( ) ()f a f x f≤ ≤
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )f a f x f b≥ ≥
Ví dụ 1. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:
2
2 3
1 1
. tanx > sinx, 0< x <
b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
x x
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
2 6
x
a x x x
c x
π
− < + < + ∞
≠

Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a.

Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 


x x x
π
> + ∀ ∈

Ví dụ 3
Cho hàm số
4
( ) t anx, x [0; ]
4
f x x
π
π
= − ∈
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
3
a.

Xét chiều biến thiên của hàm số trên
[0; ]
4
π

b.

Chứng minh rằng
4

i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f ”(x
i
) < 0
thì hàm số có cực ñại tại x
i
)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
3 2
2 3 36 10
y x x x
= + − −
Qui tắc I.
TXð: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3

+
∞
∞∞
∞
-
∞
∞∞
∞
y
y'
x

Vậy x = -3 là ñiểm cực ñại và y
cñ
=71
x= 2 là ñiểm cực tiểu và y
ct
= - 54
Qui tắc II
TXð: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x

c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)

∈
y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Dạng 2
. Xác lập hàm số khi biết cực trị
ðể tìm ñiều kiện sao cho hàm số y = f(x) ñạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm ñược m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn ñiều kiện ñã nêu không ( vì hàm số ñạt cực trị tại a thì
f’(a) = 0 không kể Cð hay CT)
Ví dụ 1.
Tìm m ñể hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m - 1)x + 2 ñạt cực tiểu tại x = 2
LG
2
' 3 6 1y x mx m
= − + −
.
Hàm số ñạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1m m m
⇔ − + − = ⇔ =

Với m = 1 ta ñược hàm số: y = x
3
– 3x
2


Bài 3. Tìm m ñể hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+

Bài 4. Tìm m ñể hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x
= − + −
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) axf x x bx c
= + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3
và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )
1
q
f x xp
x
= +
+
ñạt cực ñại tại ñiểm x = -2 và f(-2) = -2

= = ⇔

+

= − +


Lập bảng biến thiên ñể xem hàm ñạt cực tại tại giá trị x nào.
Dạng 3.
Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị
Bài toán: ‘Tìm m ñể hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào ñó.’
Phương pháp

B1: Tìm m ñể hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý:
•

Hàm số
3 2
ax ( 0)y bx cx d a
= + + + ≠
có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
5
•

3 2
mx m
a x mx m x b
x
+ − −
+ + + −
+

Hướng dẫn.
a. TXð: R

2
' 2 6y x mx m= + + +
.
ðể hàm số có cực trị thì phương trình:
2
2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖtx mx m+ + + =

2
3
' 6 0
2
m
m m
m
>

∆ = − − > ⇔

< −

 
⇔ ⇔ ⇔ <
 
− + + ≠ ≠
 

Bài 1. Tìm m ñể hàm số
3 2
3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx= − +

Bài 2. Tìm m ñể hàm sô
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
luôn có cực ñại và cực tiểu.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
2  12 13y x x= + − − . Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của
ñồ thị cách ñều trục tung.
Bài 4. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx= − + + −
. Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu.

Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a

d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Bài 5. Xác ñịnh m ñể hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x= + + +

Bài 6. Tìm m ñể hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè
cã C§ hay CT
3
y x mx m x
= − + − +
Bài 7. Tìm m ñể hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+


− + + +
=
−
luôn có cực ñại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số
3 2
2  12 13y x x
= + − −
. Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của
ñồ thị cách ñều trục tung.
Bài 14. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
= − + + − . Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m ñể hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số
2
2 4

;
a b
:
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng 0 hoặc khơng xác định
•

ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1:
Tìm các giá trò x
i

[ ]
;
a b
∈ (i = 1, 2, ..., n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh .
B2:
Tính
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )


2
2
2 2
1 1
' 1 ' 0 1 0 1
x
y y x x
x x
−
= − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ±
.
Dễ thấy
1 (0; )x
= − ∉ +∞

Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3
2
2 3 4
3
x
y x x
= + + − trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn

Hàm số liên tục trên [-4; 0],
2 2

= −
−
=

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3]
d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
a x x x
x x x
+ − + + −
− + + − −

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
2
x 1
. f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 +
trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a
∞
1 3
= trªn kho¶ng ( ; )
cosx 2 2
π π



b
x
0
a
x
+
∞
∞∞
∞
+
∞
∞∞
∞
0
2
+
-
y
y'
+
∞
∞∞
∞
1
0
x
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
8


P x
y
Q x
=

Phương pháp
•

Tiệm cận ñứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác ñịnh tiệm cận ñứng.
•

Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên ñược xác ñịnh bằng
cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b +
( )x
ε
với
lim ( ) 0
x
x
ε
→∞
=
thì y = ax + b là tiệm cận
xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
2
2

2
1
x x
x
x
x
x
→±∞ →±∞
−
−
= =
+
+
nên y = 2 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số.
b.
+
2
3
7
lim
3
x
x x
x
−
→
− −
= −∞
−
. Nên x = 3 là tiệm cận ñứng của ñồ thị hàm số.

→
+
= = +∞
−
Nên x = 1 là ñường tiệm cận ñứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= +∞
−
. Nên x = -1 là tiệm cận ñứng.
+
2
2
2
1 2
2
lim 0
1
1
1

Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→+∞
=
khi ñó
( )
2
b
y a x
a
= +
có tiệm cận xiên bên phải
Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→−∞
=
khi ñó
( )
2
b
y a x
a
= − +
có tiệm cận xiên bên tr ái

0
f x
x x

lim ( )
0
g x
x x

Dấu của g(x)
( )
lim
( )
0
f x
x x
g x


L


Tuỳ ý 0
+ +


L > 0 0
- -



x x x
a
x x x x x
x
e
x
+ +
+ +
+

3 2
2 2
1 2x
g. y = x- 3 +
h. y =
2(x- 1) 1
x
x

+

Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số
2
2
x
. y =
1
x+ 3
b. y =
x+ 1

3x 1 -3x 4
. y = b. y =
1 2
x x
a
x x
+ + +
+

Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2( 1) 4 3
2
x m x m
y
x
+ +
=

tạo với hai trục
toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
Bài 7. Cho hàm số:
2
(3 2) 3 3
1
x x m m
y
x
+ +
=


4. khảo sát và vẽ hàm bậc ba
Dạng 1:
Khảo sát và vẽ hàm số
3 2
(a 0)y ax bx cx d= + + +

Phơng pháp
1.

Tìm tập xác định.
2.

Xét sự biến thiên của hàm số
a.

Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đờng tiệm cận.
b.

Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.
+ Điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Vẽ đờng tiệm cận nếu có.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn.
+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh)
Ví dụ 1. Cho hàm số:
3 2
3 1y x x= +


x x
+ +

+ = + = +
+ = + =

c.

Bảng biến thiên
2 2
0
' 3 6 ' 0 3 6 0
2
x
y x x y x x
x
=

= + = + =

=


Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ;0) và (2; + )
Và nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; và y
CĐ
=y(2)= 3
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và y

Bài 1(TNTHPT 2008)

Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= +
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
3
-



+



-1
--
+
0
0
2
0
+



-


Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đ cho.
b.

Tìm các giá trị của m để phơng trình
3 2
3 0x x m =
có 3 nghiệm phân biệt.

Bi 3 (TNTHPT - 2007)

Cho hm s y=
3
3 2
x x
+
cú ủ th l (C) .
a/ Kho sỏt v v ủ th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti ủim A(2 ;4) .

Bi 4 (TNTHPT - 2006)

Cho hm s y=
3 2
3
x x
+
cú ủ th (C) .
a/ Kho sỏt v v ủ th hm s .
b/ Da vo ủ th bin lun s nghim phng trỡnh :
3 2

b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti ủim cú honh ủ x=1 .

Bài 7 (ĐH- A- 2002)

Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= + + +

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= 1
b.

Tìm k để phơng trình:
3 2 3 2
3 3 0x x k k + + =
có 3 nghiệm phân biệt.
c.

Viết phơng trình đờng thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4m
a.

Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b.


Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
a.

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4

Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
13
Bài 3
Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + +

a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
b.

Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 5 (ĐH 2006- D)

Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
c.

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
d.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 11
Cho hàm số y =
3 2 2
2 2x mx m x +

a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1
b.

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
14

Hàm bậc bốn trùng phơng và một số bài tập có liên quan
I. Một số tính chất của hàm trùng phơng


Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2
Ví dụ 2. Cho hàm số
4 3 2
4 3( 1) 1y x mx m x= + + + +

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0
b.

Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
15
Bài tập hàm số trùng phơng
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
. y= -x 2 b. y = x 2 c. y = x 6 1
1 5
. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x +
2 2
a x x x
d x x
+ + +
= 1


2 (C )y x mx= +
a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b.

Hy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)
1.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
5 4y x x= +
2.

Xác định m để phơng trình
4 2 2
5 3 0x x m + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6
Cho hàm số
4
2
9
2
4 4
x
y x
=


a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b.

Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c.

Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.