Tích phân
I.Các phơng pháp tính tích phân
1. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản
2.Ph ơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
[ ]
;a b
thì:

( )
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
=

hay
b b
a a
b
udv uv vdu
a
=

.
áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bớc 1: Viết f(x)dx dới dạng
'

I dx
(x 1)
+
=
+

(ĐH-KB-2009)

3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I 3
(x 1) (x 1) 4
ln x
I dx
(x 1)

3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= + = + = +
+ + +

1
Vậy :
3
I (1 ln 3) ln 2
4
= + −
b) TÝnh
1
ln
e
x xdx
∫
Gi¶i: §Æt
lnu x
dv xdx
=


=


= − = − =
∫ ∫
.
VÝ dô 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)
2
5
1
ln x
dx
x
∫
b)
2
0
cosx xdx
π
∫
c)
1
0
x
xe dx
∫
d)
2
0
cos
x
e xdx



. Do ®ã:

2
2
2 2
5 4 5 4
1
1 1
1
ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2
4 4 64 4 4 256
x x dx
dx
x x x x
−
 
= − + = − + − =
 ÷
 
∫ ∫
.
b) §Æt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
 
⇒

1 1
0 0
1 1
1 1
0 0
x x x x
xe dx xe e dx e e e e= − = − = − − =
∫ ∫
.
2
d) Đặt
cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x

= =


= =

2 2
0 0
cos sin sin
2
0
x x x
e xdx e x e xdx



2 2
2
2
0 0
1
2 cos 1 cos .
2
x x
e
e xdx e e xdx




= =

*Cách đặt u và dv trong phơng pháp tích phân từng phần.
( )
b
x
a
P x e dx

( )ln
b
a
P x xdx

( )cos
b



mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong
những hàm số:
, cos , sin
ax
e ax ax
thì ta thờng đặt
'
( )
( )
( )
( )
du P x dx
u P x
dv Q x dx
v Q x dx
=

=




=
=





Nếu tính tích phân
cos
ax
I e bxdx


=

hoặc
sin
ax
J e bxdx


=

thì
ta đặt
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
=





Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân
ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
3. Ph ơng pháp đổi biến số
Bài toán: Tính
( )
b
a
I f x dx=

,
*Phơng pháp đổi biến dạng I
Định lí . Nếu 1) Hàm ( )x u t= có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;

,
4
2) Hàm hợp
( ( ))f u t
đợc xác định trên
[ ]
;

,
3) ( ) , ( )u a u b

= = ,

( )
2
4
0
sin 1 cosJ x xdx

= +

Giải: a) I =
2 2
5 2
0 0
cos x.dx cos x.dx



Ta cú: I
2
=
2 2
2
0 0
1
cos x.dx (1 cos2x).dx
2

= +

=
1 1




= + =
ữ


Vy I = I
1
I
2
=
8
15 4


b) Ta có
( )
( )
3
3 2 2
5
5 3
3
d x
d x x dx x dx
+
+ = =
5


2
x
x d x x x
+
+
= + + = = + +
+
∫

4 10
6 5
3 9
= −
.
c) Ta cã
2
4
0
(sin 1) (sin )J x d x
π
= +
∫

5
1 6
sin sin
2
5 5
0
x x

2x =
th×
2
t
π
=
.
Tõ
2sinx t= ⇒ 2cosdx tdt=

4
2 2
2 2 2
0 0 0
4 4 4sin .2cos 4 cos− = − = =
∫ ∫ ∫
x dx t tdt tdt
π π
π
.
b) §Æt , ;
2 2
x tgt t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
. Khi
0x =

∫ ∫ ∫
dx dt
dt t
x tg t t
π π
π
π
Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thÓ gÆp d¹ng tÝch ph©n trªn d¹ng tæng qu¸t h¬n nh:
6
Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng
2 2 2 2
,a x a x+
và
2 2
x a
(trong trong đó a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm
số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:
Với
2 2
a x
, đặt
sin , ;
2 2
x a t t=

sin 2 2
a
x t
t= hoặc
;
cos
a
x
t
=
[ ]
0; \
2
t



.
*Phơng pháp đổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số
( )u u x=

6
1 2 2 4 10
6 6 5 5 6 5
5
3 9 9 9 9
I udu u u= = = =

Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phơng pháp đổi biến dạng II:
a)
( )
1
5
0
2 1x dx+

b)
2
ln
e
e
dx
x x

c)
1
2
0
4 2
1
x

0x =
th×
1u =
. Khi
1x =
th×
3u =
Ta cã
2
2
du
du dx dx= ⇒ =
. Do ®ã:
( )
1 3
6
5
5 6
0 1
3
1 1
2 1 (3 1)
1
2 12 12
u
x dx u du+ = = = −
∫ ∫
= 60
2
3

u
x x u
= = = − =
∫ ∫
.
c)§Æt
2
1u x x= + +
. Khi
0x =
th×
1u =
. Khi
1x =
th×
3u =
.
Ta cã (2 1)du x dx= + . Do ®ã:
1 3
2
0 1
3
4 2 2
2ln 2(ln 3 ln1) 2ln3
1
1
x du
dx u
x x u
+

x u u
= = − = − − =
−
∫ ∫
.
e)§Æt
2
3
3
u x
π
= −
. Khi
3
x
π
=
th×
3
u
π
=
, khi
2
3
x
π
=
th×
4

ữ
1 3 3 3
3 2 2 3

= =
ữ

.
3.Ph ơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
[ ]
;a b
thì:

( )
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
=

hay
b b
a a

uv
a
.
Bớc 5: áp dụng công thức trên.
Ví dụ 5: a)Tớnh tớch phõn
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)
+
=
+

(ĐH-KB-2009)

3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1

=
+
Chọn
1
v
x 1
−
=
+
3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= − + = − + − = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
Vậy :
3
I (1 ln 3) ln 2
4
= + −
b) TÝnh
1
ln
e
x xdx

1 1
ln ln
1 12 2 2 4 4
e e
e e
x e x e
x xdx x xdx
+
= − = − =
∫ ∫
.
VÝ dô 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)
2
5
1
ln x
dx
x
∫
b)
2
0
cosx xdx
π
∫
c)
1
0
x


 
⇒
 
=
 
= −



. Do ®ã:

2
2
2 2
5 4 5 4
1
1 1
1
ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2
4 4 64 4 4 256
x x dx
dx
x x x x
−
 
= − + = − + − =
 ÷
 
∫ ∫

= =
 
⇒
 
= =
 
. Do ®ã:
10