Trần Só Tùng Tích phân
Trang 1
Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân
1. Các giới hạn đặc biệt:
a)
®
=
x0
sinx
lim1
x

Hệ quả:
®
=
x0
x
lim1
sinx

®
=
u(x)0
sinu(x)
lim1
u(x)

®
=
u(x)0
u(x)


x
x0
e1
lim1
x
®
-
=

2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
1
(x)'x
aa-
=a
1
(u)'uu'
aa-
=a
2
11
'
xx
ỉư
=-
ç÷
èø

2

uu
(a)'a.lna.u'
=
1
(lnx)'
x
=

u'
(lnu)'
u
=

a
1
(logx')
x.lna
=
a
u'
(logu)'
u.lna
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
2
2
1
(tgx)'1tgx
cosx
==+

dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx
Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx)
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 2
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x
thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x).
Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm:
F'(a)f(x)vàF'(b)f(b)
+-
==

2. Đònh lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :
a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng đó.
b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là
f(x)dx.
ò
Do
đó viết:
f(x)dxF(x)C

f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x)
)
=+Þ=+=+=
òò4. Sự tồn tại nguyên hàm:
· Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
§
Bài 1
: NGUYÊN HÀM

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 3
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
(dưới đây u = u(x))
dxxC
=+
ò

duuC
=+
ò

1
x

xx
edxeC
=+
ò

uu
edueC
=+
ò

x
x
a
adxC(0a1)
lna
=+<¹
ò

u
u
a
aduC(0a1)
lna
=+<¹
ò

cosxdxsinxC
=+
ò


dx
(1cotgx)dxcotgxC
sinx
=+=-+
òò

2
2
du
(1cotgu)ducotguC
sinu
=+=-+
òò

dx
xC(x0)
2x
=+>
ò

du
uC(u0)
2u
=+>
ò

1
cos(axb)dxsin(axb)C(a0)
a
+=++¹
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 4

Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng
F'(x)f(x)vớix(a;b)
="Ỵ

Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
Xác đònh F’(a
+
)
Xác đònh F’(b
–
)
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng
F'(x)f(x),x(a;b)
F'(a)f(a)
F'(b)f(b)
+
-
="Ỵ

2xa
F'(x)[ln(xxa)]'
xxaxxa
+
++
+
=++==
++++

2
222
xax1
f(x)
xa(xxa)xa
++
===
++++

Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Ví dụ 2: CMR hàm số:
x
2
ekhix0
F(x)
xx1khix0
ì
³
ï
=
í

í
+<
ỵ

b/ Với x = 0, ta có:
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 5
· Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x
0
= 0.

20
x0x0
F(x)F(0)xx1e
F'(0)limlim1.
x0x

-
®®
-++-
===
-

· Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x
0
= 0.

x0
x0x0
F(x)F(0)ee

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:

F'(x)f(x)vớix(a;b)
="Ỵ

Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số.
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
Xác đònh F’(a
+
)
Xác đònh F’(b
–
)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:

F'(x)f(x),x(a;b)
F'(a)f(a)
F'(b)f(b)
+
-
="Ỵ
ì
ï
=
í
ï

=
í
>
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với
x1
¹
, ta có:
2xkhix1
F'(x)
2khix1
<
ì
=
í
>
ỵ

b/ Với x = 1, ta có:
Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do
đó :
x1x1
limF(x)limF(x)f(1)ab1b1a(1)
-+
®®
==Û+=Û=-


Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1
F'(1)F'(1)a2.
-+
Û=Û=
(2)
Thay (2) vào (1), ta được b = –1.
Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1.
Khi đó: F’(1) = 2 = f(1)
Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số:
-
=++
22x
F(x)(axbxc)e
là một nguyên hàm của
22x
F(x)(2x8x7)e
-
= + trên R.
Giải:
Ta có:
2x22x
F'(x)(2axb)e2(axbxc)e

=+-++
22x
2ax2(ab)xb2ce
-
éù
=-+-+-

.
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 7
BÀI TẬP
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số
x
F(x)lntg
24
p
ỉư
=+
ç÷
èø

Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số
1
f(x)
cosx
= .
Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số
2
ln(x1)
,x0
F(x)
x
0,x0
ì
+
¹
ï

hàm số
2x
f(x)(2x5x2)e
-
=-+ trên R.
ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
Bài 4. a/ Tính nguyên hàm
32
2
x3x3x7
F(x)củaf(x)vàF(0)8.
(x1)
++-
==
+

b/ Tìm nguyên hàm F(x) của
2
x
f(x)sinvàF.
224
pp
ỉư
==
ç÷
èø

ĐS: a/
2
x8

ĐS: a/
a4;b2;c1;
==-=
b/
2
G(x)(4x2x10)2x322.
=-+ Tích phân Trần Só Tùng
Trang 8
Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG
CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Ví dụ 1: CMR , nếu
f(x)dxF(x)C
=+
ò
thì
1
f(axb)dxF(axb)Cvớia0.
a
+=++¹
ò

ò
c/
x
x
2e
dx
e1
+
ò
d/
2
(2lnx1)
dx
x
+
ò

Giải:
a/ Ta có:
44
33
11(2x3)(2x3)
(2x3)dx(2x3)d(2x3).CC.
2248
++
+=++=+=+
òò

b/ Ta có:
5

a/
2
x
2sindx
2
ò
b/
2
cotgxdx
ò
c/
tgxdx
ò
d/
3
tgx
dx
cosx
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
x
2sindx(1cosx)dxxsinxC
2
=-=-+
òò

b/ Ta có:

Ví dụ 4: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
2
x
dx
1x+
ò
b/
2
1
dx
x3x2
-+
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
2
22
x1d(1x)1
dxln(1x)C
1x21x2
+
==++
++
òò

b/ Ta có:
2

ĐS: a/
1
(xsinx)C;
2
++ b/
3
1
cosxcosxC.
3
-++

Bài 7. Tính các tích phân bất đònh :
a/
xx
e(2e)dx;
-
-
ò
b/
x
x
e
dx;
2
ò
c/
2xxx
x
2.3.5
dx

(1ln2)2
+
-
c/
x
6
C
ln6
+

d/
26xx
1
eeC;
6

+
e/
x
ln(e2)C
++
.
Bài 8. Tính các tích phân bất đònh :
a/
44
xx2dx
-
++
ò
; b/

5
xC;
7
+
c/
22
1
(x1)x1C
3
+++
;
d/
2002
1(12x)
.C;
22002
-
-+
e/
1
(34lnx)34lnxC.
6
+++

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 10

Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu

2x132x
== +
++-

· Với
xx2xxx
f(x)(23)thìviếtlạif(x)42.69.
=-=-+

· Với
3
f(x)8cosx.sinxthìviếtlạif(x)2(cos3x3co
sx).sinx
==+
2cos3x.sinx6cosx.sinxsin4xsin2x3sin2xsin
4x2sin2x.
=+=-+=+

·
22
tgx(1tgx)1
=+-

·
22
cotgx(1cotgx)1
=+-

·
n2

20032004
= = +

=-++
òòòòTổng quát: Tính tích phân bất đònh:
Ix(axb)dx,vớia0
a
=+¹
ò

Sử dụng đồng nhất thức:
11
x.ax[(axb)b]
aa
==+-

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 11
Ta được:

1
11
x(axb)[(axb)b)(axb)[(axb)d(axb)(axb)d(ax
d)]
aa
aaa+a
+=+-+=++-++

òò

· Với
R\{2;1},

ta được:
21
2
1(axb)(axb)
I[]C.
a21
a+a+
++
=++
a+a+Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I
x4x3
=
-+
ò

Giải:
Ta có:
2
111(x1)(x3)111

dx
I
x2x3
=
++-
ò

Giải:
Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:

11
22
33
11
I(x2x3)dx[(x2)d(x2)(x3)d(x3)]
55
2
[(x2)(x3)]C.
15
=++-=+++
=++-+
òòò

Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.
sinx.cosx
=
ò

2
2
IdxdxlntgC.
xxx
cosxcosxcosx2
costgtg
222
ỉư
ç÷
èø
=+=-+=++
òòòò

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
4
dx
I.
cosx
=
ò

Giải:
Sử dụng kết quả:
2
dx
d(tgx)
cosx
=
ta được:
223

f(x)
3x43x2
=
+-+

ĐS: a/
357
128
x2xxxC
57
-+-+
; b/
x
4
elnxC;
3xx
++

c/
3322
6
243
6xxxxxC;
75
+++
d/
33
1
(3x4)(3x2)C.
9

3
2
4x9x1
f(x);
94x
-++
=
-

ĐS: a/
1x5
lnC;
4x1
-
+
-
b/
2
1
x2xln2x1C;
2
+-++

c/
32
2111
xxxln2x1C
3224
+ ++
; d/

cosx;
e/
44
sinxcosx;
+ f/
66
sin2xcos2x.
+

ẹS: a/
1
xcos2xC
2
-+
; b/
171
sin5xsinxC
1012212
pp
ổửổử
++-+
ỗữỗữ
ốứốứ

c/
31
sinxsin3xC;
412
++
d/

ò
.
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó
(j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:
f(x)dxf[(t)].'(t)dt.
=jj
òò

Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh
If(x)dx.
=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.
=
ò

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
22
ax
-


ê
=Ỵp
ê
ë

22
ax
+

xatgtvớit
22
xacotgtvới0t
pp
é
=-<<
ê
ê
=<<p
ê
ë

axax
hoặc
axax
+-
-+

x = acos2t
(xa)(bx)


-

Khi đó:
2
x
Id(tdt)tgtCC.
1x
==+=+
-
ò

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
233
2
x
(1x)costvàtgt
1x
-==
-

là bởi:
2
22
costcost
tcost0
22
cost1sint1x
ì
=
pp

2
2cos2tdt
dx
sin2t
=
ú
2222
333
2
xdx2dt2(costsint)dt
sin2t8sintcost
x1
+
=-=-
-22
222
1111
(cotgt.tgt.)dt
4sintcostsintcost
11121
(cotgt.tdt.)
4sintcosttgtcost
1d(tgt)
[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2].
4tgt
=-++
=-++

22222
costsint4cos2t41sin2t41
cotgttgt1
cost.sintsin2tsin2tsin2tsin2t

-====-

tgt =
-
===-
22
2
sint2sint1cos2t1cos2t
cost2sint.costsin2tsin2t
sin2t
=

2
11
1
sin2t
sin2t

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 16
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
23
dx
I
(1x)

1. Trong ví dụ trên sở dó ta có:
22
1x
costvàsint
1x1x
==
++

là bởi:
2
2
costcost
tcost0
x
22
sinttgt.cost
1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
==
ï
+
ỵ

2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:



Dấu hiệu Cách chọn
Hàm số mẫu có t là mẫu số
Hàm số
f(x,(x)
j
t(x)
=j
Hàm
a.sinxb.cosx
f(x)
c.sinxd.cosxe
+
=
++

xx
ttg(vớicos0)
22
=¹

Hàm
1
f(x)

dt6xdx
=328228898
2t2t11
x(23x)dxx(23x)xdx.t.dt(t2t)dt.
33618

ỉư
-=-==-=-
ç÷
èø

Khi đó:
98109109
111211
I(t2t)dtttCttC
181810918081
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh:
2
xdx
I
1x

ò

22
22
[3(1x)10(1x)15]1xC(3x4x8)1xC
1515
= +-+=-++-+Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
522
3
Ix(12x)dx.
=-
ò

Giải:
Đặt:
3
3 22
1t
t12xx
2
-
=-Þ= . Suy ra:
2
3
2xdxttdt,
2
=-

= +4222
3
3
(20x4x3)(12x)C.
320
= +

Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh:
3
Isinxcosxdx.
=
ò

Giải:
Đặt:
2
tcosxtcosx
=Þ=
dt = sinxdx,
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 18

322
462
sinxcosxdxsinxcosxsinxdx(1cosx)cosxsinxd
x
(1t).t.(2tdt)2(tt)dt.


Giải:
Đặt:
22
t1xx1tat1sinx
=-Þ=-=+
Suy ra:
dt2sinxcosxdx,
=32
22
cosx.sinxdxsinx.cosx.sinxdx(t1)dt11
1dt.
1sinx1sinx2t2t
-
ỉư
===-
ç÷
++
èø

Khi đó:
22
111
I1dtf12(tlntC[1sinxln(1sinx)]C
2t2
ỉư
=-=-+=+-++

===+
=+

Khi đó:
22642753
121
It.(1t)dt(t2tt)dttttC
753
ỉư
=+=++=+++
ç÷
èø
òò753
1
(15cotgx42cotgx35cotgx)C.
105
=+++

Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh:
xx/2
dx
I
ee
=
-
ò


1
I21dt2(elne1)C.
t1

ỉư
=+=+++
ç÷
-
èø
ò

Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến
x/2
te,
-
=
tuy nhiên với cách đặt
x/2
te
=
chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán.
Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh:
x
dx
I
1e
=
+
ò
.

++
ò

Cách 2:
Đặt:
x/2
te
-
=
Suy ra:
x/2
x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
-
=Û-=

xxxx/2x2
dxdxdx2dt
1ee(e1)ee1t1

-
===
++++

Khi đó:
2x/2x
2
dt

ỉư
=+=Û=
ç÷
+++
èø

Khi đó:
2
dt
IlntClnxxaC.
t
==+=+++
ò

Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
(x1)(x2)
=
++
ò
.
Giải:
Ta xét hai trường hợp:
· Với
x10
x1
x20
+>
ì

· Với
x10
x2
x20
+<
ì
Û<-
í
+<
ỵ

Đặt:
t(x1)(x2)
=-++-+

Suy ra:
[(x1)(x2)]dx
11
dtdx
2(x1)2(x2)2(x1)(x2)
-++-+
éù
= =
êú
-+-+++
ëûdx2dt
t

-
=
-
d/
2
4
x1
f(x);
x1
-
=
+

ĐS: a/
121110
121
(x1)(x1)(x10)C.
121110
-+-+-+
b/
5
5
1x2
lnC.
20x2
-
+
+

c/

=>
+
; c/
32
1
f(x).
xx
=
-

ĐS: a/
323
22
x(x1)C;
33
+
b/
222
x
C;
axa
+
+

c/
3
66
x
6xlnx1C.
2

sinx
= e/
4
1
f(x).
sinx
=
ĐS: a/
2148
333
333
sinxsinxsinxC;
2144
+-+

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 21
b/
x
lntgC;
24
p
ỉư
++
ç÷
èø
c/
3
3
1sin2xC;

=
+

c/
xx
xx
2.3
f(x);
94
=
-
d/
1
f(x);
xlnx.ln(lnx)
=

ĐS: a/
x2x
ln(ee1)C;

-+++
b/
x
x
xe
lnC;
1xe
+
+

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
12
If(x)dxf(x).f(x)dx.
==
òò

+ Bước 2: Đặt:
1
2
uf(x)
du
dvf(x)dxv
=
ì
ì
Þ
íí
=
ỵ
ỵ

+ Bước 3: Khi đó:
Iuvvdu.
=-
ò

Ví dụ 1: Tích tích phân bất đònh:
2

du
x
xx1x1
dv
x1
vx1
+
ì
ì
ï
=++
+
ï
ï
==
Þ
íí
+++
=
ïï
+
ỵ
ï
=+
ỵ

Khi đó:
2222
Ix1ln(xx1)dxx1ln(xx1)xC.
=+++-=+++-+

Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.
=+
ò
(1)
Xét
Jsin(lnx)dx.
=
ò

Đặt:
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx.
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:

ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
12
Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3)
=-=-
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I
2
, như sau:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì

2
ln(cosx)
Idx.
cosx
=
ò

Giải:
Đặt :
2
uln(cosx)
sinx
dudx
cosx
dx
dv
vtgx
cosx
=
ì ì
=-
ïï
Þ
íí
=
ïï
=
ỵ
ỵ


+ Bước 1: Đặt :
duP'(x)dx
uP(x)
.
1
dvsinxdx
vcosx
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=a
=-a
ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
11
IP(x)cosP'(x).cosx.dx.
=-a+a
aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Ta có:

22242
-
ỉư
==-=-
ç÷
èø
òòòò

Xét
Jxcos2xdx.
=
ò

Đặt :
2
dx
dudx
ux
x1
dvcos2xdx
1
vsin2x
2
ì
==
ï
=
ì
ï
+

Trang 25
Giải:
Ta có:
32
I(xx2x3)sinxdx
=-+-
ò3232
11112222
(axbxcxd)cosx(axbxcxd)sinxC(1)
=++++++++
Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

3232
2121212
32
1212121
(xx2x3)sinx[ax(3ab)x(2bc)xcd].cosx
[ax(3ab)x(2bc)xcd].sinx(2)
-+-=++++++-
+-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:

22
1221
1221
1221

)
axax
Iecos(bx)dxhoặcesin(bx)vớia,b0.
=¹
òò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
ax
ax
dubsin(bx)dx
ucos(bx)
.
1
ve
dvedx
a
=-
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï

Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
1b1b
Jesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(2)
aaaa
=-=-
ò

+ Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được:
ãax
1b1b
Iecos(bx)[esin(bx)I]
aaaa
=+-

ax
22
[a.cos(bx)b.sin(bx)e
IC.
ab
+
Û=+